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Formula del Vértice de una Parabola Cuadrática Ejemplo Online

Fórmula del Vértice de una Parábola Cuadrática
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La función general de segundo grado y = ax² + bx+c  representa gráficamente en el plano cartesiano una parábola.

Asignando valores reales a la variable independiente x para obtener los valores de la variable dependiente y, podemos graficar sobre un par de ejes coordenados la curca parabólica.

Por Ejemplo:
—    Elaborar el gráfico de la función:      y  =   x² — 2 x — 2.

En donde según la fórmula general, los coefecientes son: a=1, b=-2 , c=-2

Se elabora la siguiente tabla:

x-3-2-10123
y1361-2-3-21

LLevando estos puntos a plano cartesiano, se tiene la siguiente curva:

grafica parábola

Se puede graficar desde aquí

Para calcular el vértice de cualquier parabola, usamos la siguiente fórmula:

formula vertice parabola cuadrática

Fórmula General Vértice Parabola Cuadrática

Para el caso que venimos estudiando es:

Coordenada X=(-(-2)/2.1)=1

Coordenada Y=(-(-2)²/4.1)-2)=-3

Coordenadas del vértice es: V(1,-3)


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Origen de la Geometría Historia y Sus Matematicos Curso Basico

Origen de la Geometría-Historia y Sus Matematicos Curso Basico

GEOMETRÍA. Parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medida de la extensión.

En su origen, la geometría tuvo una finalidad eminentemente práctica, como lo revela la etimología griega (de geo, tierra; metrein, medir).

La necesidad de medir la tierra para repartir los campos con exactitud dio nacimiento a esta ciencia.

El término latino agrimensura tiene la misma significación, pero el desarrollo posterior de la geometría, como ciencia teórica, obligó a reservar el concepto de agrimensura a la técnica que se ocupa de la medición de los terrenos.

Los más antiguos estudios de geometría fueron hechos por los antiguos caldeos y egipcios.

Los primeros, aunque no sistematizaron sus estudios, obtuvieron algunos resultados correctos, y los segundos hicieron grandes, progresos, como lo demuestra la construcción de las pirámides consideradas hoy como una de las maravillas del mundo.

Los egipcios fueron los primeros que usaron la geometría para medir los terrenos.

El Nilo, río que atraviesa su territorio, se desborda todos los años provocando grandes inundacio nes, que son aprovechadas en la fertilización de los campos.

Los egipcios se veían obligados después de cada inundación a efectuar mediciones para delimitar los campos y terrenos.

Era muy importante para ellos marcar las esquinas de los terrenos en ángulo recto y conocieron prácticamente algunas de las relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos.

La verdadera fundación de la geometría como ciencia independiente, sobre bases rigurosas, corresponde a los griegos Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Una imagen de una obra de Durero explicando la proyección geométrica, aplicada en los dibujos y obras de arte

Pitágoras, nacido en el siglo VI antes de Jesucristo, de extraordinario talento matemático, descubrió la relación existente entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera, aunque el teorema que lleva su nombre ya era conocido de los chinos y egipcios.

Dicho teorema se enuncia así: «En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados».

Euclides escribió un libro llamado Elementos, en el que da las bases de un sistema geométrico que se mantuvo en vigencia durante veinte siglos y que todavía constituye el fundamento de la geometría en la enseñanza media.

Partiendo de ciertas proposiciones indemostrables, llamadas postulados, Euclides funda todas las demostraciones posteriores.

De todos los postulados, el más famoso es el V, llamado de las paralelas, pues todo su sistema descansa sobre la evidencia del mismo.

Dicho postulado ha sido la preocupación de todos los matemáticos, quienes en un tiempo, negando que pudiese ser aceptado sin demostración, lo discutieron,ya en el sentido de negarlo, ya en el de probarlo, hasta que la labor crítica del siglo XIX estableció que era indemostrable.

Otro pilar de la matemática griega, Arquímedes, de la ciudad de Siracusa, muerto por los soldados romanos cuando ocuparon esta ciudad en el 212 antes de Jesucristo, planteó nuevos problemas, determinó, con mayor exactitud que la obtenida hasta entonces, la relación existente entre la circunferencia y el diámetro, estableció el volumen de los cuerpos limitados por superficies curvas, inventó la espiral que lleva su nombre y sentó las bases del cálculo integral.

Arquímedes fue un verdadero genio de la matemática; famoso además por la cantidad de aparatos que inventó para la defensa de Siracusa.

Fue muerto por un soldado al no recibir respuesta a preguntas que éste le dirigía, por estar absorto en sus meditaciones.

El general romano Marcelo, que había dado orden de respetar las vidas de los siracusanos, sintió profundamente la pérdida del gran geómetra y ordenó le diesen digna sepultura e hizo grabar sobre su tumba una esfera inscrita en un cilindro, en memoria de uno de sus más famosos descubrimientos.

El cuarto gran geómetra griego es Apolonio de Pérgamo, que floreció a fines del siglo n antes de Jesucristo.

No sistematizó los conocimientos anteriores a él, como Euclides, ni abarcó tanta diversidad de temas como Arquímedes, sino que orientó sus esfuerzos en una dirección única, dedicándose exclusivamente al estudio de las secciones cónicas, con tal profundidad, que sólo en tiempos muy recientes se ha podido añadir algo a lo descubierto por él.

