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IDEAL PARA DOCENTES Y ALUMNOS
Animaciones Didácticas de
Matemáticas

1. Sistema horario de 24 horas
Presentación del concepto de la hora digital (reloj de 24 horas).

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2. Hora analógica
Introducción a la interpretación y lectura de la hora indicada en un reloj analógico.

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3. Tratamiento de datos
Introducción básica a la anotación de datos sin formato y elaboración de un gráfico de barras.

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4. Suma
Presentación de distintos métodos de suma.

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5. Suma y resta de fracciones
Presentación de la suma de fracciones que tienen el mismo denominador.

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6. Fracciones comunes
Introducción a las fracciones comunes.

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7. Suma y resta decimal
Suma y resta de fracciones.

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8. Partes decimales
Introducción a las fracciones decimales.

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9. División
Introducción a la división.

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10. Factores o Divisores
Presentación del concepto de los factores.

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11. Enteros
Presentación del concepto de suma de números positivos y negativos.

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12. Introducción a los números enteros
Presentación del concepto de números inferiores a cero.

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13. Múltiplos
Introducción a los múltiplos como múltiplos repetidos.

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14. Multiplicación
Introducción a la multiplicación como suma repetida.

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15. Patrones numéricos
Presentación de los patrones numéricos.

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16. Valor posicional
Introducción a los valores posicionales de los números.

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17. Números primos y compuestos
Identificación, análisis y enumeración de los números primos.

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18. Razón
La razón es una comparación de dos números mediante división.

Razón

19. Figuras en 3D
Presentación de las figuras en 3D y su terminología correspondiente.

Figuras en 3D

20. Área
Descubrimiento de la fórmula del área de las formas rectangulares y cuadradas.

Área

21. Perímetro
Descubrimiento de la fórmula del perímetro de las formas rectangulares y cuadradas.

Perímetro

22. Polígonos
Introducción a las propiedades de algunos polígonos.

Polígonos

23. Volumen
Introducción al volumen.

Volumen

 

Los Trece Sólidos de Arquímedes Los Cinco Sólidos Platónicos

Los cinco sólidos platónicos eran «puros» y contenían un único tipo de polígono. Arquímedes (287-212 aC.) describió otros trece sólidos adicionales que contienen dos o más tipos diferentes de polígonos

Ver Una Tabla de los Sólidos

LOS 13 SÓLIDOS DE ARQUÍMEDES

Tretraedro
Truncado
Cubo
Truncado
Cuboctaedro Rombicuboctaedro
Menor
Rombicuboctaedro
Mayor
Cubo
Romo
Octaedro
Truncado
Dodecaedro
Truncado
Icosidodecaedro Rombicosidodecaedro
Menor
Rombicosidodecaedro
Menor
Dodecaedro
Romo
Icosaedro
Truncado

Densidad de un Sólido

Hypatia de Alejandría

Grandes Matemáticos

Pasos Método Científico

 

Usos del Transbordador Espacial Misiones y Programas de la NASA

El Trasbordador Espacial
El Trasbordador Espacial, u orbitador, es el único vehículo espacial en el mundo que se puede volver a usar. Se eleva en el espacio montado sobre un gigantesco cohete y luego es capaz de volver a aterrizar como un avión. Puede estar listo para volver a usarse en sólo seis días y medio.

Carga pesada: Del mismo modo que los astronautas, el Trasbordador Espacial lleva equipaje. Satélites, sondas espaciales o laboratorios espaciales son llevados dentro del compartimiento de cargas.

Super aterrizaje: Frenos de carbón, un timón dividido en dos y alerones especiales reducen su velocidad. Al tocar la pista de aterrizaje se abre un paracaídas.

Protectores térmicos: Un escudo hecho de siliconas cubre al Trasbordador Espacial, protegiéndolo de una temperatura superior a 1.260 °C durante su entrada en la atmósfera.

Arranque: El despegue del Trasbordador Espacial está controlado automáticamente por computadoras a bordo de la nave por un centro de control desde la base en Tierra. La fuerza que desplegan los cohetes durante el despegue es tres veces mayor que la fuerza de gravedad de nuestro planeta.

Los gases calientes que emanan del cohete impulsan la nave espacial hacia arriba.
Toma sólo 50 minutos alcanzar la órbita terrestre.

Ver el Trasbordador Discovery Por Dentro

La flota de transbordadores. Con una flotilla de seis transbordadores, la NASA ha llevado a cabo apasionantes misiones en el espacio. Ésta es la historia resumida de cada uno de ellos.

Columbia. Su primer vuelo fue en 1981. Fue bautizado así en honor al buque que circunnavegó el globo por primera vez con una tripulación de estadounidenses. En 1998, puso en órbita la misión Neurolab para estudiar los efectos de la microgravedad en el sistema nervioso. Neurolab fue un esfuerzo colectivo entre seis agencias espaciales, incluyendo la Agencia Espacial Europea. Se desintegró durante su reentrada a la Tierra en febrero de 2003. Columbia voló 28 veces.

Challenger. Realizó su ‘primera misión en 1982. Recibió el nombre del buque inglés que exploró los mares en el siglo XIX. En 1984, el astronauta Bruce McCandless se convirtió en la primera persona en realizar una salida espacial autónoma en una unidad de maniobra individual. El Challenger voló 10 veces.

Discovery. Entró en acción en 1984. Bautizado en honor a uno de los barcos del explorador británico James Cook que lo condujeron a las islas del Pacífico Sur. En 1998 llevó a Pedro Duque por primera vez al espacio en una misión histórica en la que participó también el ex astronauta estadounidense John Glenn, el primer hombre de EE. UU. en orbitar la Tierra. Discovery llevó a cabo 30 misiones.

Atlantis. Su primer vuelo fue en 1985.Lleva el nombre del velero del Instituto Oceanográfico de Woods Hole, que fue el primer barco en ser usado para investigaciones marinas en Estados Unidos. En 1995 llevó al espacio la primera de nueve misiones para atracar en la Estación Espacial Mir. Atlantis viajó 26 veces.

Endeavour. Es el más joven de la flotilla y fue operativo en 1992. Está bautizado en honor al primer .buque del explorador
británico lames Cook en las islas del Radico Sur. En 2001 timo lamiswndeñstalarel brazo robot de la Estación Espacial Internacional. Votó oí 19 ocasiones.

Enterprise. Fue el primer modelo y se usó en pruebas tripuladas durante los noventa para estudiar cómo planeaba en el ale al ser soltado desde un anón. Sin embargo, nunca voló al espacio. Fue bautizado con el nombre de la nave espacial de la serie Star Trek.

Los últimos cinco cambios claves para volver al espacio

Calentadores: Colocar calentadores eléctricos cerca de los puntos de fijación del depósito externo para prevenir la formación de cristales de hielo. Además, diseñar espuma aislante que no se separe de las paredes del depósito en el despegue.
Paneles de Carbono Realizar análisis -rayos X, ultrasonido, corriente electromagnética y termografía- de los 44 paneles de carbono-carbono reforzado que recubren los bordes de ataque de las alas, el morro y las compuertas del tren de aterrizaje delantero antes de cada vuelo. Además, detectar brechas en estos paneles durante el vuelo e inventar formas de repararlas en órbita.
Videos y fotos Evaluar la condición del transbordador durante el despegue, usando cámaras de vídeo y fotografía de la más alta resolución.
Aislante térmico. El material aislante térmico que recubre los propulsores de aceleración es una mezcla de corcho con una pintura protectora colocada con tecnología puntera, que evita que el aislante se despegue en grandes fragmentos.
Capsula de Seguridad: Diseñar una cápsula de seguridad expulsable para los astronautas.

Paracaídas y vehículo de escape en emergencias: La NASA trabaja también en un sistema de escape por si algo va mal durante el despegue. En el Centro Espacial Marshall se están llevando a cabo ensayos con motores de cohetes en una serie de Demostraciones de Aborto en Plataforma que incluyen paracaídas y una cápsula similar al vehículo de escape.”El accidente del Columbia fue ocasionado por una serie de errores colectivos. Nuestro regreso al espacio debe ser un esfuerzo colectivo”, dice el director de la agencia, Sean O’Keefe. A medida que el personal de la NASA se repone de la tragedia y se prepara a volar nuevamente, es importante recordar que explorar el cosmos es una actividad sin duda peligrosa y lo seguirá siendo durante mucho tiempo. Por eso, cualquier medida de seguridad es poca.

La Guerra de los Siete Años Causas y Consecuencias Francia Inglaterra

La Guerra de los Siete Años Causas y Consecuencias

En Inglaterra, William Pitt ocupa en 1756 el puesto de primer ministro. Es la primera vez que un primer ministro representa exclusivamente los intereses de la City, es decir, de los comerciantes y financieros. En justa correspondencia, su objetivo era la construcción de un imperio inglés y la obtención de la hegemonía sobre el comercio mundial. Pero en Norteamérica y en la India chocó con Francia. Especialmente en Norteamérica, los grandes territorios franceses que se extendían desde Nueva Orleans hasta Quebec (Canadá) asfixiaban a las trece colonias inglesas.

guerra de los siete años

Mientras Federico vencía a los franceses en el continente, Pitt coordinaba las acciones por mar. El blanco de sus ataques ya no era Francia, sino el comercio francés, para lo que se sirvió de la red de información de los comerciante ingleses.

En África se apoderó de Dakar, convirtiéndola en base del comercio de caucho y esclavos; en Canadá se apoderó de Montreal Quebec y las convirtió en campamentos base del comercio de pesca y pieles; en la India, la Compañía de las Indias orientales echó a los franceses por su propia iniciativa, mientras Pitt bloqueaba las rutas comerciales del este de Asia y se adueñaba del comercio de té con China —desde entonces los ingleses ya no bebieron café, sino té, porque resultaba más barato—.

Los franceses perdieron su dominio sobre el mundo, pues sus gobiernos consideraban más importantes sus rivalidades dinásticas en Europa que la política de ultramar; por el contrario, los ingleses se hicieron con el dominio del mundo, pues su gobierno parlamentario representaba ya los intereses comerciales de los capitalistas. La India, Canadá y todo el territorio hasta el Misisipí, desde Nueva Orleans a Florida, pasó a manos de los ingleses. Federico el Grande fue el cofttndador del Imperio británico.

Yen 1763, finalizada la guerra de los Siete Años, comienza la modernidad. ¿Por qué? La guerra había preparado el escenario en el que ahora tiene lugar una extraordinaria aceleración del tiempo, y este proceso conduce a una cuádruple revolución.

1. La eliminación de Francia como rival colonial elimina también los peligros a los que antes estaban expuestas las colonias inglesas. Ahora ya no necesitan que se las proteja ni que se las defienda de nadie. En otras palabras: venciendo a Francia en la guerra de los Siete Años, los propios ingleses han hecho desaparecer la única razón por la que las colonias permitían ser gobernadas desde Inglaterra.

