Interseccion de Recta y Parabola

Resolucion Ecuacion de Segundo Grado Aplicar la Resolvente

RESOLUCIÓN ECUACIONES DE 2º GRADO

CALCULO DE LAS RAÍCES EN ECUACIONES CUADRÁTICAS
Por Silvia Ele Profesora de Matemáticas

RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 1ra. Parte

Una ecuación de segundo grado es aquella en la cual la incógnita

(generalmente simbolizada por x ) aparece elevada a la segunda potencia.

En general, puede simbolizarse como

MATH

donde $a$ representa al coeficiente del término cuadrático, y nunca puede

ser$=0$ , pero sí puede ser igual a cualquier otro número real.

MATH es el coeficiente del término lineal, es decir aquel en que $x$ aparece elevada

a la primera potencia. Puede o no ser igual a $0$. Y

MATH es el término independiente, pues es el coeficiente del término donde

$x$ aparece elevada a la potencia $0$, o sea, $x$ no aparece porque $x^{0}=1$.

Según los valores de $\ \ a$, $b$ y $c$, las ecuaciones de segundo grado se clasifican en

1.Completas, cuando $a,b$ y $c$ son distintas de $0$.

2.Incompletas, cuando

2.1 $b=0$, o sea, no contiene término lineal,

o bien $\ $cuando 2.2 $c=0,$ es decir, no existe término independiente.

Veamos 2.1. La forma general sería

MATH

En este caso, la resolución es fácil:

MATH $\ \ \ \ \ \ $de donde MATH

Por lo tanto

MATH MATH y MATH

Por ejemplo:

$4x\U{b2}-25=0,$

se resuelve así: $\ $

de $\ 4x\U{b2}=25$, es MATH, y MATH

Por lo tanto, MATH $\ \ \ \ \ \ \ \ $ y MATH

2.2Si $\ \ \ c=0$, es $\ \ \ ax^{2}+bx=0$

En este caso, para resolver, extraemos el factor común, y nos queda

MATH $si$ $a=1$

Que es lo mismo que $(x-0)(x+b)=0,$

y este producto dará $=0$ sólo si $x\U{2081} =0$ , (porque el primer factor será $0$,

y multiplicado por lo que sea que valga el otro, dará producto $0$), o bien si

$x\U{2082} =-b$ (ya que $-b+b=0$ ).

Por ejemplo, $\ x^{2}-4x=0$ se puede pensar como

MATH o sea $x(x-4)$ $=0$ , que tendrá

como raíces $x\U{2081} =0$ y $x\U{2082} =4.$

Volviendo al caso general, si $\ \ a=1$, se dice que las ecuaciones son Reducidas.

Veamos cómo se resuelve una de estas joyitas cuando $a=1$, y $b$ y $c$ son

distintas de $0$.

Su forma sería MATH

Pensémoslo en un ejemplo: $\ x^{2}-6x-16=0$ .

Si hacemos un conveniente pasaje de miembro ( el viejo truco ),

nos queda $x2-6x=16$ [1]

Si observamos el primer miembro, vemos que podría corresponder a los dos

primeros términos de un trinomio cuadrado perfecto ( o sea, el cuadrado de un

binomio), donde

MATH es el cuadrado del primer término del binomio,

MATH sería el doble producto del primero por el segundo,

pero nos faltaría el cuadrado del segundo.

Ahora bien, si $\ x$ es el primer término del binomio, $\ $

$-6$ sería el producto de $2$ (doble producto, dijimos) por el segundo.

Si llamamos $q$ al segundo, donde

$2q=-6$ implica que $q=-3$.

Y el binomio sería $(x-3)$

Entonces, apelando al otro viejo truco: «sumo y resto lo mismo y no altero

la suma», puedo escribir

MATH (porque $9-9=0$)

Y, asociando convenientemente, queda

MATH

o sea, MATH

Entonces, reemplazando en [1], queda MATH

y, resolviendo, será

MATH

y

MATH

o sea MATH de donde $\ x\U{2081} =8$

y $x\U{2082} =-5+3,$ $x\U{2082} $ $=-2$

Generalizando lo anterior, se ve que este mismo proceder es aplicable a

cualquier ecuación general de 2º grado con una incógnita. O sea, si:

MATH

será $\ x^{2}+bx=-c.$

Y si utilizamos el recurso del trinomio cuadrado perfecto, veremos que

$\ bx=2.x.q$ .

Entonces, es $q=\frac{b}{2}.$

y, si sumamos y restamos $\ q^{2}$ en ambos miembros (nuestro querido y

viejo truco), será MATH

Luego, antes de caer en el colpaso cerebral, hacemos el conveniente

pasaje de miembro y el factoreo del trinomio, y nos quedará

MATH 

De donde, MATH

y

MATH ; MATH ; MATH ;

MATH; MATH

que es lo mismo que

MATH .

esto es lo mismo que

MATH 

Y si aún queda alguien que desconfíe de este razonamiento, veamos si,

aplicando esta fórmula en la ecuación anterior, llegamos a las mismas

raíces. (Atención: un ejemplo no es una demostración válida, pero si el ejemplo

no coincide con la conclusión, vale para demostrar la no validez de la misma.)