Debían pasar más de 1900 años para que la geometría tomara otro gran impulso. Descartes, filósofo y matemático francés del siglo XVII, estudia las figuras geométricas refiriéndolas a un par de coordenadas.

Herramientas basicas para estudiar geometría en el plano: regla, escuadra y compás.

La geometría analítica desarrollada por Descartes es, en síntesis, la reducción de la geometría al álgebra; por ejemplo, la posición de un lugar cualquiera de la superficie terrestre queda determinada por su longitud y su latitud, o sea, por su distancia al Ecuador y a un meridiano.

Análogamente se fija la posición de un punto en un plano por sus distancias a un par de ejes perpendiculares entre sí, llamados eje de las abscisas el horizontal, y de las ordenada el vertical.

En la geometría analítica los puntos quedan determinados en el plano por una pareja de números —sus coordenadas,— y las figuras geométricas se pueden estudiar por medio de ecuaciones.

El siglo XVIII señala el nacimiento de la geometría descriptiva con Monge, matemático francés que perfecciona ensayos anteriores de otros geómetras y da los fundamentos básicos de esta disciplina.

La geometría descriptiva es la representación, sobre superficies planas, de cuerpos que ocupan un lugar en e) espacio; esta representación se efectúa mediante operaciones gráficas regidas por leyes que Monge dedujo.

Dos grandes matemáticos del siglo XIX, el ruso Lobachewski y el húngaro Bolyai, trabajando independientemente, publicaron al mismo tiempo el resultado de sus trabajos de investigación, en los que llegan a las mismas conclusiones.

Estos resultados fueron un acontecimiento de importancia extraordinaria en la historia de la geometría, pues dieron origen a las geometrías no euclidianas, que prescinden del postulado V y llegan a construir un encadenamiento lógico tan riguroso como el del genio griego.

Gracias a ellos fue posible resolver problemas desconocidos para Euclides.

La aparición de las geometrías no euclidianas. dio como resultado un enorme progreso no sólo en la matemática, sino también en la física. E

n ellas se basan algunas de las conclusiones de la teoría de la relatividad de Einstein.

Algunos términos usados en geometría. La geometría trabaja con hipótesis, definiciones y teoremas.

No podemos iniciar un razonamiento en tanto no tengamos ciertas verdades sobre las cuales basarlo; Euclides llamó axiomas a ideas o razones tan evidentes que no necesitan demostración, tales como «una cosa es igual a sí misma»; y postulados, a verdades no tan evidentes como los axiomas, pero que también se aceptan sin demostrar («por un punto pasan infinitas rectas», y «entre dos puntos puede trazarse una sola recta«).

Las hipótesis son proposiciones que se pueden considerar como verdades que es necesario demostrar: la hipótesis puede ser falsa y entonces nos lleva a falsas conclusiones.

La hipótesis y las consecuencias que se derivan de ella perduran hasta que se demuestre su inexactitud.

Así, la hipótesis de que la Tierra era plana, generalizada desde hacía siglos hasta los tiempos de Colón, no fue definitivamente abandonada hasta que los viajes y descubrimientos efectuados por portugueses y españoles, en los siglos XV y XVI, la desvirtuaron, y el arribo de Elcano a España, después de haber sido el primero que dio la vuelta al mundo, estableció irrefutablemente la redondez del planeta.

Las definiciones sirven para caracterizar las figuras que se van a estudiar; deben ser precisas, para poder basar nuestro razonamiento sobre ellas y no deben contener más que lo que se quiere definir.

No podemos estudiar, por ejemplo, los triángulos, si previamente no hemos definido con exactitud qué entendemos por un triángulo.

Si examinamos una definición como: «un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos», vemos que comienza por separar todo lo que no se refiera a una figura de cuatro lados, luego a todas aquellas cuyos lados no son paralelos, lográndose así que la definición se refiera a un paralelogramo y nada más que a él.

El teorema es una exposición formal, que hay que demostrar mediante su mecanismo lógico y consta de dos partes; la hipótesis, que establece lo que va a ser probado como verdad, y la tesis, que es la consecuencia del razonamiento lógico que se ha seguido para demostrar la hipótesis.

Elementos.

En la geometría hay ciertos elementos fundamentales: el punto, la recta y el plano.

El punto no tiene dimensiones y puede ser representado por la señal que deja la punta de un lápiz sobre el papel o por una cruz, en la que la intersección de las líneas marca el lugar del punto.

La recta tiene una sola dimensión, longitud; el hilo tenso de la plomada da una idea de ella.

El plano tiene dos dimensiones, largo y ancho. La superficie de una mesa, las aguas en reposo, nos dan una representación del plino.

Con estos elementos se construyen las figuras —triángulos, cuadriláteros, círculos—, que son rectilíneas si sus lados son rectas, o curvilíneas si son curvas.

La geometría plana se refiere a estas figuras de dos dimensiones: la geometría del espacio se refiere a los sólidos que tienen tres dimensiones —ancho, alto y profundidad—, como cubos, esferas, conos, naralelepínedos, etcétera.