En 1776, sólo trece años después de la victoria de Inglaterra, las trece colonias americanas de Inglaterra declaran su independencia. Junto a Prusia, nace ahora otra gran potencia mundial: Estados Unidos. Pero esta Declaración de independencia significa al mismo tiempo una revolución: los norteamericanos —descendientes de los puritanos— vuelven a negar su obediencia al Rey La guerra de Independencia es también una guerra de siete años y dura desde 1776 hasta 1783, aunque en realidad es una guerra civil con un océano por medio y en ambos lados hay leales y rebeldes.

En Inglaterra, los rebeldes se sientan en el Parlamento, por ejemplo Pitt el Viejo, el dramaturgo Richard Sheridan, el vividor Charles Fox y el ensayista político Edmund Burke, y pronuncian fulminantes discursos en favor de la libertad de los norteamericanos y contra la tiranía del gobierno. Trece años antes de la Revolución francesa comienza la Revolución americana. La Declaración de independencia contiene la Declaración de los Derechos del Hombre en un inglés excelente: Villiold lhese truths to be self-evident: that ah men are created equal; (hat thev are endowed their Greatar with certain malienabie rights, that among these are lfe, liberty an.d tli.epursuit of happiness… » («Consideramos evidentes las siguientes verdades: que todos los hombres han sido creados iguales; que su Creador los ha dotado de ciertos derechos inalienables; entre ellos el derecho a la vida, a la libertad y a la búsqueda de la felicidad»).

2. La victoria de Inglaterra en la guerra de los Siete Años su dominio sobre el comercio mundial prepararon la Revolución industrial. Para ello resultaban necesarios tres ingredientes: grandes mercados, gigantescos capitales producción de energías titánicas con las que hacer funcionar las máquinas.

Con la invención y el posterior perfeccionamiento de la máquina de vapor por parte de James Watt a partir de 1765, se cerraba el circulo que empezaría a transformar cada vez más rápidamente el mundo: como la máquina de vapor —a diferencia de la electricidad— concentraba su energía en un lugar, las máquinas también debían concentrarse en un lugar, lo mismo que los hombres que las manejaban. Así surgía el sistema industrial y después ya nada sería como antes: asistirnos al nacimiento de un nuevo tipo de infierno. El capitalismo estaba ahí.

En este sistema, grandes capitales hacían que inmensas cantidades de energía se concentraran para poner en funcionamiento muchas máquinas, que eran manejadas al mismo tiempo por muchos hombres con el fin de producir masivamente unos productos destinados a gigantescos mercados, y volver así a obtener enormes capitales. Una vez puesto en marcha, el proceso se aceleró por sí mismo, y los maestros manufactureros, que hasta entonces estaban al frente de las fábricas, fueron sustituidos progresivamente por los propietarios de los capitales. Este sistema industrial hizo posible la peor forma de explotación desde las canteras de Siracusa las minas de plata de Potosí: los trabajadores ya no se organizaban en gremios, por lo que estaban des-protegidos; trabajaban por un sueldo de hambre durante diez o doce horas diarias, en condiciones sanitarias deplorables, y vivían en chabolas. Esta situación motivaría la formación de los sindicatos y la crítica de Marx al capitalismo.

— La celeridad con la que se transforman las condiciones de vida de la gente da origen a la revolución cultural que llamamos Romanticismo. Esta época comienza alrededor de 1760 y la mejor forma de comprenderla es atendiendo a las nuevas formas de experiencia que trae consigo la transformación de los conceptos fundamentales.

— Es fundamental la nueva forma de experimentar el tiempo: las transformaciones técnicas hacen que las cosas cotidianas también envejezcan rápidamente. Así, la propia infancia «pertenece al pasado», vive sólo en el recuerdo. Se descubre la nostalgia, un sentimiento romántico. De este modo se descubre también la «infancia» como dimensión propia de la experiencia que favorece la comprensión, y se descubre el amor materno.

— Como todo cambia, ahora aparece «la» historia. Hasta entonces sólo había habido historias en plural, stories. En principio, éstas eran repetibles e ilustraban la permanencia de las normas morales, por ejemplo, «Cuanto mayor es la subida, mayor es la caída». Por eso se podía aprender de la historia. Ahora surge el nombre colectivo «historia» en el sentido (la historia Universal, una historia que progresa y en la que nada se repite, pues todo cambia. Esta idea implica enormes consecuencias.

La historia se convierte en la idea rectora. Al concebirla como progreso, se hacen depender de ella todas las esperanzas que hasta entonces se ligaban a la religión. La historia tiene una meta: la salvación de la humanidad como realización de la utopía.

Todo ello conduce a la aparición de las ideologías. El final de la religión anuncia la época de las ideologías y las guerras ideológicas del siglo XX resucitan las guerras religiosas del siglo XVIII.

— Como la historia no se repite, se siente por vez primera que la historia de la humanidad es única, lo que confiere valor a la idea de originalidad. El concepto «individuo» (que significa propiamente «indiviso») significa ahora «original». Cada individuo vive el mundo a su manera, como se expresa de forma muy clara en el arte y en la poesía. De este modo la teoría del arte adquiere una nueva base. Anteriormente, el arte era una imitación de la naturaleza conforme a las reglas dadas por los clásicos; ahora, la originalidad prohíbe la imitación. Por lo tanto, el artista ya no imita el mundo, sino que crea uno nuevo: el artista se convierte en creador, y crea del mismo modo que Dios: libremente. Es concebido corno el hermano pequeño de Dios: es un genio.

— Corno todos los individuos son originales, todos tienen el mismo valor. Ya no hay distintas clases (le individuos más o menos valiosos. Así pues la división de la humanidad en clases sociales —nobleza, clero, burguesía , campesinos— se vuelve problemática. Todo esto no son más que divisiones introducidas arbitrariamente por los hombres y contrarias a la naturaleza humana. Ahora, el concepto de naturaleza se opone al de sociedad falsa. La naturaleza es buena (algo que en Alemania los Verdes siguiente creyendo: aunque los lobos se comen a los corderos, ellos son unos románticos). Se descubren los pueblos primitivos, como los indios y a parece la idea del «buen salvaje».

La Revolución francesa quiere restaurar el orden natural, por lo que quita de en medio todo aquello que considera un invento de la sociedad. Se venera a la diosa Naturaleza, se pretende que las fronteras sean naturales, como el Rin (lo que los alemanes no consideran tan natural); se suprimen las antiguas provincias y los nuevos departamentos reciben nombres de accidentes geográficos, como por ejemplo los ríos; se da a los meses del año nombres como «mes del calor» (termidor) o «mes de la niebla» (brumario). Desde el punto de vista político, lo decisivo es que todos los hombres tienen «derechos naturales» como «libertad, igualdad…». Si estos derechos son violados, los hombres pueden recurrir a la revolución. Y para poder vivir todo esto, la poesía romántica invoca a la naturaleza, a la buena, como caja de resonancia del alma humana. Sumergiéndose en la naturaleza, el alma se purifica de toda la suciedad que se le ha adherido en su trato con la sociedad. La sociedad es mala, es un mundo de hipocresía en el que se pierde la identidad y la autenticidad. En ella, el ser humano se pierde y se enajena, excepto cuando encuentra un alma aÍin con la que compartir su soledad, esto es, el amor.

— La intimidad del amor se convierte en el sustituto de la sociedad, que todo lo falsifica. El amor es una esfera en la que el ser humano puede ser él mismo; por eso, su medio de comunicación no es ya el lenguaje manido, sino un lenguaje especial situado más allá del lenguaje: el sentimiento. Los sentimientos no se pueden fingir, son siempre auténticos (y quien los finge, quien por ejemplo se casa por dinero, es considerado un inmoral). Así pues, el sentimiento se convierte en el santo y seña de la época.

Por más paradójico que pueda parecer, en la Ilustración razón y sentimiento todavía no se oponen entre sí: el sentimiento es tan natural como la razón. La oposición surgirá después, cuando la razón torne las riendas y dañe el sentimiento. Hay un hombre que con su excéntrica carrera y su exhibicionismo espiritual ha contribuido más que ningún otro a la difusión del concepto de sentimiento: Jean-Jacques Rousseau (1712-1778).

Con su Emilio, Rousseau escribió el manual de educación alternativo para el niño no corrompido por la sociedad (aunque él metió a sus hijos en un orfanato), se desnudó espiritualmente en sus confesiones e hizo que toda Europa supiera cuánto le dolía ser un rebelde solitario, un paria y un proscrito. Puesto que de algún modo todos se sentían solos, Europa compartió su sentir.

Roussean inspiró la Revolución francesa y el Werther de Goethe, introdi4jo el «dolor cósmico» y el concepto de <volonté générale> (voluntad general). Debido a su oscuridad, este concepto se convirtió en un arma peligrosa durante la Revolución francesa. Le sucedió algo similar a lo que después le ocurriría al «interés objetivo del proletariado». Todos pretextaron estar actuando en su nombre, y de este modo justificaron sus crímenes.

PARA SABER MAS…
causas de la Guerra de los Siete Años (1756-1763)

Entre los motivos principales del conflicto que estalló a mediados de siglo, debemos señalar:
La rivalidad por lograr la hegemonía continental. Austria, Francia, Rusia y el Imperio se enfrentan con Prusia.

La competencia por el control del comercio y las posesiones ultramarinas entre Inglaterra, Francia y España.

En 1756 comienza la guerra entre Francia e Inglaterra. En los dos primeros años, los triunfos son franceses; posteriormente, Inglaterra logra recuperarse.

Guillermo Pitt, integrante del gobierno inglés, traza un plan para revertir la desfavorable situación de su país en la guerra. Ayuda monetariamente a Prusia en su enfrentamiento continental y concentra su esfuerzo bélico en el mar.

Finalmente, Inglaterra y Prusia son las potencias vencedoras.
En 1763, se firma la Paz de París:
– Francia cede Canadá a Gran Bretaña y Luisiana a España.
– España entrega Florida a Inglaterra.

La guerra resultó ventajosa para Inglaterra mientras que Francia sufrió importantes pérdidas territoriales coloniales. Por la Paz de Hubertsburgo (1763), que pone fin al conflicto en el continente, se afirma la posición de Prusia como nueva potencia. Como consecuencia imprevista de esta guerra, en un futuro cercano, Francia y España apoyarán la independencia de las colonias inglesas de Norteamérica (una forma de desquite contra Inglaterra).

Fuente Consultada: La Cultura de Dietrich Schwanitz

Vidas de Cientificos Grandes Hombres de Ciencia Biografias Historias

Vidas de Grandes Científicos de la Historia

Los primeros intentos de estudiar el mundo desde un punto de vista científico datan del antiguo Egipto y Babilonia. Sin embargo es a los griegos a quienes debemos las bases de muchos de nuestros pensamientos científicos; la geometría, la astronomía y la química fueron estudiadas frecuentemente de una manera amplia aunque, a veces, las conclusiones a que llegaron fueron desacertadas. Aristóteles creía (erróneamente) que la Tierra era el centro del Universo y que toda la materia estaba formada de cuatro elementos:  tierra, aire, fuego y agua.