Recordemos que era:

$a=1$; $\ \ b=-6$; $\ \ c=-16$

entonces MATH

de donde

MATH,

pero $36+64=100$, entonces

MATH o sea MATH entonces

$\ x\U{2081} =8$ ( que coincide con una de las que hallamos antes)

y

MATH entonces $\ x\U{2082} =-2$ (y que también coincide con la otra que hallamos)

APLICACIÓN ONLINE

Una vez aceptado esto, es una buena idea proponernos, para cuando

egresemos de la sala de terapia intensiva para cerebros exhaustos,

preguntarnos si esta fórmula sirve para todos los casos. O sea,

¿sirve tanto para completas como para las incompletas y para las

que no son reducidas?.

También nos queda para después el análisis de la relación entre el

valor y la «realidad» de las raíces, y el signo de la expresión sub-radical

en la fórmula.

Estos desarrollos los dejamos para otro día, cuando la convalescencia

esté avanzada, y nuestras neuronas hayan recuperado su actividad.

Por hoy, les deseo feliz terapia.

Y les digo «¡Hasta el próximo suplicio!»

«Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a  [email protected] «

Interseccion Circunferencia y Recta Geometria Analitica Conicas

CALCULADORA DE INTERSECCION DE CIRCUNFERENCIA Y RECTA

CIRCUNFERENCIA: Un circunferencia está formada por una sucesión de puntos que están a la misma distancia de un punto que se llama centro. Existen muchas partes en un círculo.  El radio es un segmento con un extremo en el centro y el otro en el círculo. La cuerda es cualquier segmento con ambos extremos en el círculo. Eldiámetro es una cuerda que pasa por el centro del círculo.

La secante es una línea que interseca dos veces el círculo, y la tangente interseca el círculo en exactamente un solo punto. La tangente es perpendicular al radio en su punto de tangencia. El perímetro de un círculo se llama circunferencia y es igual a la distancia alrededor del círculo.

La figura de abajo muestra unas cuantas partes más del círculo que se emplearán posteriormente.

interseccion circulo y recta

El ángulo central es un ángulo con el vértice en el centro del círculo. El arco es una sección de un círculo y a menudo se le describe en términos del tamaño de su ángulo central. Entonces, podríamos referirnos a un arco de 20° o un arco de Pi/9 rad. (Pi=3.14)  Aclaramos que 1 rad=57° 18´ aprox. y es el ángulo correspondiente para que la longitud del arco sea igual al radio.

Un arco de longitud igual al radio es 1 rad. Un ángulo central divide el círculo en un arco menor y un arco mayor. También nos podemos referir a un arco por sus puntos extremos. En la figura, el arco menor se identifica como AB. El arco mayor se identifica como ABC, donde A y B son los puntos extremos y C es cualquier otro punto sobre el arco mayor. La longitud de un arco se denota colocando una m enfrente del nombre del arco. Entonces, mAB es la longitud de AB. Un sector es la región en el interior del círculo y está limitado por un ángulo central y un arco.

interseccion de circunferencia y recta

Ejemplo de una intersección entre una recta y una circunferencia, usando la aplicación de mas arriba:

Encontrar los puntos en los que la recta y = 2x – 10 corta al círculo con centro en punto de coordenadas (4, -2) y radio 4.472136. (este valor equivale a la raíz cuadrada de 20).

La ecuación del circulo es:

Y entonces se debe resolver el sistema de ecuaciones siguiente:

Resolviendo se obtiene que hay dos puntos de intersección de coordenadas: A (6,2) y B(2,-6)

Para hacerlo desde esta pagina usando el software de arriba, debe ingresar en Circunferencia C1 los valores en el siguiente orden:
radio= 4.47
x = 4
y = -2

Puede hacer clic en el Botón Graficar y observarás la circunferencia , y si deseas puedes cambiar el valor de la escala y volver a hacer clic en graficar para observar como se adapta al plano de trabajo.

Ahora para la recta se ingresan los dos puntos de pasos por ejemplo, cuando x=0, y=-10 y cuando x=2, y=0

Se vuelve a hacer clic en el Botón Graficar y en las casillas de abajo tendrás los valores de los puntos de intersección y la graficación correspondiente.

Propiedades de las Raices de una Ecuación Cuadratica

CÁLCULO Y PROPIEDADES DE LAS RAÍCES EN UNA ECUACIÓN DE 2° GRADO

Fórmula General de la Resolvente

PARTE II: Hola, ¿seguimos sufriendo? …. (VER PARTE I)

Hemos visto la resolución de ecuaciones cuyo coeficiente del término cuadrático es 1, y ahora veremos cómo hacerlo en las que no lo tienen igual a 1.

ECUACIÓN GENERAL

Sea $ax^{2}+bx+c=0$ con $a$ distinto de 1.