La geometría, considerada desde un punto de vista estrictamente matemático, es la ciencia que se ocupa de las relaciones entre cuatro magnitudes simples: longitud, latitud, profundidad y abertura angular, y dos compuestas: superficie y volumen. Véanse Abscisa; Ordena-

UN COMPLETO CURSO DE GEOMETRIA ELEMENTAL PARA LOS PRINCIPIANTES

bton-geometria1-Elementos de Geometría Plana

bton-geometria

bton-geometria2-Triángulosbton-geometria
bton-geometria3-Cuadriláterosbton-geometria
bton-geometria4-Polígonosbton-geometria
bton-geometria5-Circunferencia y Círculobton-geometria
bton-geometria6-Perímetros y Áreasbton-geometria
bton-geometria7-Semejanzasbton-geometria
bton-geometria8-Geometría del Espaciobton-geometria
bton-geometria9-Poliedrosbton-geometria
bton-geometria10-Cuerpos de Revoluciónbton-geometria
bton-geometria11-Áreas y Volúmenesbton-geometria
bton-geometria12-Movimientos en el Planobton-geometria
bton-geometria13-Trigonometríabton-geometria
bton-geometria14-Geometría Analíticabton-geometria

Temas Enlazados al Sitio Oficial: CNICE (Ministerio de Educación y Ciencias)

Parábola, Recta y Circunferencia Online

Resolucion Ecuacion de Segundo Grado,Aplicando la Resolvente

RESOLUCIÓN ECUACIONES DE 2º GRADO

CALCULO DE LAS RAÍCES EN ECUACIONES CUADRÁTICAS


Por Silvia Ele Profesora de Matemáticas

RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA:1ra. Parte

Una ecuación de segundo grado es aquella en la cual la incógnita

(generalmente simbolizada por x ) aparece elevada a la segunda potencia.

En general, puede simbolizarse como

MATH

donde $a$ representa al coeficiente del término cuadrático, y nunca puede

ser$=0$ , pero sí puede ser igual a cualquier otro número real.

MATH es el coeficiente del término lineal, es decir aquel en que $x$ aparece elevada

a la primera potencia. Puede o no ser igual a $0$. Y

MATH es el término independiente, pues es el coeficiente del término donde

$x$ aparece elevada a la potencia $0$, o sea, $x$ no aparece porque $x^{0}=1$.

Según los valores de $\ \ a$, $b$ y $c$, las ecuaciones de segundo grado se clasifican en

1.Completas, cuando $a,b$ y $c$ son distintas de $0$.

2.Incompletas, cuando

2.1 $b=0$, o sea, no contiene término lineal,

o bien $\ $cuando 2.2 $c=0,$ es decir, no existe término independiente.

Veamos 2.1. La forma general sería

MATH

En este caso, la resolución es fácil:

MATH $\ \ \ \ \ \ $de donde MATH

Por lo tanto

MATH MATH y MATH

Por ejemplo:

$4x\U{b2}-25=0,$

se resuelve así: $\ $

de $\ 4x\U{b2}=25$, es MATH, y MATH

Por lo tanto, MATH $\ \ \ \ \ \ \ \ $ y MATH

2.2Si $\ \ \ c=0$, es $\ \ \ ax^{2}+bx=0$

En este caso, para resolver, extraemos el factor común, y nos queda

MATH $si$ $a=1$

Que es lo mismo que $(x-0)(x+b)=0,$

y este producto dará $=0$ sólo si $x\U{2081} =0$ , (porque el primer factor será $0$,

y multiplicado por lo que sea que valga el otro, dará producto $0$), o bien si

$x\U{2082} =-b$ (ya que $-b+b=0$ ).

Por ejemplo, $\ x^{2}-4x=0$ se puede pensar como

MATH o sea $x(x-4)$ $=0$ , que tendrá

como raíces $x\U{2081} =0$ y $x\U{2082} =4.$

Volviendo al caso general, si $\ \ a=1$, se dice que las ecuaciones son Reducidas.

Veamos cómo se resuelve una de estas joyitas cuando $a=1$, y $b$ y $c$ son

distintas de $0$.

Su forma sería MATH

Pensémoslo en un ejemplo: $\ x^{2}-6x-16=0$ .

Si hacemos un conveniente pasaje de miembro ( el viejo truco ),

nos queda $x2-6x=16$ [1]

Si observamos el primer miembro, vemos que podría corresponder a los dos

primeros términos de un trinomio cuadrado perfecto ( o sea, el cuadrado de un

binomio), donde

MATH es el cuadrado del primer término del binomio,

MATH sería el doble producto del primero por el segundo,

pero nos faltaría el cuadrado del segundo.

Ahora bien, si $\ x$ es el primer término del binomio, $\ $

$-6$ sería el producto de $2$ (doble producto, dijimos) por el segundo.

Si llamamos $q$ al segundo, donde

$2q=-6$ implica que $q=-3$.

Y el binomio sería $(x-3)$

Entonces, apelando al otro viejo truco: «sumo y resto lo mismo y no altero

la suma», puedo escribir

MATH (porque $9-9=0$)

Y, asociando convenientemente, queda

MATH

o sea, MATH

Entonces, reemplazando en [1], queda MATH

y, resolviendo, será

MATH

y

MATH

o sea MATH de donde $\ x\U{2081} =8$

y $x\U{2082} =-5+3,$ $x\U{2082} $ $=-2$

Generalizando lo anterior, se ve que este mismo proceder es aplicable a

cualquier ecuación general de 2º grado con una incógnita. O sea, si:

MATH

será $\ x^{2}+bx=-c.$

Y si utilizamos el recurso del trinomio cuadrado perfecto, veremos que

$\ bx=2.x.q$ .