Durante la edad media la química se hizo importante aunque no se la conocía por tal nombre. Los alquimistas, dedicados a cosas tales como producir oro de otros metales, realizaron individualmente muchos descubrimientos importantes, aunque poco contribuyeron a nuestro conocimiento de la naturaleza de la materia. La visión del Universo fue alterada radicalmente por las ideas de Copérnico (quien demostró que el centro del sistema solar era el Sol).

El siglo XVII vió un gran florecimiento de la investigación científica. Newton formuló sus leyes del movimiento y de la gravitación universal; en 1662 se fundó en Londres la Royal Society y se crearon en Europa muchos otros cuerpos de científicos organizados, los cuales allanaron el camino para el acercamiento a la ciencia moderna. Ésta ha evolucionado rápidamente a través de los siglos XVIII y XIX, hasta llegar al profesionalismo especializado de hoy. A continuación figuran muchos de los más grandes científicos.

Ver Una Lista de los Más Grandes Científicos de la Historia

LISTA DE LOS TEMAS TRATADOS

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Grandes Ideas de la Ciencia
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Los Científicos Investigan
1-1 La observación conduce a la investigación.
En la Universidad de Wurzburgo en Baviera, había un profesor de Física llamado Wilhelm Roentgen (figura abajo), que en la tarde del 8 de noviembre de 1895, se encontraba en su laboratorio haciendo experimentos con un tubo de vacío.

Los tubos de vacío de esa época eran más sencillos que los que se utilizan actualmente en los aparatos de radio. Dentro de una ampolla de vidrio había dos pequeñas placas metálicas separadas varios centímetros; un alambre partía de cada placa atravesando el vidrio del tubo. Cuando las terminales de estos alambres se conectaban a una fuente de electricidad, una carga eléctrica cruzaba el vacío del tubo desde una placa a la otra. Ninguna luz era visible dentro de la ampolla, pero el vidrio adquiría brillantez cerca de una de las placas.

Mientras trabajaba ese día, Roentgen miró casualmente un estante colocado en el otro extremo del laboratorio, notando que una sustancia química contenida en uno de los frascos brillaba débilmente. Años después, cuando Roentgen era famoso, alguien le preguntó qué había pensado al observar aquel brillo en el frasco; después de meditar, contestó: “No pensé, investigué”.

La investigación indicó que el frasco contenía un producto químico con el difícil nombre de platinocianuro de bario. Este es uno de los compuestos que brillan siempre cuando un rayo luminoso incide directamente sobre ellos; dichos compuestos se llaman fluorescentes.
El frasco en el laboratorio de Roentgen no se encontraba expuesto a la luz directa, así que el brillo estaba aparentemente relacionado con la corriente eléctrica dentro del tubo, ya que cesaba poco después de cortar la corriente. Como Roentgen pronto aprendió con experimentos, la corriente en el tubo hacía relucir el compuesto químico, aun cuando el tubo estuviese cubierto completamente con un cartón negro. Parecía que había algo, similar a la luz, pero sin efecto sobre el ojo, que era producido cuando la corriente atravesaba el tubo y que podía cruzar el cartón negro.

1-2 De la investigación surgen preguntas.
El “algo” descubierto por Roentgen (el agente como lo llamó al principio) podía penetrar a través del vidrio, el cartón negro y el aire. ¿Atravesará también otras substancias? ¿Cuáles de éstas serán transparentes y cuáles opacas? ¿Podrá medirse el grado de transparencia? ¿Qué relación habrá entre la transparencia y las propiedades químicas de la substancia?

El agente actuaba como la luz en un aspecto: hacía brillar un compuesto fluorescente. ¿Actuará también como la luz en otros aspectos? Por ejemplo, ¿se propagará en línea recta?, ¿podrá utilizarse para tomar fotografías?

1-3 Una búsqueda para encontrar las respuestas exige ingenio y experimentación.
Durante las pocas semanas siguientes, Roentgen contestó tantas de estas preguntas como le permitió el tiempo. No intentó encontrar respuestas completas. Sus experimentos eran por completo preliminares. Exploraba buscando respuestas provisionales que sirvieran de guía para un estudio posterior más completo y sistemático. Necesitaba hacer comparaciones y quería idear el modo de hacer medidas.

Su primer paso fue construir una pantalla de papel pintada con una solución de platino-cianuro de bario y colocarla en varias posiciones cerca del tubo de vacío. Siempre que la corriente atravesaba la ampolla la pantalla brillaba, con mayor intensidad cuando la superficie pintada estaba vuelta hacia la región fluorescente del vidrio. Parecía como si los rayos salieran de esa región y alcanzaran la pantalla. Como Roentgen suponía que el agente eran rayos de una naturaleza desconocida les puso el nombre de rayos X-

El segundo paso fue colocar varios objetos entre el tubo y la pantalla y observar el brillo de ésta al pasar la corriente por aquél. Más tarde, Roentgen tuvo gran esmero en medir el espesor y otras propiedades de los objetos usados, pero en su trabajo preliminar estaba demasiado impaciente para llevarlo a cabo.

En lugar de ello, escogió varios objetos que le rodeaban en el laboratorio para colocarlos delante de la pantalla: un libro de mil páginas, un doble paquete de cartas de baraja, un grueso trozo de madera, un pedazo de ebonita . . . , todo resultó transparente a los rayos X. Pero cuando Roentgen puso su mano entre el tubo y la pantalla vio “. . . la sombra más obscura de los huesos destacándose dentro de la sombra, sólo ligeramente menos obscura, de la mano”. La carne, por tanto, no era completamente transparente a los rayos X y los huesos lo eran aún menos. Por entonces, Roentgen había dejado de observar simplemente si los rayos X atravesaban un material; comenzaba a medir el grado en que penetraban.

Roentgen también usó técnicas fotográficas en su investigación. Sin embargo, no empleóuna cámara, sino sólo placas sensibilizadas (placas de vidrio cubiertas con una emulsión fotográfica eran las usadas en los albores de la fotografía, en lugar de películas como ahora). De nuevo, Roentgen utilizó los objetos que tenía a su alcance. Colocó primero una placa sensible dentro de una caja de madera, después puso sobre la caja la llave de una puerta e hizo pasar una corriente por el tubo de vacío. Cuando reveló la placa, encontró en ella la imagen de la llave. Después, puso su monedero en lugar de la llave y obtuvo la impresión de las monedas que estaban dentro. A continuación, fotografió los huesos de su mano.

1-4 El informe de los resultados estimula el interés ulterior.
Durante todas estas investigaciones, el Profesor Roentgen tomó notas de sus observaciones.

No comprendía entonces todo lo que había visto y no quería que sólo por ese motivo se perdiera alguna observación. Además, había demasiados detalles para recordar. Como hacen muchos otros científicos, una gran parte de lo anotado por Roentgen trataba de descripciones y opiniones sobre lo que observaba. Ciertamente, eran abundantes sus comentarios en aquel tiempo.

Lo que realizó el Profesor Roentgen durante aquellas semanas de noviembre de 1895, se conoce ahora, en parte, debido a que escribió cuidadosas notas de sus experimentos y observaciones. Pero esto no era suficiente. Roentgen también deseaba compartir su entusiasmo y sus hallazgos iniciales con otras personas interesadas, que podrían unirse a sus investigaciones para explicar estos nuevos fenómenos. En consecuencia, redactó sus notas de laboratorio con el fin de preparar un informe.

Este informe lo leyó en la sesión de diciembre de la sociedad científica local, la Asociación Físico-Médica de Wurzburgo. Como indica su nombre, la Asociación incluía físicos y médicos.

La disertación del Profesor Roentgen tuvo gran significado para ambos grupos. Los físicos vieron el descubrimiento de los rayos X como un paso hacia un mejor conocimiento del comportamiento de la energía y de la estructura de la materia. Los médicos, como un acontecimiento de gran valor práctico para su profesión, especialmente en cirugía.

Las noticias de la animada reunión de Wurzburgo se esparcieron rápidamente, pero no todos se impresionaron. Hubo gente, como siempre la hay, que menospreció la importancia del trabajo de Roentgen (¡como poco científico por haber usado barajas!). Otras personas, aunque interesadas en el nuevo campo de estudio, estaban tan absorbidas en sus propios problemas científicos, que no podían apreciar toda su importancia, ni dedicarle algún tiempo. Aún así, cuando el trabajo del Profesor Roentgen apareció impreso, había científicos en todo el mundo ansiosos de repetir los experimentos y llevarlos más lejos.

En Francia, en el lapso de un año, el trabajo precursor de Roentgen condujo al descubrimiento de la radiactividad. Con esta base, los estudios hechos por científicos de muchas naciones, llevaron, después de cincuenta años, a la liberación de la energía nuclear.

Fuente Consultada: Física, Fundamentos y Fronteras – Stollberg/Hill

Ver También: 10-10-10 Todo de a 10…    Vidas Para Reflexionar!

Sólidos Platónicos Poliedros Regulares Demostración Sólidos Pitágoras

POLIEDROS PLATÓNICOS

Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy Importante y conocieron la existencia de los cinco únicos sólidos regulares, a los que Platón recurrió Incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752, Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, el resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares.

Definición de poliedro: Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son, por tanto, objetos tridimensionales limitados por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro.

Los antiguos griegos conocían la existencia de cinco poliedros regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras. Teeteto fue probablemente el autor de la primera construcción teórica rigurosa de dichos poliedros como cuerpos inscritos en una esfera, construcción con la que culminaban los Elementos de Euclides, donde aparece asimismo, como colofón de la obra, la demostración de que sólo pueden existir cinco de ellos.

Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono, que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvadas; son los llamados cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención preferente y cuyas superficies y volúmenes estaban ya recogidos en la obra de Euclides.

Los siguientes poliedros regulares son los llamados “poliedros platónicos“.

poliedos regulares o platonicos

poliedros platonicos

poliedros regulares, dodecaedro 12 caraas

poliedros regulares octaedro 8 caras

poliedros regulares tetraedro 4 caras

Euler matemático

Leonhard Euler (1707-1783) fue un matemático suizo, verdadero virtuoso de las matemáticas, a todas cuyas ramas contribuyó en alguna medida, además de reatar aportaciones a otras ciencias, como la física y la astronomía. Autor de los primeros tratados sistemáticos del cálculo infinitesimal, convirtió la idea de función en concepto básico del análisis matemático Se ocupó de las funciones trascendentes y de la vinculación de ios logaritmos con los números imaginarios y las funciones circulares. Fue profesor en las Academias de Berlín y de San Petersburgo.

tabla de poliedros

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Un polígono (que significa en griego “de muchos ángulos”) regular es una figura bidimensional con un cierto número n de lados iguales. Sin = 3, el polígono es un triángulo equilátero; si n = 4 es un cuadrado; si n = 5 es un pentágono, etc. Un poliedro (que significa en griego “de muchas caras”) es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos: un cubo, por ejemplo, cuyas caras son 6 cuadrados.

Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental en la obra de los pitagóricos y de Johannes Kepler es que sólo hay y puede haber 5 sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de una relación descubierta mucho después por Descartes y por

 Leonhard Euler que relaciona el número de caras, C,  el número de aristas, A y el número de vértices, V, de un sólido regular:

V-A+C=2  (2)

En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (C=6), y 8 vértices (V=8), 8-A+6=2 , 14-A=2, y A=12 ; la ecuación (2) predice que el cubo tiene 12 aristas, y así es. Puede consultarse una demostración geométrica sencilla de la ecuación (2) en la obra de Courant y Robbins citada en la bibliografía. A partir de la ecuación (2) podemos demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.

Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Imaginemos de nuevo el cubo en el cual cada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro, nC, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto  C=2A (3)

Sea r el número de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo r=3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértives, rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista. Por lo tanto,

rV=-2A ( 4)

Si sustituimos los valores de y C de las ecuaciones (3) y (4), en la ecuación (2) obtenemos la (5):

Si dividimos ambos términos de esta ecuación por 2A, tendremos:

Sabemos que n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en un vértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3, el primer término de la ecuación(5) seria inferior a 2/3, y la ecuación no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien n = 3 y r vale 3 o más, o bien r= 3 y n vale 3 o más.

Si n=3, la ecuación (5) se convierte en (1/3+(1/r)=(1/2)+(1/A), o bien:

Es decir, que en este caso sólo puede ser igual a 3,4 o 5. (Si r valiese 6 o más, la ecuación no se cumpliría.) Ahora bien, n = 3, r = 3 designa un sólido en el cual convergen en cada vértice 3 triángulos. La ecuación (6) dice que este sólido tiene 6 aristas, la ecuación (3) que tiene 4 caras, la ecuación (4) que tiene 4 vértices. Es evidente que se trata de la pirámide o tetraedro; sin = 3, r = 4 tenemos un sólido con 8 caras en el cual convergen en cada vértice 4 triángulos, el octaedro; y si n = 3, r= 5 tenemos un sólido con 20 caras y con 5 triángulos convergiendo en cada vértice, el icosaedro.

Si r=3, la ecuación (5) se convierte en:

Y utilizando argumentos semejantes n sólo puede ser igual a 3,4 o 5. Si n=3 tenemos de nuevo el tetraedro, si n=4 tenemos un sólido cuyas caras son 6 cuadrados, el cubo, y si n=5 el sólido tiene 12 caras formadas por pentágonos , el dodecaedro.

No hay más valores enteros posibles de n y r por lo tanto sólo hay 5 sólidos regulares, conclusión deducida de la matemática más abstracta y bella , y que como hemos visto tuvo un impacto muy profundo sobre los asuntos prácticos de la humanidad.

Tabla con datos geométricos de los cinco sólidos pitagóricos: Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el Tetraedro, el Cubo, el Octaedro, el Dodecaedro y el Icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los “elementos fundamentales”: tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros, de estos se derivan los Sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.

Imagen del Sitio luventicus.org

ElMysterium Cosmographicumde  Johannes Kepler:

Al edad de 24, Kepler publicó Mysterium Cosmographicum (Misterio Cosmográfico, 1596), en el que defendió la teoría de Copernicus y describió sus ideas en la estructura del sistema planetario. Influenciado por Pitágoras, Kepler vió el universo como un ser gobernado por relaciones geométricas que conforman círculos inscritos y circunscritos en polígonos regulares de cinco lados.

Centró en los problemas relacionados con las órbitas planetarias, así como en las velocidades variables con que los planetas las recorren, para lo que partió de la concepción pitagórica según la cual el mundo se rige en base a una armonía preestablecida.

Tras intentar una solución aritmética de la cuestión, creyó encontrar una respuesta geométrica relacionando los intervalos entre las órbitas de los seis planetas entonces conocidos con los cinco sólidos regulares. Juzgó haber resuelto así un «misterio cosmográfico» que expuso en su primera obra, Mysterium cosmographicum (El misterio cosmográfico, 1596), de la que envió un ejemplar a Brahe y otro a Galileo, con el cual mantuvo una esporádica relación epistolar y a quien se unió en la defensa de la causa copernicana.

PLATÓN Y PITÁGORAS: Los Cinco Sólidos Pitagóricos.

Fuente Consultada: Cosmos de Carl Sagan.

Demostración pitagórica del número irracional de la raíz cuadrada de 2

El argumento pitagórico original sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 dependía de una clase de argumento llamado reducción al absurdo: suponemos de entrada la verdad de una afirmación, seguimos sus cconsecuencias y desembocamos en una contradicción, lo que nos permite determinar su falsedad.

Tomemos un ejemplo moderno y consideremos el aforismo del gran físico del siglo veinte, Niels Bohr: “Lo contrario de cualquier gran idea es otra gran idea.” Si la afirmación fuera cierta sus consecuencias podrían ser como mínimo algo peligrosas. Consideremos por ejemplo lo contrario de la Regla de Oro evangélica o de las prescripciones contra la mentira, o del precepto “no matarás”. Consideremos pues si el mismo aforismo de Bohr es en si una gran idea, Si así es, la afirmación contraria, “lo contrario de cualquier gran idea no es una gran idea” también debe ser cierta. Hemos llegado entonces a una reducción al absurdo. Si la afirmación contraria es falsa podemos dejar de lado el aforismo porque ha confesado claramente que no es una gran idea. Presentamos aquí una versión moderna de la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 uutilizando la reducción al absurdo y un álgebra sencilla en lugar de la demostración exclusivamente geométrica descubierta por los pitagóricos. El estilo del argumento, el modo de pensar, son por lo menos tan iinteresantes como la conclusión:

 

Consideremos un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unidad o un centímetro, un metro, un año un lo que sea). La línea diagonal BC divide al cuadrado en dos triángulos, cada uno de los cuales contiene un aángulo recto. En estos triángulos rectángulos es válido el teorema de Pitágoras:
1² + 1²= X2. Pero 1²+1²=2 , por lo tanto x2 = 2  y escribiremos x=sqr(2) , raíz cuadrada de dos.

Supongamos que sqr(2) (raiz cuadrada de 2) sea un número racional: sqr(2)=p/q. donde p y q son números enteros. Pueden ser tan grandes como queramos y representar los números enteros que queramos. Podemos exigir desde luego que no tengan factores comunes. Si quisiéramos afirmar por ejemplo que sqr(2)= 14/10, eliminaríamos el factor común 2 y escribiríamos p=7 y q=5, no p=14 y q=10. Hay que eliminar cualquier factor común de numerador y denominador antes de empezar. Tenemos para escoger un número infinito de pes y de qus. Si elevamos al cuadrado los dos términos de la ecuación sqr(2)=p/q, obtenemos 2=p2/q2, y luego multiplicando ambos términos dc la ecuación por q2 llegamos a:

Por lo tanto p2 es algún número multiplicado por 2. Es decir que p2 es un número par. Pero el cuadrado de cualquier numero impar es también impar (1²=1 , 3²2=9 , 5²=25, etc.). Por lo tanto tamhién p ha de ser par, y podemos escribir  2s, siendo s algún entero. Si sustituimos este valor de p en la ecuación anterior obtenemos:

 

Dividiendo ambos miembros de esta última igualdad por 2, obtenemos:

Por lo tanto q2 es también un número par y se deduce por el mismo argumento utilizado con p que q también es un número par. Pero si p y q son ambos números pares, ambos divisibles por 2, no se redujeron a su mínimo común denominador, lo cual contradice uno de nuestros supuestos. Reducción al absurdo. El argumento no puede decirnos que esté prohibido reducir los factores comunes, que 14/10 esté permitido y en cambio 7/5 no lo esté. Luego el supuesto inicial ha de ser erróneo; p y q no pueden ser números enteros, y sqr(2) es irracional. De hecho sqr(2)=1,4142135…

¡Qué conclusión más asombrosa e inesperada! ¡Qué demostración más elegante! Sin embargo los pitagóricos se sintieron obligados a ocultar este gran descubrimiento.

La escuela pitagórica encerraba su caducidad en si misma. A fuerza de estudiar los números. Filolao y otros discípulos del maestro comprobaron, con gran sorpresa por su parte, que algunos de entre ellos eran irracionales. ¿Cómo construir un universo sobre unos números que no podían identificarse con ningún otro? Dentro del fruto anidaba el gusano de la contradicción y el arsenal matemático de los pitagóricos no era suficientemente rico para soslayar esta dificultad mayor. He aquí el motivo de que Platón (497-347) se viera obligado a fundamentar su física sobre la geometría y especialmente sobre la teoría de los sólidos, de moda en su época.

Fuente Consultada: Cosmos de Carl Sagan.

Biografia de John Nash:Una Mente Brillante

John Forbes Nash: Matemático, Premio NobelLa verdadera vida de John Forbes Nash, Jr.

 “Una mente maravillosa”, “A beautiful Mind” es un magnífico producto de Hollywood inspirado en la vida de John Nash pero que no pretende ser su biografía. En realidad son muy pocos los hechos o situaciones de la vida real de Nash que son contados en la película.

El padre se llamaba también John Forbes Nash por lo que distinguiremos al padre del hijo al estilo americano, añadiéndoles el calificativo “Senior” o “Junior” (Jr.).  Nash Senior nació en Texas en 1892 y estudió ingeniería eléctrica. Después de luchar en Francia en la primera guerra mundial, fue durante un año profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Texas tras lo que se incorporó a la empresa Appalachian Power Company en Bluefield, West Virginia.

La madre de Nash Jr., Margaret Virginia Martin, estudió idiomas en las universidades Martha Washington College y West Virginia University. Fue profesora durante diez años antes de casarse con Nash Senior, el 6 de septiembre de 1924.

Johnny Nash, así le llamaba su familia, nació en Bluefield Sanatorium el 13 de junio de 1928 y fue bautizado en la iglesia Episcopaliana. Sus biógrafos dicen que fue un niño solitario e introvertido aunque estaba rodeado de una familia cariñosa y atenta. Parece que le gustaban mucho los libros y muy poco jugar con otros niños. Su madre le estimuló en los estudios enseñándole directamente

y llevándole a buenos colegios.

Sin embargo, no destacó por su brillantez en el colegio. Por el contrario, debido a su torpeza en las relaciones sociales, era considerado como un poco atrasado. Sin embargo, a los doce años dedicaba mucho tiempo en su casa a hacer experimentos científicos en su habitación.

Su hermana Martha, dos años más joven que él, era una chica muy normal. Dice de su hermano:

“Johnny era siempre diferente. Mis padres sabían que era diferente y también sabían que era brillante. Él siempre quería hacer las cosas a su manera. Mamá insistía en que yo le ayudase, que lo introdujera entre mis amistades… pero a mí no me entusiasmaba lucir a un hermano tan raro”.

