Concepto de Probabilidad Matematica Resumen y Ejemplos Simples
Resumen Concepto de Probabilidad Matemática:
Ejemplos Simples Para Principiantes
Los resultados de las acciones y acontecimientos no son siempre absolutamente predecibles.
A menudo sabemos que sólo existe un espectro limitado de posibles resultados, pero no sabemos con certidumbre el resultado que cabe prever.
La teoría de la probabilidad nos permite describir con rigor matemático la posibilidad de que una acción o acontecimiento tenga un resultado determinado.
Es posible, no obstante, que nuestra elección sea errónea, pero al menos será una elección justificable.
Probabilidad y Frecuencia:
Cuando lanzamos una moneda al aire o echamos un dado, no podemos predecir la cara que caerá hacia arriba, siendo éste, al fin y al cabo, el motivo por el cual se lanza una moneda y se echan los dados.
Suponiendo que aceptamos la imparcialidad de la moneda y de la forma de lanzarla, sabemos que es tan probable que salga cara como cruz, y que no existe ningún otro resultado posible.
Así también, con un dado no trucado, es igualmente probable que caiga con cualquiera de los números, de 1 a 6, de cara hacia arriba, y no existe ningún otro resultado posible.
El Caso de los Dados
Describimos estos ejemplos diciendo que todos los posibles resultados son equiprobables, y que la probabilidad a priori (es decir, la probabilidad teórica) de que una moneda salga cara es de 1 de 2 o 1/2, y la de sacar un 6 con un solo dado es de 1 de 6 o 1/6.
Por otro lado, la probabilidad empírica (que suele denominarse probabilidad a posteriori) se basa en la observación y el experimento.
En este caso, la probabilidad de un resultado determinado se calcula a partir de la proporción de veces en que se ha observado antes bajo las mismas condiciones, es decir, su frecuencia relativa.
Por consiguiente, si se lanza la moneda 10 veces y ésta cae en cara 3 veces, la probabilidad empírica de que uno de estos lanzamientos salga cara es de 3/10.
La Escala de Probabilidades:
Cuando un resultado es seguro, ocurre todas las veces: 1 de 1, 2 de 2, etc.
Expresado como fracción, decimos que la probabilidad es de 1/1, es decir, uno.
Cuando un resultado es imposible, no ocurre en ninguna ocasión en cualquier cantidad de ensayos, por lo que decimos que la probabilidad es de cero.
Por ejemplo, cuando se echa un dado, la probabilidad de sacar un número mayor que 6 es de cero, y la probabilidad de sacar un número entre 1 y 6 es de uno.
Las probabilidades que yacen entre la certeza y la imposibilidad se expresan en fracciones.
Así, por ejemplo, si sabemos que las 6 caras del dado son equiprobables, y que la probabilidad de sacar cualquiera de ellas es de 1, la probabilidad de cada una debe ser de 1/6.
Es más, si consideramos únicamente dos posibles resultados, un número par o impar, la probabilidad de cada uno debe ser de 1/2.
El hecho de que existen tres resultados impares, cada cual con una probabilidad de 1/6, y que 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, demuestra, muy sencillamente, la ley del cálculo: se puede sumar las probabilidades individuales de los distintos resultados posibles en un ensayo determinado para conseguir la probabilidad combinada.
Sobre todo en el juego y las apuestas vemos que se utilizan las probabilidades como escala para medir el azar.
La proporción de probabilidades, como se conoce más formalmente, significa la proporción de posibilidades favorables frente a las no favorables, y constituye otra forma de expresar la probabilidad.
Como hemos visto, la probabilidad de sacar, digamos, un 4 con un dado es de 1/6.
Por consiguiente, la probabilidad de no sacar un 4 es de 5/6.
El proporción de probabilidades se expresa, por tanto, de 1 a 5 para sacar un 4 (o de 5 a 1 en contra de sacar un 4).
Los juegos de cartas ofrecen muchas más combinaciones de posibilidades que lanzar una moneda o echar los dados.