Entonces, es $q=\frac{b}{2}.$

y, si sumamos y restamos $\ q^{2}$ en ambos miembros (nuestro querido y

viejo truco), será MATH

Luego, antes de caer en el colpaso cerebral, hacemos el conveniente

pasaje de miembro y el factoreo del trinomio, y nos quedará

MATH 

De donde, MATH

y

MATH ; MATH ; MATH ;

MATH; MATH

que es lo mismo que

MATH .

esto es lo mismo que

MATH 

Y si aún queda alguien que desconfíe de este razonamiento, veamos si,

aplicando esta fórmula en la ecuación anterior, llegamos a las mismas

raíces. (Atención: un ejemplo no es una demostración válida, pero si el ejemplo

no coincide con la conclusión, vale para demostrar la no validez de la misma.)

Recordemos que era:

$a=1$; $\ \ b=-6$; $\ \ c=-16$

entonces MATH

de donde

MATH,

pero $36+64=100$, entonces

MATH o sea MATH entonces

$\ x\U{2081} =8$ ( que coincide con una de las que hallamos antes)

y

MATH entonces $\ x\U{2082} =-2$ (y que también coincide con la otra que hallamos)

APLICACIÓN ONLINE DE LA RESOLVENTE

Una vez aceptado esto, es una buena idea proponernos, para cuando

egresemos de la sala de terapia intensiva para cerebros exhaustos,

preguntarnos si esta fórmula sirve para todos los casos. O sea,

¿sirve tanto para completas como para las incompletas y para las

que no son reducidas?.

También nos queda para después el análisis de la relación entre el

valor y la «realidad» de las raíces, y el signo de la expresión sub-radical

en la fórmula.

Estos desarrollos los dejamos para otro día, cuando la convalescencia

esté avanzada, y nuestras neuronas hayan recuperado su actividad.

Por hoy, les deseo feliz terapia.

Y les digo «¡Hasta el próximo suplicio!»

«Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a  [email protected] «

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

CALCULO DE LAS RAÍCES EN ECUACIONES CUADRÁTICAS

Por Silvia Ele Profesora de Matemáticas

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 2da. Parte

Hola, ¿seguimos sufriendo? ….

Hemos visto la resolución de ecuaciones cuyo coeficiente del término cuadrático es 1, y ahora veremos cómo hacerlo en las que no lo tienen igual a 1.

•  LA ECUACIÓN GENERAL

Sea $ax^{2}+bx+c=0$ con $a$ distinto de 1.

Acudiremos al socorrido truco de dividir ambos miembros de la igualdad por el mismo número $a.$De este modo, obtendremos una NUEVA IGUALDAD, distinta de la anterior, pero que constituye una ecuación EQUIVALENTE a la anterior, es decir, con raíces iguales a las de aquella. (Más adelante, probaremos esta afirmación).

Procederemos:

MATH se convertirá en MATH donde $\frac{a}{a}=1$ $\ \ $y MATH $,$así que será MATH

Si ahora aplicamos la «resolvente» (como le dicen los más confianzudos a la fórmula que aprendimos antes), reemplazando

$b$ por $\frac{b}{a}$ y $c$ por $\frac{c}{a}$, nos quedará: MATH (AB)

donde la expresión subradical quedará MATH y, entonces, será

MATH (A) y MATH (B)

Si queremos simplificarnos la vida, podemos efectuar la trasformación de los coeficientes antes de aplicar la fórmula, como en este ejemplo, donde:

MATH , dividida en ambos miembros por 3, quedaría

MATH que, resuelta como antes aprendimos, daría

MATH , es decir MATH , o sea $x_{1}=1$

y MATH , es decir MATH , o sea $x_{2}=-3$

Para estar seguros, reemplazamos la $x$ con estos valores en la ecuación original.

¿Es MATH? Sííí. ¿Y también MATH? Sííí. (¡Qué alivio!)

O bien, podemos buscar una nueva versión de la fórmula para ecuaciones de 2º grado ( recordemos que este nombre implica sí o sí que $a$ es distinto de $0$, porque de no serlo no habría término cuadrático, y la ecuación NO sería de 2º grado) que sirva cuando $a$ es distinto de $1.$

Veamos: Si tomamos (AA), y desarrollamos, tendremos MATH

MATH MATH ,

y extrayendo denominador común $a$ en el numerador y pasándolo al denominador, queda MATH

Fórmula que, ahora sí, puede aplicarse a todos los casos de resolución.

Veamos: si $a=1,$ queda la fórmula (AB), que ya estudiamos.

Retomando el caso 2.1 del capítulo anterior, si $\ a$ es distinta o no de $1,$ y $b=0$, la fórmula queda como MATH y esto es lo mismo que MATH que es lo mismo que MATH que es lo mismo que habíamos hallado en el punto 2.1 del capítulo anterior.

Retomemos, ahora, el caso 2.2 del capítulo anterior. Si $a$ es distinto o no de $1,$ y $\ c=0,$ aplicando la resolvente será

MATH que es MATH , que es MATH

o sea $x_{1}=\frac{o}{2a}$, que es $x_{1}=0$;

y MATH o sea MATH entonces $x_{2}=-\frac{b}{a}$. Que, (¿casualmente?), para el caso de $a=1,$son las fórmulas a que habíamos llegado antes.