A los catorce años Nash empezó a mostrar interés por las matemáticas. Parece ser que influyó la lectura del libro de Eric Temple Bell,  “Men of Mathematics” (1937). Entró en el Bluefield College en 1941. Comenzó a mostrarse hábil en matemáticas, pero su interés principal era la química. Se suponía que iba a seguir la misma carrera de su padre,  ingeniería eléctrica, pero continuaba con sus experimentos químicos. Parece ser que tuvo alguna relación con la fabricación de unos explosivos que produjeron la muerte a uno de sus compañeros de colegio.

Nash ganó una beca en el concurso George Westinghouse y entró en junio de 1945 en el Carnegie Institute of Technology (hoy llamado Carnegie-Mellon University) para estudiar ingeniería química. Sin embargo empezó a destacar en matemáticas cuyo departamento estaba dirigido entonces por John Synge, que reconoció el especial talento de Nash y le convenció para que se especializara en matemáticas.

Se licenció en matemáticas en 1948. Lo aceptaron para estudios de postgrado en las universidades de Harvard, Princeton, Chicago y Michigan. Nash consideraba que la mejor era Harvard, pero Princeton le ofreció una beca mejor por lo que decidió estudiar allí, donde entró en septiembre de 1948.

En 1949, mientras se preparaba para el doctorado, escribió el artículo por el que sería premiado cinco décadas después con el Premio Nobel. En 1950 obtiene el grado de doctor con una tesis llamada “Juegos No-Cooperativos”. Obsérvese que el libro inicial de la teoría de juegos, “Theory of Games and Economic Behavior” de von Neumann y Oskar Morgenstern,  había sido publicado muy poco antes, en 1944.

En 1950 empieza a trabajar para la RAND Corporation, una institución que canalizaba fondos del gobierno de los Estados Unidos para estudios científicos relacionados con la guerra fría y en la que se estaba intentando aplicar los recientes avances en la teoría de juegos para el análisis de estrategias diplomáticas y militares. Simultáneamente seguía trabajando en Princeton. En 1952 entró como profesor en el Massachusetts Institute of Technology. Parece que sus clases eran muy poco ortodoxas y no fue un profesor popular entre los alumnos, que también se quejaban de sus métodos de examen.

En este tiempo empezó a tener problemas personales graves que añadidos a las dificultades que seguía experimentando en sus relaciones sociales. Conoció a Eleanor Stier con la que tuvo un hijo, John David Stier, nacido el 19 de junio de 1953. A pesar de que ella trató de convencerlo, Nash no quiso casarse con ella. Sus padres solo se enteraron de este asunto en 1956. Nash Senior murió poco después de enterarse del escándalo y parece que John Nash, Jr. se sintió culpable de ello.

En el verano de 1954, John Nash fue arrestado en una redada de  la policía para cazar homosexuales. Como consecuencia de ello fue expulsado de la RAND Corporation.

Una de las alumnas de Nash en el MIT, Alicia Larde, entabló una fuerte amistad con él. Había nacido en El Salvador, pero su familia había emigrado a USA cuando ella era pequeña y habían obtenido la nacionalidad hacía tiempo. El padre de Alicia era médico en un hopital federal en Maryland. En el verano de 1955 John Nash y Alicia salían juntos. En febrero de 1957 se casaron. En el otoño de 1958 Alicia quedó embarazada, pero antes de que naciera su hijo, la grave enfermedad de Nash ya era muy manifiesta y había sido detectada. Alicia se divorció de él más adelante, pero siempre le ayudó mucho. En el discurso de aceptación del Nobel, en 1994, John Nash tuvo palabras de agradecimiento para ella.

En 1959, tras estar internado durante 50 días en el McLean Hospital, viaja a Europa donde intentó conseguir el estatus de refugiado político. Creía que era perseguido por criptocomunistas. En los años siguientes estaría hospitalizado en varias ocasiones por períodos de cinco a ocho meses en centros psiquiátricos de New Jersey. Unos años después, Nash escribió un artículo para una revista de psiquiatría en el que describió sus pensamientos de aquella época:

“.. el personal de mi universidad, el Massachusetts Institute of Technology, y más tarde todo Boston, se comportaba conmigo de una forma muy extraña.  (…) Empecé a ver criptocomunistas por todas partes (…) Empecé a pensar que yo era una persona de gran importancia religiosa y a oir voces continuamente. Empecé a oir algo así como llamadas telefónicas que sonaban en mi cerebro, de gente opuesta a mis ideas.  (…) El delirio era como un sueño del que parecía que no me despertaba.”

A finales de los sesenta tuvo una nueva recaída, de la que finalmente comenzó a recuperarse. En su discurso de aceptación del Premio Nobel describe su recuperación así:

“Pasó más tiempo. Después, gradualmente, comencé a rechazar intelectualmente algunas de las delirantes líneas de pensamiento que habían sido características de mi orientación. Esto comenzó, de forma más clara, con el rechazo del pensamiento orientado políticamente como una pérdida inútil de esfuerzo intelectual”.

En la actualidad sigue trabajando en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton.

Su página web oficial es: http://www.math.princeton.edu/jfnj/

Su dirección electrónica: [email protected]  (hasta el 05-10-2002)

Cuadrar un circulo con regla y compas Cuadratura del Circulo Problema

Cuadrar un Círculo con Regla y Compás

Los Tres Problemas Geométricos Más Famosos De La Antigüedad

Introducción: la cuadratura del círculo

Antes de abordar la historia de la Geometría alejandrina y como complemento a lo dicho en el capítulo anterior, vale la pena de hablar de los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver. – ni nosotros tampoco.

La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles. Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es, precisamente, lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de Matemática actual y de la historia de esta ciencia como la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su error.

En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que n tiene solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y e segundo lugar, hay que distinguir entre la posibilidad y resolubilidad de de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la resolubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble.

La resolución de un problema consiste esencialmente en reducirlo a otro ya resuelto, y, por tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométrica que para los griegos .eran la regla y el compás: únicos aparatos de su actividad matemática hasta el punto de que no concedían carta de naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos distintos de aquéllos.

Con la regla se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas no paralelas, y, en general, los problemas de primer grado, es decir: los que, expresados en lenguaje analítico, sólo contienen la primera potencia de la incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las de paralelismo, longitudes de segmentos, valores angulares, etc., es irresoluble con la regla; con el compás es posible describir una circunferencia centro y radio dados, o de centro dado y que pase por punto dado, y determinar los puntos comunes a dos circunferencias secantes, y, por último, con la regla y el compás son resolubles muchísimos problemas siempre que su expresión algebraica sólo contenga raíces cuadradas. Modernamente se ha demostrado que la regla y el compás se pueden sustituir por una regla de bordes paralelos; pero esto no lo sabían los griegos ni lo saben tampoco los actuales cultivadores de la Matemática patológica.

3) Cuadratura de un Círculo:

El tercer problema famoso: la cuadratura del círculo, es el más popular de todos y también fue abordado por Hipócrates, quien consiguió cuadrar algunos meniscos ó lúnulas, es decir: figuras limitadas por arcos de circunferencia, como la ACED (fig. 20) y la ACDB (fig. 21), la primera de las cuales, por ejemplo, limitada por el cuadrante AED y la semicircunferencia ACD de diámetro igual a la cuerda de aquél, equivale al triángulo rectángulo AOD formado por dicha cuerda y por los radios OA y OD que pasan por sus extremos, como se demuestra fácilmente. Los descubrimientos de Hipócrates hicieron concebir la esperanza de cuadrar el círculo por sucesivas cuadraturas de lúnulas, y como todos los intentos fueron estériles, se pensó en otros medios que condujeron al descubrimiento de algunas curvas notables, como la concoide de Nicomedes y la cisoide de Diocles, matemáticos ambos de la épocas alejandrina.

Conclusión:
Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con a regla y el compás por exigir construcciones en el espacio. La cuadratura del círculo es de otra naturaleza, pues depende del número PI que no puede ser solución de ninguna ecuación de coeficientes enteros, según demostró Lindemann el año 1882, y, por tanto, dicha cuadratura también es imposible con regla y compás. A pesar de que desde el año 1775 la Academia de Cien­cias de París tomó el acuerdo —adoptado después por otras— de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres problemas, siguen lloviendo sobre las corporaciones, científicas multitud de comunicaciones acerca de los mismos, que, naturalmente, van a parar al cesto de papeles sin ser leídas, y esto —que ya está divulgado hasta la saciedad de libros y revistas— no ha bastado, ni basta, ni bastará para curar la enfermedad que padecen los duplicadores, trisectores y cuadradores, a los que hay que añadir los “demostra­dores» del Postulado de Euclides, empeñados en no emplear más armas que las de los griegos antiguos porque ignoran la existencia de las bombas atómicas de la Matemática actual que han demostrado la insuficiencia de los primitivos artefactos bélicos.

Ni qué decir tiene que la ignorancia de los duplicadores, trisectores, cuadradores y postuladores, va unida a una insigne pedantería que les inspira un olímpico desdén por quienes les aconsejan honestamente que se enteren de los trabajos hechos por sus predecesores para soslayar el peligro de descubrir Mediterráneos, porque todos ellos excepción— se creen genios desconocidos, y desde 1uego superiores al medio matemático de su época, y los más enterados se consideran en el caso de un Ruffini, que no con siguió que el Instituto de Francia examinara su demostración de la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto, o de un Grauss, que no quiso publicar sus investigaciones sobre las Geometrías no-euclídeas por temor al “clamoreo de los beocios”.

El culpable de la imposibilidad de construir un cuadrado y un circulo con el mismo área es el número pi, el famoso 3,1416. Claro que no termina ahí, sino que tiene infinitos decimales. Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones -lo que se conoce como números racionales-. Por este motivo, el área de un cuadrado, lado por lado, nunca puede ser igual a la de un círculo, pi por el radio al cuadrado.

Trisecar un angulo con reglas y compás Trisección

Trisecar un ángulo con reglas y compás

Los Tres Problemas Geométricos Más Famosos De La Antigüedad

Introducción:

Antes de abordar la historia de la Geometría alejandrina y como complemento a lo dicho en el capítulo anterior, vale la pena de hablar de los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver. – ni nosotros tampoco.

La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles. Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es, precisamente, lo que no saben los pobres  ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de Matemática actual y de la historia de esta ciencia como la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su error.

En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que n tiene solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y e segundo lugar, hay que distinguir entre la posibilidad y resolubilidad de de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la resolubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble.

La resolución de un problema consiste esencialmente en reducirlo a otro ya resuelto, y, por tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se  supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométrica que para los griegos .eran la regla y el compás: únicos aparatos de su actividad matemática hasta el punto de que no concedían carta de naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos distintos de aquéllos.