La posibilidades son impresionantes. Por ejemplo, las posibilidades en contra de repartir 13 cartas de un solo palo son de 158.753.389.899 a 1, mientras que las posibilidades de que un jugador determinado reciba una "mano perfecta" de 13 picas son de 653.013.559.599 a 1.
La posibilidades en contra de que cuatro jugadores reciban un palo completo ("una mano perfecta") son superiores a 2x 10 elevado a 27 a 1.
La ley de los grandes números:
Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y que el resultado es de sólo 3 caras. La probabilidad de que salga cara es de 1/2, así que, ¿por que no sacamos 5 caras?.
Probamos un total de 100 lanzamientos de la moneda y el resultado será, digamos, de 40 caras, siendo las últimas 6 todas cara.
Un jugador apostaría por la posibilidad de que el lanzamiento número 101 salga cruz, porque antes ha salido más veces cruz que cara.
Otro jugador apostaría por cara, porque parece haber una "racha de caras", que estaría en consonancia con la deno minada "ley de promedios".
Sin embargo, sabemos que la probabilidad de cara o cruz en cualquier lanzamiento es de 1/2, y que una moneda es incapaz de recordar, por lo que no puede verse influida por lo que ha sucedido con anterioridad.
Ambos apostadores se apoyan en la probabilidad empírica cuando lo que importa es la probabilidad teórica.
Ambos, por tanto, apuestan en base a la esperanza.
No existe una "ley de promedios".
La probabilidad experimental y teórica sólo se combinan a través de la ley de grandes números, que afirma que a medida que aumenta el número de ensayos, la probabilidad empírica observada se acerca catín vez más al valor teórico.
Por consiguiente, en eslc ejemplo, sólo significa que, a muy largo plazo, la frecuencia relativa se establece en torno al 1/2.
Leyes de probabilidad:
Si deseamos encontrar la probabilidad combinada de dos ensayos independientes, utilizamos la ley de la multiplicación.
Cuando echamos un par de dados, consideramos que se trata de dos ensayos independientes, porque el modo en que cae un dado no afecta al otro.
Independientemente de lo que indique el primer dado, el segundo mostrará cualquiera de sus seis caras y el primero caerá de seis maneras.
Por lo tanto, hay 6 x 6 = 36 resultados posibles para el par ordenado. Puesto que son equiprobables, la probabilidad de un resultado determinado, digamos que un 1 con el primer dado y un 4 con el segundo, es de 1/36, que es 1/6 x 1/6.
Es decir, multiplicamos las probabilidades individuales para conseguir la probabilidad de un resultado ordenado determinado utilizando los dos dados.
Puesto que hay seis formas de sacar un doble, la probabilidad de que salga el mismo número con los dos dados es de 6/36 = 1/6, mientras que la probabilidad de que salgan números diferentes es de 1 - 1/6 = 5/6.
Al echar un tercer dado, existen sólo cuatro caras disponibles que difieren de los de los dos primeros dados, de manera que la probabilidad de que esto dé lugar a un tercer número diferente es de 4/6.
Así, la probabilidad de sacar tres números diferentes con tres dados es de 5/6 x 4/6.
Al echar seis dados, la probabilidad de un resultado de seis números diferentes es de 5/6 x 4/6 x 3/6 x 2/6 x 1/6, que equivale a 5/324, o aproximadamente 0,015.
Así, sólo cabe esperar este resultado una o dos veces por cada cien ensayos.
Sin embargo, si pretendemos especificar el orden de antemano (digamos, 1,2,3,4,5,6 o 6,4,2,5,3,1, por ejemplo), la probabilidad es de 1/6 para el primer lanzamiento, multiplicado por 1/6 para el segundo lanzamiento, y así sucesivamente.
Con los seis dados, la probabilidad será, por lo tanto, de (1/6)6, que equivale a 1/46656, o aproximadamente 0,000021.
Por lo que cabe esperar este resultado sólo unas dos veces por cada 100.000 ensayos.