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE SEGUNDO GRADO

¿Recuerdan lo que dijimos antes sobre una ecuación expresada como $\ (x-p)(x-q)=0$ ?

En primer lugar, multiplicando los dos factores obtendremos una ecuación de segundo grado,

porque $x^{2}$ $-px-xq+pq=0$ puede expresarse como $x^{2}$ $-(p+q)x+pq=0$ donde podemos asimilar $\ a=1,$ $-(p+q)=b,\ $y $\ pq=c$ (C)

Si observamos el primer miembro antes de convertirlo en un polinomio, podemos ver que si $x=p,$ el primer factor es $=0,$ y el producto es $=0.$

También si hacemos $x=q$ el segundo factor dará $=0$ y por lo tanto el producto dará $=0.$

¡ Pero eso quiere decir que $p$ y $q$ son raíces de la ecuación?????!!!!!!! Y, sí, es así. Y esto nos lleva a varias conclusiones interesantes y útiles.

1) Una ecuación de 2º grado, conocidas sus raíces $x_{1}$ y $x_{2},$ puede expresarse como MATH de lo cual se desprende que si no conocemos la forma de la ecuación, pero sí sus raíces, podemos reconstruirla (es decir, expresarla en forma polinómica).

Por supuesto que, de esta forma, siempre obtendremos ecuaciones reducidas, porque si los coeficientes de $x$ son $1$, el de $x^{2}$ también será $=1.$

Pero, podemos obtener infinitas ecuaciones de 2º grado, equivalentes a éstas, sólo con multiplicar ambos miembros de la forma factoreada, por cualquier número real.

Por ejemplo, en $(x-3)(x+4)=0$ se ve enseguida que $3\ \ $y$\ \ \ -4$ son las raíces, y la forma polinómica sería $x^{2}+x-12=0$ (D) (¿por qué?)

Pero, si multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 5, la nueva ecuación $5(x-3)(x+4)=0.(5)$ será equivalente a la anterior, porque $3$ y $\ -5$ siguen siendo las raíces, y la forma polinómica ahora será

$5(x^{2}+x-12)=0,$ o sea, $5x^{2}+5x-60=0.$

Y así sucederá con cualquier número real por el cual multipliquemos la ecuación reducida.

Ya vimos que si tenemos una ecuación NO REDUCIDA, podemos llegar a la reducida equivalente, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de $x^{2}. $

2) Vimos en (C) que , si $\ x_{1}=p$ y $\ x_{2}$ $=q$ eran las raíces de la forma reducida, entonces, como $a=1,$ $-(p+q)=b,\ $y $\ pq=c$ , podemos

reconstruir la forma polinómica de la ecuación como MATH

Es decir, que la suma de las raíces, con signo opuesto, es igual al coeficiente del término lineal. O sea $-(x_{1}+x_{2})=b$

Y el producto de las raíces, es el término independiente. O sea, $x_{1}.x_{2}=c$ .

Podemos verificar que esto se cumple en (D)
$-[3+(-4)]=-(-1)$ $\ \ $, entonces $b=1$ . Y $[3(-4)]=-12$, entonces $c=-12$. ¿Y? ¿Qué me cuentan?

Pasemos ahora a un tema complejo:

RAICES REALES Y RAICES COMPLEJAS

Si la ecuación es como las que vimos antes, las raíces son números reales, pero si son como, por ejemplo,

$x^{2}+2x+5=0,$ al aplicar la fórmula resolvente tendremos MATH que da MATH

«Pero, ¿qué es esto, Dios mío? ¿Raiz cuadrada de número negativo? ¡Si eso no existe!», dirán algunos.

Bueno, no es para tanto. No existe en el conjunto de los números reales, pero para algo se inventaron los números imaginarios, que, asociados con los reales, constituyen los números complejos.

Veamos: Yo sé resolver $\sqrt{16},$ que hasta da raiz exacta y todo, pero, MATH

Probemos con alguno de los truquitos de los matemáticos. Todos sabemos que es perfectamente legal decir que

MATH y, como la buena de doña Propiedad Distributiva de La Radicación Con Respeto A La Multiplicación nos lo permite, decimos con toda tranquilidad de conciencia que

MATH o sea MATH .

Con lo cual hemos solucionado la mitad del problema. Pero, ¿qué cosa exótica es ese $\sqrt{(-1)}?$. Pues es $i,$ la unidad imaginaria que fue inventada justamente para estas situaciones críticas.

Esta unidad no se define como $i=\sqrt{-1}$ sino como el valor que cumple $i^{2}=-1.$ Pero, en la práctica, sirve justamente para operar con $\sqrt{-1}$reemplazándolo cuando aparece para fastidiar. Por otro lado, observemos que ($\sqrt{-1})^{2}=-1$, así que no es incorrecto hacer esa sustitución.

Visto todo lo cual, volvemos a nuestra ecuación, donde las raíces serán

MATH o sea $x_{1}=-1+2i$ , y

MATH o sea $x_{2}=-1-2i$

Si miramos fijamente a los dos valores obtenidos para las raíces, veremos que son casi iguales, salvo por el signo de los términos que contienen a $i.$

Son números complejos, porque constan de una parte real :$\ -1$, y una parte imaginaria: $+2i$ uno, y el otro $-2i$ .

Son lo que se llama, dos números complejos conjugados, es decir que tienen las partes reales iguales, y las partes imaginarias opuestas (de igual valor numérico y distinto signo).