Con la regla se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas no paralelas, y, en general, los problemas de primer grado, es decir: los que, expresados en lenguaje analítico, sólo contienen la primera  potencia de la incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las de paralelismo, longitudes de segmentos, valores angulares, etc., es irresoluble con la regla; con el compás es posible describir una circunferencia centro y radio dados, o de centro dado y que pase por punto dado, y determinar los puntos comunes a dos circunferencias secantes, y, por último, con la regla y el compás son resolubles muchísimos problemas siempre que su expresión algebraica sólo contenga raíces cuadradas. Modernamente se ha demostrado que la regla y el compás se pueden sustituir por una regla de bordes paralelos; pero esto no lo sabían los griegos ni lo saben tampoco los actuales cultivadores de la Matemática patológica.

2) Trisección de un Angulo:

El problema de la trisección del ángulo —aunque se ignora su origen— no sería aventurado suponer que se lo plantearon los geómetras cuando supieron bisecarlo por el método que hemos aprendido en el Bachillerato, durante cuyos estudios también nos han dicho que el problema de la trisección es posible en algunos casos particulares: po­sible —se entiende— con regla y compás.

Para la solución general los griegos utilizaron la curva construida por Hippias de Elea llamada despuéscudratriz porque también servía para cuadrar el círculo. La cuadratiz (fig. 19) es la curva que pasa por los puntos de intersección de las diversas posiciones del lado AB del cuadrado ABCD girando con movimiento uniforme alrededor de A hasta ocupar la posición AD y el lado BC trasladándose paralelamente a sí mismo y también con movimiento uniforme hasta llegar también a AD.

Hippias imaginó un aparato para describir mecánicamente la curva, de cuya generación se deduce que trazan una recta cualquiera AB, la razón de cuadrante BED al arco BE es la misma que la del segmento BA al GH, de modo que para trisecar el ángulo EAD basta determinar JI = 1/3GH y el ángulo JAD es la tercera parte delEAD.

Conclusión:
Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de  ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con  a regla y el compás  por exigir construcciones en el espacio. La cuadratura del círculo es de otra naturaleza, pues depende del número PI que no puede ser solución de ninguna ecuación de coeficientes enteros, según demostró Lindemann el año 1882, y, por tanto, dicha cuadratura también  es imposible con regla y compás.  A pesar de que desde el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo —adoptado después por otras— de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres problemas, siguen lloviendo sobre las corporaciones, científicas multitud de comunicaciones acerca de los mismos, que, naturalmente, van a parar al cesto de papeles sin ser leídas, y esto —que ya está divulgado hasta la saciedad de libros y revistas— no ha bastado, ni basta, ni bastará para curar la enfermedad que padecen los duplicadores, trisectores y cuadradores, a los que hay que añadir los “demostra­dores» del Postulado de Euclides, empeñados en no emplear más armas que las de los griegos antiguos porque ignoran la existencia de las bombas atómicas de la Matemática actual que han demostrado la insuficiencia de los primitivos artefactos bélicos.

Ni qué decir tiene que la ignorancia de los duplicadores, trisectores, cuadradores y postuladores, va unida a una insigne pedantería que les inspira un olímpico desdén por quienes les aconsejan honestamente que se enteren de los trabajos hechos por sus predecesores para soslayar el peligro de descubrir Mediterráneos, porque todos ellos excepción— se creen genios desconocidos, y desde 1uego superiores al medio matemático de su época, y los más enterados se consideran en el caso de un Ruffini, que no con siguió que el Instituto de Francia  examinara su demostración de la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto, o de un Grauss, que no quiso publicar sus investigaciones sobre las Geometrías no-euclídeas por temor al “clamoreo de los beocios”.

Duplicar el volumen de un cubo Duplicacion de un Cubo Problema Griego

Los Tres Problemas Geométricos Más Famosos De La Antigüedad

Introducción:
Antes de abordar la historia de la Geometría alejandrina y como complemento a lo dicho en el capítulo anterior, vale la pena de hablar de los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver. – ni nosotros tampoco.

La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles. Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es, precisamente, lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de Matemática actual y de la historia de esta ciencia como la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su error.

En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que n tiene solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y e segundo lugar, hay que distinguir entre la posibilidad y resolubilidad de de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la resolubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble.

La resolución de un problema consiste esencialmente en reducirlo a otro ya resuelto, y, por tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométrica que para los griegos .eran la regla y el compás: únicos aparatos de su actividad matemática hasta el punto de que no concedían carta de naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos distintos de aquéllos.

Con la regla se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas no paralelas, y, en general, los problemas de primer grado, es decir: los que, expresados en lenguaje analítico, sólo contienen la primera potencia de la incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las de paralelismo, longitudes de segmentos, valores angulares, etc., es irresoluble con la regla; con el compás es posible describir una circunferencia centro y radio dados, o de centro dado y que pase por punto dado, y determinar los puntos comunes a dos circunferencias secantes, y, por último, con la regla y el compás son resolubles muchísimos problemas siempre que su expresión algebraica sólo contenga raíces cuadradas. Modernamente se ha demostrado que la regla y el compás se pueden sustituir por una regla de bordes paralelos; pero esto no lo sabían los griegos ni lo saben tampoco los actuales cultivadores de la Matemática patológica.

1) Duplicación del Cubo:

El de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo, que dice así: “Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicadla conservando su forma cúbica, duplicando cada lado”. Es evidente que se equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica, mientras que una sólida se octuplica; y entonces, se propuso a los geómetras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y este problema se llamó duplicación del cubo. Después de un largo período de incertidumbre, Hipócrates de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las cuales es doble de la otra, se insertan dos medias en proporción continua, el cubo quedará doblado, con lo que no hizo sino transformar la dificultad en otra no menor. Se cuenta también que, más tarde, los de Delos, obligados por el oráculo a duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad y entonces enviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia, para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron Arquitas de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas. A estos siguieron otros que se esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones; pero no pudieron efectuar la construcción y acomodarla a la práctica, excepto, acaso, Menecmo, y cón gran trabajo”.

En este importante documento hist6rico, Eratóstenes se hace eco de dos fábulas: una toma como punto de partida la escena en que Eurípides hace cometer al legendario rey de Creta, ante la tumba de su hijo, el error de decir que duplicando la arista de un cubo se duplica su volumen, error que corrige Eratóstenes haciendo observar que duplicando los lados de una “figura plana” —el cuadrado— se cuadruplica [su área] (fig. 13) y haciendo lo mismo con una “sólida” —el cubo (fig. 14) se octuplica [su volumen]; y la otra leyenda alude a la orden de la pitonisa de Delos de duplicar el altar dedicado a Apolo para aplacar la ira de los dioses que habían desencadenado una epidemia en la isla.

Es probable que el problema de duplicar el cubo, también llamado problema de Delos o problema délico, no fuera inspirado por la megalomanía de Minos ni por el oráculo de la sibila, sino por los propios geómetras puesto que sabiendo desde los tiempos de Pitágoras que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro tiene doble área que éste (fig. 15), es decir: sabiendo duplicar el cuadrado mediante la construcción gráfica de la raíz cuadrada de 2 y guiados por su espíritu de generalización, parece natural que quisieran trasportar al espacio el mismo problema, lo que les llevó al de extraer la raíz cúbica de 2, y ante la imposibilidad de construir con la regla y el compás la arista de un cubo de doble volumen que otro, redujeron el problema a otro y, según Eratóstenes, fue Hipócrates de Quío el primero que lo intentó.

Este geómetra —a quien no hay que confundir con su homónimo y contemporáneo el de Cos, padre de la Medicina— nació hacia 450 antes de C. y fue comerciante hasta que los recaudadores de la Aduana ateniense que residían en el Quersoneso lo despojaron de sus bienes y, para reclamar los, se trasladó a Atenas, cuyos ciudadanos se burlaron de él por la ingenuidad que suponía en un extranjero creer que se le iba a hacer justicia. Otros historiadores opinan que la, presencia de Hipócrates en la capital del Ática obedeció al intento de recuperar. las mercancías de uno de sus barcos apresados por piratas atenienses en las proximidades de Bizancio, lo cual era también una tontería.

Sea de ello lo que fuere, es lo cierto que Hipócrates aparece en Atenas por los años de 430, y mientras gestionaba la reivindicación de sus derechos —en lo que están de acuerdo todos los eruditos, ya que no en la causa de la reivindicación— asistió a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que echó las bases del método de reducción que, como hemos dicho antes, consiste en trasformar un problema en otro ya resuelto.

Es posible que tal procedimiento, que parece inseparable de la investigación matemática, hubiera sido empleado antes de Hipócrates, pero fue éste quien descubrió d trato lógico común a muchos métodos para resolver problemas y demostrar teoremas y quien lo aplicó cuestiones.

Conclusión:
Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con a regla y el compás por exigir construcciones en el espacio. La cuadratura del círculo es de otra naturaleza, pues depende del número PI que no puede ser solución de ninguna ecuación de coeficientes enteros, según demostró Lindemann el año 1882, y, por tanto, dicha cuadratura también es imposible con regla y compás.

A pesar de que desde el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo —adoptado después por otras— de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres problemas, siguen lloviendo sobre las corporaciones, científicas multitud de comunicaciones acerca de los mismos, que, naturalmente, van a parar al cesto de papeles sin ser leídas, y esto —que ya está divulgado hasta la saciedad en libros y revistas— no ha bastado, ni basta, ni bastará para curar la enfermedad que padecen los duplicadores, trisectores y cuadradores, a los que hay que añadir los “demostra­dores» del Postulado de Euclides, empeñados en no emplear más armas que las de los griegos antiguos porque ignoran la existencia de las bombas atómicas de la Matemática actual que han demostrado la insuficiencia de los primitivos artefactos bélicos.

Ni qué decir tiene que la ignorancia de los duplicadores, trisectores, cuadradores y postuladores, va unida a una insigne pedantería que les inspira un olímpico desdén por quienes les aconsejan honestamente que se enteren de los trabajos hechos por sus predecesores para soslayar el peligro de descubrir Mediterráneos, porque todos ellos excepción— se creen genios desconocidos, y desde luego superiores al medio matemático de su época, y los más enterados se consideran en el caso de un Ruffini, que no con siguió que el Instituto de Francia examinara su demostración de la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto, o de un Grauss, que no quiso publicar sus investigaciones sobre las Geometrías no-euclídeas por temor al “clamoreo de los beocios”.

Los tres problemas geometricos famosos de los griegos

Los Tres Problemas Geométricos Más Famosos De La Antigüedad

LOS PROBLEMAS GRIEGOS
Introducción:
Vale la pena de hablar de los tres problemas que mas preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a construirse racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver… ni nosotros tampoco. La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles.

Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es, precisamente, lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de la Matemática actual y de la historia de esta ciencia como por la testaruda resistencia pasiva que oponen a. todo intento pura convencerles de su error.