Es muy importante definir correctamente el problema antes de aplicar la ley del cálculo o de la multiplicación. De hecho, muchos problemas requieren ambas leyes.
Supongamos, por ejemplo, que deseamos sacar un total de 8 con dos dados. Podría salir con un 6 y un 2, con un 5 y un 3, o con un 4 y un 4. Pero existen otras dos posibilidades: un 2 y un 6, y un 3 y un 5.
Es decir, hay dos formas de sacar un par de números distintos, de manera que la probabilidad de que uno de los dados muestre un 6 y el otro un 2 es de 2/36.
Así también, para un 5 y 3.
Pero sólo hay una forma de sacar un doble, de manera que la probabilidad de un 4 doble es sólo de 1/36.
La probabilidad de un resultado de un total de 8 es la suma de estas probabilidades, es decir, de 5/36.
La Toma de Decisiones:
A menudo nos vemos obligados a tomar decisiones basadas en unos conocimientos mínimos de las circunstancias probables.
Un ejemplo sería un médico que tiene que elegir entre distintos tratamientos para un paciente apoyándose en pruebas experimentales relativamente escasas sobre su éxito.
Otro ejemplo sería los directivos de una empresa que tienen que elegir entre distintas estrategias publicitarias basados en las afirmaciones de la competencia sobre la eficacia de los diferentes medios.
En estos casos, los responsables de la toma de decisiones necesitan formas de medir las estrategias enfrentadas.
Una forma de hacerlo implica el cálculo del valor previsto.
Una forma sencilla de explicarlo es tomando la tabla de una liga de hockey o de fútbol, en la que se otorga 2 puntos para una victoria, 1 punto para un empate y 0 para una derrota.
Supongamos que un equipo determinado de la liga decide, al principio de la temporada, que, basándose en todas las pruebas disponibles, la probabilidad de ganar un partido cualquiera es de 1/4 y de empatar es de 1/3.
Por lo que la probabilidad de que pierda es de 1 -1/4 -1/3 = 5/12.
En una serie de 12 partidos, el equipo tendría previsto ganar 3, empatar 4 y perder 5.
Los puntos que tendría previsto conseguir en 12 partidos serían (3 x 2) + (4 x 1) + (5 x 0) = 10 puntos.
Por consiguiente, el promedio de puntos que cabe esperar en cada partido es de 10/12.
Este es el valor previsto.
Calculando un valor previsto para cada tipo de acción a nuestro alcance, podemos elegir el que tiene el mejor resultado probable.
Sobre la base de un conocimiento parcial, tenemos la posibilidad de tomar una decisión racional, aunque no sea la que ofrece la mayor probabilidad (ver ejemplo en el recuadro).
COINCIDENCIA DE CUMPLEAÑOS:
Supongamos que buscamos un par de personas que tengan el mismo cumpleaños.
¿Cuál es el número de personas elegidas al azar, para el que exista una mayor posabilidad del que existan dos personas con el mismo cumpleaños?.
Ya que teniendo en cuenta los años bisiestos, son 366 cumpleaños posibles, por lo que mucha gente se aventuraría a pensar que es 183, pero en realidad la respuesta es 23.
La posibilidad que la segunda persona no tenga la coincidencia de cumpleaños con la primera es 365/366.
La posibilidad que la tercera persona no tenga coincidencia es ahora:364/366, y por lo tanto la posibilidad que tres personas no compartan la coincidencia es igual a:365/366 x364/366.
Si ampliamos para n personas, las posibilidad que todos tenga cumpleaños distintos son, por tanto, de 365/366 x 364/366 x 363/366 x ....hasta n - 1 términos.
Hemos de saber cuántos términos de esta secuencia necesitamos multiplicar antes de que su producto sea menos de 1/2.
Es decir, antes de que haya un mínimo de posibilidades de que este número de personas no incluya a dos con el mismo cumpleaños.
Si hacemos el cálculo, descubrimos que la probabilidad de que 22 personas tengan distintos cumpleaños es de 0,5252, y para 23 personas es de 0,494.