Y siempre que una ecuación tenga raíces complejas, serán números complejos conjugados, porque la parte real es igual y la imaginaria proviene de raices iguales, pero precedidas por distinto signo.

Reemplacemos ahora, en la ecuación en cuestión, a $x$ por los valores hallados, para comprobar que estas raíces son las correctas (es decir, comprobaremos que realmente es una igualdad). Mientras no lo demostremos, lo escribiremos como pregunta

MATH $\ ?,$ Podemos pensar el primer miembro como MATH , donde los términos en $\ i$ se anulan mutuamente, y reemplazamos $i^{2}$ por $-1.$

Será, entonces, $4(-1)+4=0$ . Así que para la primera raiz, ya estamos cumplidos.

Para la segunda, reemplazamos y resolvemos MATH o sea

MATH (después de desarrollar el cuadrado del binomio) donde también se anulan los términos con $i, $ y es MATH

O sea, $1-4+3=0,$ que es lo que queríamos comprobar, también para la segunda raiz.

¿Y qué generalización podríamos extraer de esto?.

Podríamos observar que esta situación se da cuando la expresión subradical es negativa, es decir $b^{2}-4ac$ es menor que 0, es decir que $b^{2}$ es menor que $4ac.$

Entonces, sólo con ver la forma de la ecuación estaremos en condiciones de predecir si las raíces serán complejas o reales.

En nuestro ejemplo, se ve enseguida que $2^{2}=4$ es menor que $\ 4.5=20$ .

Y, para terminar, por hoy, les dejo unas cuantas ecuaciones para resolver, con sus respectivas soluciones, para mirar DESPUES de resolverlas, no antes.

También les propongo un problema que se resuelve utilizando ecuaciones.

Aquí van:

Hallar las raíces de : 1) MATH MATH

2) $\frac{1}{3}$ MATH $(2;-4)$

3) $x^{2}=-3,7x$ $(0;-3,7)$

4) $-3 $ $x^{2}=-9$ $(\pm \sqrt{3})$

5) $x^{2}-16x+68=0$ $(8\pm 2i)$

Problema: Un móvil parte de A con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sale con una velocidad de 3 $\frac{m}{s}$ y al cabo de 10 segundos su velocidad es de 7$\frac{m}{s}.$¿Qué tiempo deberá trascurrir para que recorra 18900 m desde su punto de partida? (Solución: 5 minutos)

(Algunas aclaraciones:

1) la fórmula para calcular la distancia en un movimiento de este tipo es MATH donde $v_{0}$ es la velocidad inicial, $a$ es la aceleración, y $t$ el tiempo,

2) la aceleración es el incremento de la velocidad dividido por el tiempo que duró ese incremento, y

3) en los problemas de física, sólo se tendrá en cuenta el valor positivo entre los hallados como solución.)

Bien, hasta la vista, amigos.

Las propiedades de las raíces de una ecuación de 2º grado

«Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a  [email protected] «

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FÓRMULAS DE VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos tridimensionales o simplemente cuerpos ocupan siempre un espacio. La medida de ese espacio recibe el nombre de volumen.

Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.

jarra

Esta jarra es un cuerpo de forma cilindrica, y es hueco, entonces se habla de capacidad de la jarra, es decir, cuanto líquido puede contener en su interior. Con la fórmula del volumen del cilindo  podemos obtener la capacidad de este envase.

Veams ahora las fórmulas mas utilizadas en nuestra vida diaria….

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1-Fórmula Volumen de un Cubo

2-Fórmula Volumen de un Paralelepípedo

3-Fórmula Volumen de un Cilindro

4-Fórmula Volumen de una Esfera

5-Fórmula Volumen de un Cono

6-Fórmula Volumen de un Toro

7-Fórmula Volumen de una Pirámide

8-Fórmula Volumen de un Casquete Esférico

9-Fórmula Volumen de un Prisma

10-Fórmula Volumen de un Elipsoide de Revolución

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Son cuerpos de revolución aquellos cuerpos tridimensionales (tres dimensiones)  que se obtienen al hacer girar una figura plana 360″ alrededor de un eje que puede ser uno de sus lados o no.

Por ejemplo, si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados obtenemos un cilindro; si hacemos girar un triángulo alrededor de uno de sus lados, obtenemos un cono; y si hacemos girar una semicírculo alrededor de su diámetro, obtenemos una esfera.

En cambio, si hacemos girar un círculo alrededor de un eje, que se encuentra en el mismo plano que el círculo, exterior a él, la figura que obtendremos es la de un toro (un ejemplo es la figura de un «donut» (figura abajo)

cuerpo geometrico toro

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son, por tanto, objetos tridimensionales limitados por una o varias superficies.

Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Los antiguos griegos conocían la existencia de cinco poliedros regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras.

Teeteto fue probablemente el autor de la primera construcción teórica rigurosa de dichos poliedros como cuerpos inscritos en una esfera, construcción con la que culminaban los Elementos de Euclides, donde aparece asimismo, como colofón de la obra, la demostración de que sólo pueden existir cinco de ellos.

Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono, que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvadas; son los llamados cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención preferente y cuyas superficies y volúmenes estaban ya recogidos en la obra de Euclides.

Vivimos en un mundo tridimensional. La mayoría de los objetos con los que trabajamos pueden caracterizarse como sólidos tridimensionales.