En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que no tiene solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y en segundo lugar, hay que distinguir entre la posibilidad y la resolubilidad de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la n-solubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble.

La resolución de un problema consiste esencialmente en reducirlo a otro ya resuelto, y, por tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométricas que, para los griegos, eran la regla y el compás: únicos aparatos de su actividad matemática hasta el punto de que no concedían carta He naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos distintos de aquéllos.

Con la regla se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas no paralelas, y, en, general, los problemas de primer grado, es decir: los que, expresados en lenguaje analítico, sólo contienen la primera potencia de la incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las de paralelismo, longitudes de segmentos, valores angulares, etc., es irresoluble con la regla; con el compás es posible describir una circunferencia de centro y radio dados, o de centro dado y que pase por un punto dado, y determinar los puntos comunes a dos circunferencias secantes, y, por último, con la regla y el compás son resolubles muchísimos problemas siempre que su expresión algebraica sólo contenga raíces cuadradas.

Modernamente se ha demostrado que la regla y el compás se pueden sustituir por una regla de bordes paralelos; pero esto no lo sabían los griegos ni lo saben tampoco los actuales cultivadores de la Matemática patológica.

El culpable de la imposibilidad de construir un cuadrado y un circulo con el mismo área es el número pi, el famoso 3,1416. Claro que no termina ahí, sino que tiene infinitos decimales. Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones -lo que se conoce como números racionales-. Por este motivo, el área de un cuadrado, lado por lado, nunca puede ser igual a la de un círculo, pi por el radio al cuadrado.

Fuente Consultada: Breve Historia de la Geometría – Francisco Vera

Problemas de Fisica De Yakov Perelman Problemas Para Pensar

1-El Problema de la Plataforma:

Una persona de 60 kg de peso (600 N) se encuentra sobre una plataforma de 30 kg (300 N),  suspendida mediante cuatro cuerdas que pasan por unas poleas como muestra la figura. ¿Con  qué fuerza la persona debe tirar del extremo de la cuerda a para sostener la plataforma donde se encuentra?

2-El Problema de la Curvatura:

¿Qué esfuerzo hay que aplicar a una soga tendiéndola para que no se curve?

¿Cómo hay que tender la cuerda para que no forme comba?

3-El Problema de las Pesas:

Una polea suspendida de una balanza de resorte sostiene una cuerda con sendas pesas, de 1 kg y 2 kg, en los extremos.

¿Qué carga marca el fiel del dinamómetro?

Grandes Matemáticos Que Aportaron Ideas A La Fisica:

matematicos famosos

B. Pascal E.Torricelli C. Huygens D.Bernoulli I. Newton

 Un hombre de ciencia destina una buena parte de su tiempo en pensar “qué pasaría si …” ¿ … si alguien inventara algo para bloquear nuestra gravedad? ¿ … si la luz fuera a la vez una partícula y una onda? ¿ … si hubiera un mundo de antimateria? ¿ … si el Universo que ahora parece expandirse, se contrajera en el futuro?.

El investigador científico plantea la pregunta fundamental: ¿Qué clase de Universo es éste donde yo vivo? Es muy improbable que alguna vez llegue el tiempo en que los humanos agoten sus preguntas respecto a la naturaleza del Universo. Recordemos que Newton se comparaba a sí mismo con un niño jugando con guijarros y conchas en una playa, mientras el “gran océano de la verdad estaba sin ser descubierto” delante de él. El científico siempre trabaja en las orillas del “gran océano de la verdad”, esforzándose en descubrirle cada vez más.

A principios del siglo XX, algunos de los que se preguntaban “qué pasaría si . . .” expusieron ideas que, al principio, se veían tan imposibles como la afirmación de que la gente viviría felizmente en el centro de la Tierra. Al investigar estas ideas aprendieron mucho sobre la orilla del océano de la verdad. Una de las preguntas más importantes fue estimulada por el estudio de la luz, en particular, de los espectros: ¿Es posible que la luz sea a la vez una onda y una partícula? Las consecuencias de esta pregunta han mantenido ocupados a los científicos por más de cincuenta años. Otras preguntas, relacionadas algunas con el problema de la onda-partícula y otras muy diferentes, han surgido en la actualidad.

La Física no está completa. El hombre está aún en la playa de Newton, tratando de comprender el océano que está delante de él. En este capítulo estudiaremos lo relativo a la onda-partícula y también introduciremos algunas otras preguntas para las que están buscando respuestas los científicos actuales.

Científicos, Ciencia y Física
1-Los científicos buscan explicaciones para los fenómenos naturales.
Sobre todo para satisfacer su propia vehemente curiosidad, el Profesor Roentgen investigó la causa del inesperado brillo de las substancias químicas de su laboratorio. Fahrenheit, al estudiar el punto de ebullición del agua, llegó a conocer mejor el proceso de la ebullición. Torricelli, al intentar comprender el funcionamiento de las bombas, pudo mejorarlas. Cada uno de estos físicos fue inquietado por preguntas y problemas de los que no tenía una inmediata respuesta. Cada uno de ellos trató de encontrar explicaciones para lo que había observado.

Estos tres como todos los científicos, tienen algo en común: buscan explicaciones para los fenómenos naturales.
Si esto hacen los hombres de ciencia, ¿todo el que busca explicaciones es un científico? No necesariamente. Muchas personas buscan explicaciones por los que podríamos llamar caminos “no científicos”. Puede ser que traten de adivinar la respuesta o tomen para ello alguna palabra de otro, pero sin pensar por sí mismos. Esta clase de actividad no es ciencia. Hay veces, sin embargo, cuando se busca tesonera y cuidadosamente la explicación de un fenómeno natural. Entonces se está participando en la Ciencia, al menos por algún tiempo.

2-Lo ciencia tiene dos aspectos.
Acaso el lector se sorprenda de que la Ciencia es actividad, como muchos otros, el lector, habrá pensado que la Ciencia es un conjunto de conocimientos difíciles de comprender. Es superfluo decirlo, la Ciencia debe incluir conocimiento y actividad. El conocimiento lo produce la actividad investigadora. Muchos estudiantes estudian sólo el conocimiento y prestan poca o ninguna atención a los medios para descubrirlo. Aprenden en realidad sólo una parte de la Ciencia y desprecian la parte que debería ayudarles más, si desean convertirse ellos mismos en científicos. Omiten la parte que más puede ayudarles a resolver sus propios problemas personales diarios. ¡Sobre todo se pierden la parte más atractiva de la Ciencia!

3- La investigación científica incluye muchas actividades.
Roentgen
, Pascal, Torricelli y otros mencionados en este sitio estuvieron envueltos en muchas y diferentes clases de actividades. Torricelli resolvió su problema de bombeo incluyendo el comportamiento de la atmósfera. Roentgen estuvo suficientemente alerta como para notar un hecho que para muchos otros hubiera pasado inadvertido. Fahrenheit tuvo el valor de dudar lo que algún otro afirmaba y la persistencia de investigar por sí mismo. Pascal y su cuñado, dedicaron mucho esfuerzo a hacer medidas con el barómetro de mercurio. Torricelli fue notablemente hábil para encontrar el modo de explorar el espacio vacío en la parte superior de su barómetro. Todos estos hombres eran curiosos y todos ellos tomaron esmeradas notas de sus cuidadosas observaciones. Como todos los científicos formularon hipótesis para guiar su trabajo, inventaron modos de probar sus hipótesis y, si fue necesario, cambiaron sus ideas para ajustarías a las nuevas observaciones.

Algunas personas piensan que los hombres de ciencia siguen una serie de pasos determinados para llevar a cabo su investigación. Pero la mayoría de los científicos no piensan así. En realidad, siguen procedimientos que dependen del problema a resolver, de los materiales disponibles y también del científico mismo. Si se pusieran cinco científicos a trabajar en siete problemas, ¡llegarían a tratarlos de 35 modos diferentes ! Muchos de estos procedimientos serán útiles y algunos pueden ser excelentes. Si el lector está buscando e¡ método científico para tratar un problema, ¡cese en su búsqueda! Del mismo modo, como puede haber muchas maneras de solucionar un rompecabezas o de componer un grifo o de conseguir el automóvil familiar para usarlo por la tarde, así hay muchos modos para plantear y resolver los problemas científicos.

4- La ciencia es un proceso intelectual.
¿Está incómodo el lector porque hasta aquí no hemos hecho mucho énfasis en las herramientas de la Ciencia? ¿Qué hay de los microscopios, los reactores nucleares, los aparatos de medida, la vidriería química y cosas semejantes? ¿Dónde está su lugar? Naturalmente, gran parte de la Ciencia incluye el uso de dicho equipo, y al principio, parece que una gran parte de la Ciencia surge en el laboratorio. Pero cuando uno se detiene a pensarlo, probablemente, esté de acuerdo que, en último análisis, la Ciencia se desarrolla en la mente de las gentes. La Ciencia es una actividad que incluye inteligencia, es un proceso intelectual. Mucha ciencia se crea en nuestro cerebro. ¡Los laboratorios sin gente que piense están realmente vacíos!

5- La ciencia está relacionada con la tecnología.
Mucha gente confunde los términos Ciencia y Tecnología. Piensan que la Ciencia es un asunto de puentes de kilómetros de largo, de drogas maravillosas, televisión a colores y cohetes a la Luna. Por supuesto la Ciencia está ahora incluida en estas realizaciones, pero hay una diferencia. Mientras la Ciencia es una búsqueda de explicaciones, la Tecnología es una búsqueda para mejorar ciertos productos y de los métodos para prepararlos. Mientras que la Ciencia trata, principalmente, del establecimiento de los principios fundamentales, la Tecnología se ocupa, en primer lugar, de la aplicación de estos principios.La Ciencia y la Tecnología están estrechamente relacionadas. Los científicos están casi inermes sin aparatos científicos. Por otro lado, la Tecnología depende, evidentemente, de la Ciencia para la formulación de los principios científicos que aplica.

6-La ciencia tiene profundo efecto sobre la gente.
Los avances científicos y tecnológicos cambian de hecho el modo de pensar del hombre. Si el hombre se contempla a sí mismo, no viviendo en una Tierra que es el centro del Universo, sino habitando un planeta mediano a alguna distancia de una estrella de segunda magnitud, debe verse con una perspectiva muy diferente (contribución debida, entre otros, a Copérnico). Cuando la ilimitada energía nuclear de los reactores se acerque cada vez más a ser una realidad, habrá cambios decisivos en el valor de la propiedad, en las formas de trabajo, transporte y fabricación y en las relaciones internacionales. Quizá lo más importante es que el hombre aprendiera —o está aprendiendo— que puede aplicar su inteligencia para la resolución del gran número de problemas a los que se enfrente.