Por lo tanto, 23 es el número más bajo de personas para las que existe una mayor posibilidad de al menos un cumpleaños compartido. Por otro lado, necesitamos 367 para estar seguros de que dos de ellos tienen el mismo cumpleaños.
DECISIONES RACIONALES:
Cuando se me estropea el coche, el mecánico me informa de que la causa se encuentra bien en la caja de cambios bien en el mecanismo de transmisión, con probabilidades de 3 a 2 de que el problema esté en la caja de cambios.
El coste de reparar la caja de cambios será de 200 dólares y el mecanismo de transmisión de 150 dólares, incluyendo en ambos casos los gastos de desmontar y volver a montar.
Sin embargo, si el componente que primero se examina no está dañado, el coste de desmontar y volver a montar es de 60 dólares para la caja de cambios y 30 dólares para el mecanismo de transmisión, además del coste de la reparación. ¿Por dónde habría que empezar?
(3/5 x 200 $) + (2/5 x 210 $) = 204 $
Supongamos, no obstante, que deciden primero examinar el mecanismo de transmisión.
A la larga, no se detectaría avería alguna en 3 veces de 5, lo que significaría un coste de 30 $ por inspeccionar la transmisión, además de 200 $ para reparar la caja de cambios.
En las 2 veces de 5 en que la avería se detecta efectivamente en el mecanismo de transmisión, el coste subirá a sólo a 150 $. Así, el coste previsto para esta estrategia es de:
(3/5 x 230 $) + (2/5 x 150 $) = 198 $
Por consiguiente, sería mejor que el mecánico revisara primero el mecanismo de transmisión, aunque es más probable que la avería se encuentre en la caja de cambios.
Esta estrategia tiene el coste previsto más bajo.
Claro que no me servirá de consuelo si la avería está en la caja de cambios y tengo que pagar 230 $.
El mecánico, por su parte, podría fijar una tarifa fija general de 230 $ por el trabajo.
Para éste, sería preferible examinar primero el mecanismo de transmisión, ya que sobre toda una serie de reparaciones, conseguiría una ganancia media de 32 $, mientras que si primero investigara la causa más probable, su ganancia media sería de sólo 26 $.
SOBRE LA ESTADISTICA: LA LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
Hasta mediados del siglo XIX el término estadística se utilizó para denominarla infonnación sobre los asuntos propios del Estado, entendido éste en su doble sentido territorial y político; dicha información era, en su mayor parte, numérica y, al crecer su volumen y su alcance con el desarrollo económico y social de los Estados, empezó a recogerse en forma de cuadros y gráficos.
Sin embargo, que un estudio de este tipo haya acabado por formar parte de las matemáticas no se debe solamente al hecho de que implique, el uso de cálculos y de representaciones gráficas; en realidad, depende del hecho de que muchos fenómenos sociales y económicos, aun siendo variables, presentan una cierta regularidad en su variabilidad que hace posible enunciar leyes estadísticas relativas a ellos.
Esta circunstancia deriva de la llamada ley de los grandes números: la frecuencia con que se observan determinados sucesos, o la proporción en que un cierto atribulo está presente entre los elementos de un conjunto, es tanto más estable cuanto mayores el número de observaciones realizadas o de elementos considerados.
Ello tiene como consecuencia que muchas predicciones sociológicas y económicas puedan formularse sobre una base estrictamente dependiente del cálculo de probabilidades, con independencia de las explicaciones que la sociología o la economía puedan proporcionar de los fenómenos a que dichas predicciones se refieran.
Es el caso, por ejemplo, de los índices de natalidad y mortalidad en una zona concreta y durante un período determinado; o de la tasa de desempleo, susceptible de ser determinada a partir de estudios realizados sobre una muestra (y teniendo en cuenta diversos índices económicos).
Fuente Consultada:
Enciclopedia Temática Guinnes - Capitulo Nº72 - La Naturaleza del Universo - La Probabilidad - Editorial La Nación
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