Todos los cuerpos geométricos tridimensionales, es decir, que tienen un alto, un ancho y una profundidad, ocupan un espacio. La medida del espacio que ocupan dichos cuerpos tridimensionales recibe el nombre genérico de volumen del cuerpo.

El volumen de los cuerpos es aditivo, en la medida en que, si juntamos varios cuerpos de volúmenes V1 ,V2 ,V3 ,el volumen total ocupado por todos ellos es V = V1 + V2 + V3 + …

Para calcular el volumen de los cuerpos geométricos aprovechamos su forma geométrica, de manera que dividimos el cuerpo en otros cuerpos geométricos más sencillos (cubos, prismas, esferas, etc.) de los cuales conocemos las expresiones matemáticas de sus volúmenes y luego aplicamos la propiedad aditiva del volumen para calcular el volumen total del cuerpo original.

Aunque el volumen de un cuerpo se calcula aprovechando su geometría, esto no quiere decir que los cuerpos que tienen el mismo volumen hayan de tener la misma geometría. Por ejemplo, un cubo y una esfera pueden tener el mismo volumen si elegimos de una forma concreta la arista del primero y el radio del segundo.

La unidad fundamental para el volumen en el Sistema Internacional de unidades (si) es el metro cúbico (m³).

Un metro cúbico corresponde al volumen que ocupa un cubo de arista a 1 m.

Por tanto, resulta que cada unidad de volumen equivale a 1000 unidades del orden inmediatamente inferior (por ejemplo, 1 dm³ = = 1.000 cm³), y que cada 1.000 unidades de un orden equivalen a una unidad del orden inmediatamente superior (por ejemplo, 1.000 hm³ =  1 km³).

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FORMULAS DE LOS VOLUMENES MAS COMUNES

► CILINDRO:

Un cilindro es un sólido cuyos extremos, o bases, son figuras planas paralelas congruentes dispuestas de tal modo que los segmentos que unen los puntos correspondientes en las bases son paralelos. Estos segmentos se llaman elementos.

En el primer cilindro de la figura de abajo AA’. BE’ y CC’ son elementos del cilindro. Un cilindro circular es aquel en el que ambas bases son círculos.

El cilindro circular recto es el tipo más común de cilindro y se forma cuando las bases son perpendiculares a los elementos. La altura o altitud de un cilindro es un segmento perpendicular a ambas bases.

calculo de volumenes cilindros

► PRISMAS:

Como se muestra en la figura  de abajo un prisma es un sólido con extremos, o bases, que son polígonos paralelos congruentes con lados llamados caras (o caras laterales) y que constituyen paralelogramos.

Los segmentos que forman las intersecciones de las caras laterales se llaman aristas laterales.

La altura, o altitud, de un prisma es la distancia entre las bases. Un prisma rectangular tiene sus bases perpendiculares a las aristas laterales; por lo tanto, sus caras son rectángulos.

calculo de volumenes prismas


Los prismas reciben sus nombres de las bases. Si las bases son polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.

El prisma triangular tiene triángulos por bases y el prisma rectangular tiene rectángulos por bases. Los prismas más comunes son los prismas rectangulares rectos, que se llaman paralelepípedos rectangulares, y el prisma cuadrado recto, más conocido como cubo.

Existen dos clases de áreas que suelen asociarse con cualquier figura sólida. El área lateral es la suma de las áreas de todos los lados.

El área superficial total es el área lateral más el área de las bases.

A causa de que la superficie lateral de un prisma recto o de un cilindro recto puede desdoblarse para formar un paralelogramo si se le corta a lo largo de un elemento, el área lateral L se halla multiplicando el perímetro o la circunferencia de la base por la altura. El volumen de un cilindro de un prisma es el área de la base B por la altura.

Área lateral, área superficial y volumen de un cilindro o prisma

El área lateral, el área superficial total y el volumen de un cilindro o de un prima están dados por las siguientes fórmulas:

SólidoÁrea LateralSuperficie Lateral TotalVolumen
LTV
Prismap.hph + 2BBh
Cilindro2¶rh2¶r (r+h)¶r2h
donde p es el perímetro de una de las bases del prisma, h es la altura, r es el radio de una de las bases del cilindro y B es el área de una base.

►Conos:

Un cono se forma trazando segmentos desde una figura plana, la base, hasta un punto llamado vértice. El vértice no puede estar en el mismo plano que la base.

La altura es un segmento que parte del vértice y es perpendicular a la base.

Los conos más comunes son el cono circular y el cono circular recto. Ambos tienen como base un círculo.

En un cono circular recto, la altura interseca la base en su centro. La altura oblicua de un cono circular recto es un segmento que va del vértice a un punto de la circunferencia de la base.

corte con un plano de un cono

Al cortar un cono por diversos planos se obtienen distintas curvas geométricas según este plano corte una o ambas hojas de la superficie de revolución:

Circunferencia, si el plano es paralelo a la base y corta a todas las generatrices.

Elipse si no es paralelo a la base y corta todas las generatrices.

Parábola si es paralelo a una generatriz, pero no corta a las dos superficies de revolución.

Hipérbola si corta a las dos superficies de revolución y es paralelo a una sola generatriz.

El cono es una figura muy popular. Son cónicas las puntas de un alfiler, un lápiz muy puntiagudo, los cuernos de un toro, los minaretes de Santa Sofía, y se llaman «coniferas» a un grupo de plantas que adoptan el aspecto de un cono (abetos, sequoias, etc.).