7-La Física es una ciencia básica.
La Física es la rama de la Ciencia que estudia la energía y sus transformaciones. En la práctica, sin embargo, también trata de la naturaleza de la materia, especialmente de su estructura íntima, pues sabemos ahora que los ordenamientos moleculares, atómicos y subatómicos también incluyen energía. Así la Física podría definirse como el estudio de la energía, la materia y sus cambios, con énfasis en la energía. La Física es una ciencia básica, que sirve de fundamento y está íntimamente relacionada con las demás ciencias teniendo, por supuesto, muchas áreas comunes con ellas. La Química, por ejemplo, puede definirse como el estudio de la materia, la energía y sus cambios, con énfasis en la materia.

Fuente Consultada: FÍSICA Fundamentos y Fronteras Stollberg-Hill

 

Experimento de Michelson Morley Explicación Buscando el Eter

Experimento de Michelson Morley
Explicación de la Busqueda del Éter

Todos oímos hablar alguna vez de Einstein y su teoría de la relatividad, que E=mc², que la velocidad de la luz es constante, y un montón de otras cosas que suenan lindo pero no significan nada. Para poder entender por qué estos términos siguen vigentes luego de casi 100 años de inventados, primero hay que hacer un poco de historia.

El año 1905 quedará como el annus mirabilis (año prodigioso) de Einstein, el año en que este físico de 26 años irrumpió en el mundo de la física, literalmente desde la nada, publicando cuatro importantísimos artículos científicos, cada uno de los cuales podría considerarse como un gran descubrimiento científico.

Estos artículos, de los que el más significativo fue el que exponía la teoría especial de la relatividad, aparecieron todos en Annalen der Physik, la principal revista de física de Alemania. Todos los artículos que se enviaban debían ser evaluados antes de publicarse; puesto que las credenciales de Einstein como físico estaban en orden y como utilizaba el lenguaje de las matemáticas y la física para expresar sus ideas, los físicos que evaluaron su trabajo lo consideraron adecuado para su publicación, aunque algunos de ellos tuvieran dificultades para comprenderlo, y realmente creyeron que la teoría de la relatividad no era correcta.
Ver Biografía de Albert Einstein

Introducción Histórica:

La física clásica comenzó allá por el año 1688 con un libro publicado por el británico Isaac Newton (llamado Principia Mathematica o algo así), en el cual especificaba 3 leyes de movimiento (todo cuerpo se mueve en línea recta y a velocidad constante cuando no es afectado por ninguna fuerza, cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo este ejerce la misma fuerza pero en dirección contraria, y que la aceleración producida por una fuerza neta en un objeto es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa) y que también contenía la ley de gravitación de Newton (dos cuerpos son atraídos entre sí en proporción inversa al cuadrado de la distancia). Esto que puede sonar complicado en realidad se puede resumir en unas pocas ecuaciones.

Con estas cuatro simples leyes se pudo explicar por primera vez hechos aparentemente tan variados como el por qué las manzanas se caen de los árboles y por qué la Luna gira alrededor de la Tierra. Newton también realizó observaciones sobre la naturaleza de la luz, alegando que la misma estaba compuesta de partículas (“corpúsculos”) y rechazando la idea de que la luz estaba compuesta de ondas, ya que las ondas necesitan un medio por el cual desplazarse (por ejemplo, el sonido se desplaza por el aire, o cuando tiramos una piedra al agua se ve que se generan ondas en el agua justo en el lugar donde tiramos una piedra) y la luz se desplaza por el vacío del espacio.

Si deseas puedes continuar hacia abajo con las conclusiones de la teoría  

El experimento Michelson-Morley

Pero la ciencia fue avanzando, y los instrumentos de medición fueron mejorando. Los datos obtenidos por los científicos demostraban que la luz se comportaba como una onda, ero si esto ocurría, entonces debería haber una “cosa” no detectada hasta el momento, que cubre todo el universo, por la cual se desplaza la luz. A esta cosa indetectable hasta entonces se la denominó éter lumínico. La tierra y todos los objetos, incluyendo la luz, se deberían desplazar a través del éter.

Un día de 1881, un señor llamado Michelson realizó un experimento con el fin de calcular la velocidad de la tierra cuando se mueve a través del éter (experimento de Michelson-Morley).

Para calcular esto, disparó varios rayos de luz en varias direcciones y calculó el tiempo que tardaban en regresar con un aparato inventado por él llamado interferómetro. Teóricamente, los rayos de luz que menos tardaran en regresar indicarían la dirección en la que se mueve la tierra dentro del éter (o sea, indicarían el “adelante”), mientras que los que más tardaran en llegar indicarían el “arriba”. Grande fue la sorpresa de este tipo cuando no descubrió ninguna diferencia en los tiempos de recorrido de la luz: la velocidad de la luz era constante midiera como se la midiera.

Esto significaba una cosa: la luz se movía a una velocidad constante… ¿pero con respecto a qué? Según la teoría de newton, si yo voy corriendo a 20 km/h, la velocidad de la luz que yo emito sería 20km/h mayor de la luz que emitiría si estoy quieto. Pero no, la luz parecía tener siempre la velocidad de 299.792,458 km/s, independientemente de la velocidad de la tierra.

ESQUEMA DEL EXPERIMENTO: Demostrada ya la existencia de las ondas, quedaba pendiente el delicado problema del éter: el medio en el que, según Maxwell, se propagaban dichas ondas. Como, por definición, era un medio inmaterial, no había forma de observarlo directamente. Fue entonces cuando se le ocurrió al físico norteamericano Albert Abraham Michelson (1852-1931) una idea realmente «cósmica»: puesto que la Tierra se halla en movimiento con relación a las estrellas (su velocidad orbital es de 30 km/s), este desplazamiento debería traducirse en la existencia de un «viento de éter», esto es, en

esquema experimento de michelson morley

Esquema del Experimento de Michelson-Morley.
Un rayo luminoso incide sobre un espejo semitransparente. El rayo reflejado va a parar a un segundo espejo; el que lo atraviesa sigue su trayecto rectilíneo y va a reflejarse en un tercer espejo. Ambos rayos, superpuestos, alcanzan el ojo del observador. Éste ve, en general, unas franjas de interferencias, alternativamente claras y oscuras. Como los dos brazos del dispositivo tienen la misma longitud, se puede utilizar el eventual desplazamiento de las franjas para detectar diferencias entre las velocidades de la luz en las dos direcciones. Michelson y Morley confiaban en que podrían medir alguna diferencia entre la velocidad de la luz propagándose en dirección norte-sur y la de la luz propagándose en dirección este-oeste. Pero no hallaron ninguna diferencia.

Teoría de la relatividad

Acá apareció un simple profesor alemán que trabajaba en una oficina de patentes en Suiza. En el año 1905 publicó un ensayo titulado “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento” en el cual suponía que la velocidad de la luz es la misma desde donde se la mida: la velocidad de la luz es igual si la mido cuando estoy parado o cuando estoy yendo a una velocidad de 100.000 km/seg o a cualquier otra velocidad, un hecho que puede parecer antinatural. Decir esto contradecía las leyes de Newton, que estaban vigentes desde hacía más de doscientos años.

Esta es la base de la teoría de la relatividad: todos los fenómenos físicos se producen del mismo modo en un marco de referencia inerte (por “inerte” se quiere decir “a velocidad constante”). O sea, suponiendo que esté en una habitación sin ventanas ni otro contacto con el exterior, sería imposible determinar si estoy en movimiento o no, ya que cualquier experimento que realice dará el mismo resultado independientemente del movimiento. Obviamente asumir esto les costó a los científicos, la mayoría hasta se rehusaba a aceptar la teoría.

Pero Einsten no se inmutó, y en 1915 publicó una extensión a su teoría de la relatividad (conocida como la teoría general de la relatividad) en la que tomaba en cuenta los efectos de la gravedad y otras yerbas. Hasta ahí las teorías de Einstein eran sólo eso: teorías.

Las manzanas se seguían cayendo de los árboles, la luna seguía girando sobre la Tierra, lo demás poco importaba. Pero en 1919 un eclipse solar permitió comprobar que la luz era desviada por campos gravitatorios fuertes (en este caso el del Sol), justo como la teoría de Einstein y no la de Newton había predicho. El nombre Albert Einstein se volvió famoso de la noche a la mañana. Su teoría había logrado explicar la realidad mejor que la teoría de Newton.

Algunas consecuencias de la teoría de la relatividad

Para aceptar que la velocidad de la luz es constante desde donde se la mida, Einstein se vio obligado a aceptar algunas otras cosas raras, como por ejemplo:

     Nada puede viajar más rápido que la luz: La velocidad de la luz es el límite de velocidad del Universo.

A mayor velocidad, el tiempo pasa más lento: Si, esto suena muy extraño. Si tengo dos relojes perfectamente sincronizados, y pongo uno en un cohete supersónico, cuando el reloj vuelva a mis manos se notará que la hora que marca este reloj será inferior a la hora que marca el reloj que no se movió. Pero este paso más lento del tiempo es sólo aparente, si una persona viajara junto con el reloj no le sería posible percibir ninguna alteración en el paso del tiempo (el paso del tiempo en este caso es “relativo” al observador). El paso del tiempo se hace cada vez más lento a medida que uno se acerca a la velocidad de la luz, hasta hacerse 0 justo cuando se alcanza dicha velocidad. Por esto, se puede decir que la luz no envejeció ni un segundo desde el Big Bang.

A mayor velocidad, se produce un encogimiento en la dirección del movimiento: Por ej., si yo tengo una regla de 30 cm y de algún modo logro que viaje a 260.000 km/s (0,866 veces la velocidad de la luz) veré que la regla tiene ahora una longitud de… ¡15 cm!. De nuevo, este cambio es aparente: si yo pudiera propulsarme hasta alcanzar la misma velocidad de la regla, vería que vuelve a tener 30 cm.

e=mc2: Probablemente la ecuación más famosa de la física moderna. Esto quiere decir nada más y nada menos que la materia es una forma de energía y viceversa, donde e = energía, m = masa, c = velocidad de la luz. La masa y la energía se pueden transformar libremente. Este fue el principio de la reacción nuclear y la bomba atómica. Por ejemplo, si se convierte un gramo de masa en energía de acuerdo a la famosa ecuación, se estaría obteniendo suficiente energía como para darle a una familia entera electricidad suficiente por 10 años.   

Bueno, esta es una introducción a este interesante tema. Si algunas partes suenan confusas, entiéndanme, algunas cosas son realmente difíciles de explicar :

 Si quieren más información, acá les tiro un par de lugares donde pueden consultar:

– El libro “Nueva Guía para la Ciencia” de Isaac Asimov tiene una demostración de  e=mc2 que se entiende con conocimientos básicos de álgebra.

Esta es sola una de las miles que se encuentran explicando el tema, una gran mayoría son     muy buenas  y hacen que estos revolucionarios conceptos sean “digeridos” por los más profanos.

albert einstein

1905:Año Maravilloso El Efecto Fotoeléctrico El Movimiento Browiano Antecedentes de la Física – Implicancias de la Teoría  –  Explicación de la Teoría