Su tronco es un cono perfecto. En el diferencial de un automóvil los engranajes tienen forma de tronco de cono y también lo encontramos en las macetas de un jardín, en los feces turcos, en la muela de molino, etc.

► Pirámides:

La pirámide es un tipo especial de cono cuya base es un polígono. En la figura se muestra una pirámide típica y algunas de sus partes.

Cada lado de una pirámide es un triángulo denominado cara lateral. Las caras laterales se encuentran en las aristas laterales.

Como en el caso de los prismas, las pirámides se clasifican de acuerdo con la forma de su base. La pirámide regular tiene como base un polígono regular y una altura que es perpendicular a la base en su centro.

La altura oblicua de una pirámide regular es la altura de cualquiera de las caras laterales.

El volumen V de un cono o de una pirámide es un tercio del área de la base B por la altura h, o sea V=1/3Bh. Para las áreas laterales sólo consideraremos las de los conos circulares rectos y de las pirámides regulares.

El área lateral L es la mitad de la altura oblicua s por el perímetro o la circunferencia de la base. El área superficial total es el área lateral más el área de la base.

►La Esfera:

Es un poliedro de infinito número de caras, o bien la superficie engendrada por una circunferencia que gira alrededor de un diámetro.

Las secciones planas o planos que cortan la esfera perpendicularmente a un diámetro dan siempre círculos o circunferencias, según se considere la superficie esférica o la esfera, es decir, el espacio y el volumen abarcado por la primera.

El diámetro generatriz determina dos polos.

El plano perpendicular al centro de la generatriz origina una circunferencia máxima o ecuador.

Si cortamos la superficie esférica por medio de planos paralelos a este ecuador, obtendremos circunferencias cada vez de menor radio hasta que éste será cero.

Entonces el plano se habrá convertido en tangente a la esfera en el punto citado. Todos estos círculos se llaman menores y su radio es tanto menor cuanto mayor sea la distancia del plano al centro de la esfera.

Si dos círculos tienen el mismo radio, su alejamiento del centro de la esfera es el mismo.

Una circunferencia es una línea que determinan 3 puntos, pues solamente por 3 puntos no situados en línea recta puede pasar una circunferencia.

Una esfera necesita 4 puntos no situados en el mismo plano ni 3 de ellos en línea recta para determinar una única esfera.

La condición de estar en un mismo plano no puede aplicarse a una circunferencia porque 3 puntos ya determinan un plano; en cambio, 4 que estén en un mismo plano, no pueden determinar una esfera.

Áreas en la esfera: Prescindimos de las demostraciones, que serían excesivamente largas, y nos limitamos a considerar las siguientes superficies que se pueden originar en la esfera:

Zona esférica es la superficie comprendida entre dos planos paralelos, sea este un círculo máximo o no. Su área es igual al producto de una circunferencia máxima por la altura de la zona: (ver figura abajo)

Área zona esférica = 2.¶.R.h

croquis de una esfera y sus casquete esfericos

h: es la distancia entre circunferencias del casquete o la altura del casquete
R: radio de la circunferencia máxima

Esta fórmula es igual que la obtenida para el cilindro, es decir, el área de una zona esférica es igual que la de un cilindro de base igual al círculo máximo de la zona, y de altura idéntica a la misma.

Casquete esférico es una zona cuya base superior es un punto. Por tanto, su área vale igual que la de una zona: 2.¶.r.h

r: radio del casquete

Área de la superficie esférica. Es el área total de la esfera es: A= 4.¶.R²

► El Planeta Tierra, Casi Un Esfera

Nueva Fotografia de la Tierra Imagen Definitiva del Planeta Tierra

LA ESFERA QUE HABITAMOS: Nuestro planeta Tierra no es exactamente una esfera pues el radio ecuatorial es algo mayor que el polar. El primero mide 6.378.388 m, y el segundo 6.356.912 m.

El achatamiento es de unos 21 km, cifra insignificante si se tiene en cuenta que el ecuador mide 40.076.594 m.

Conociendo el radio es fácil calcular la superficie terrestre, que es de 510.101.934 km2. El volumen de nuestra esfera alcanza una cifra impresionante: 1.083.319.780.000 km3. Se calcula, aproximadamente, que el peso tota! de la Tierra es superior a 5.977 trillones de toneladas.

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NOMBRE DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

tabla de cuerpos geométricos

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FORMULA VOLUMEN CUERPO: CUBO

formula volumen cuerpo cubo

FORMULA VOLUMEN CUERPO:PARALELEPIPEDO

formula volumen cuerpo paralelepidedo

FORMULA VOLUMEN CUERPO:PRISMA

formula volumen prisma

FORMULA VOLUMEN CUERPO:PIRAMIDE

formula volumen piramide

FORMULA VOLUMEN CUERPO:CONO

formula volumen cono

FORMULA VOLUMEN CUERPO:ESFERA

formula volumen esfera

FORMULA VOLUMEN CUERPO:CILINDRO

formula volumen cilindro

Veamos un ejemplo:

Calcular el volumen de un tanque de base circular cuyo radio es de 3,4 m. y su altura es de 1,2m….Si la base es circular, sabemos que es un cilindro, por lo tanto el calculo se reduce a buscar la fórmula del volumen de un cilindro, que es la siguiente:

volumen de un cilindro