Acudiremos al socorrido truco de dividir ambos miembros de la igualdad por el mismo número $a.$De este modo, obtendremos una NUEVA IGUALDAD, distinta de la anterior, pero que constituye una ecuación EQUIVALENTE a la anterior, es decir, con raíces iguales a las de aquella. (Más adelante, probaremos esta afirmación).

Procederemos:

MATH se convertirá en MATH donde $\frac{a}{a}=1$ $\ \ $y MATH $,$así que será MATH

Si ahora aplicamos la «resolvente» (como le dicen los más confianzudos a la fórmula que aprendimos antes), reemplazando

$b$ por $\frac{b}{a}$ y $c$ por $\frac{c}{a}$, nos quedará: MATH (AB)

donde la expresión subradical quedará MATH y, entonces, será

MATH (A) y MATH (B)

Si queremos simplificarnos la vida, podemos efectuar la trasformación de los coeficientes antes de aplicar la fórmula, como en este ejemplo, donde:

MATH , dividida en ambos miembros por 3, quedaría

MATH que, resuelta como antes aprendimos, daría

MATH , es decir MATH , o sea $x_{1}=1$

y MATH , es decir MATH , o sea $x_{2}=-3$

Para estar seguros, reemplazamos la $x$ con estos valores en la ecuación original.

¿Es MATH? Sííí. ¿Y también MATH? Sííí. (¡Qué alivio!)

O bien, podemos buscar una nueva versión de la fórmula para ecuaciones de 2º grado ( recordemos que este nombre implica sí o sí que $a$ es distinto de $0$, porque de no serlo no habría término cuadrático, y la ecuación NO sería de 2º grado) que sirva cuando $a$ es distinto de $1.$

Veamos: Si tomamos (AA), y desarrollamos, tendremos MATH

MATH MATH ,

y extrayendo denominador común $a$ en el numerador y pasándolo al denominador, queda MATH

Fórmula que, ahora sí, puede aplicarse a todos los casos de resolución.

Veamos: si $a=1,$ queda la fórmula (AB), que ya estudiamos.

Retomando el caso 2.1 del capítulo anterior, si $\ a$ es distinta o no de $1,$ y $b=0$, la fórmula queda como MATH y esto es lo mismo que MATH que es lo mismo que MATH que es lo mismo que habíamos hallado en el punto 2.1 del capítulo anterior.

Retomemos, ahora, el caso 2.2 del capítulo anterior. Si $a$ es distinto o no de $1,$ y $\ c=0,$ aplicando la resolvente será

MATH que es MATH , que es MATH

o sea $x_{1}=\frac{o}{2a}$, que es $x_{1}=0$;

y MATH o sea MATH entonces $x_{2}=-\frac{b}{a}$. Que, (¿casualmente?), para el caso de $a=1,$son las fórmulas a que habíamos llegado antes.

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE SEGUNDO GRADO

¿Recuerdan lo que dijimos antes sobre una ecuación expresada como $\ (x-p)(x-q)=0$ ?

En primer lugar, multiplicando los dos factores obtendremos una ecuación de segundo grado,

porque $x^{2}$ $-px-xq+pq=0$ puede expresarse como $x^{2}$ $-(p+q)x+pq=0$ donde podemos asimilar $\ a=1,$ $-(p+q)=b,\ $y $\ pq=c$ (C)

Si observamos el primer miembro antes de convertirlo en un polinomio, podemos ver que si $x=p,$ el primer factor es $=0,$ y el producto es $=0.$

También si hacemos $x=q$ el segundo factor dará $=0$ y por lo tanto el producto dará $=0.$

¡ Pero eso quiere decir que $p$ y $q$ son raíces de la ecuación?????!!!!!!! Y, sí, es así. Y esto nos lleva a varias conclusiones interesantes y útiles.

1) Una ecuación de 2º grado, conocidas sus raíces $x_{1}$ y $x_{2},$ puede expresarse como MATH de lo cual se desprende que si no conocemos la forma de la ecuación, pero sí sus raíces, podemos reconstruirla (es decir, expresarla en forma polinómica).

Por supuesto que, de esta forma, siempre obtendremos ecuaciones reducidas, porque si los coeficientes de $x$ son $1$, el de $x^{2}$ también será $=1.$

Pero, podemos obtener infinitas ecuaciones de 2º grado, equivalentes a éstas, sólo con multiplicar ambos miembros de la forma factoreada, por cualquier número real.

Por ejemplo, en $(x-3)(x+4)=0$ se ve enseguida que $3\ \ $y$\ \ \ -4$ son las raíces, y la forma polinómica sería $x^{2}+x-12=0$ (D) (¿por qué?)

Pero, si multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 5, la nueva ecuación $5(x-3)(x+4)=0.(5)$ será equivalente a la anterior, porque $3$ y $\ -5$ siguen siendo las raíces, y la forma polinómica ahora será

$5(x^{2}+x-12)=0,$ o sea, $5x^{2}+5x-60=0.$

Y así sucederá con cualquier número real por el cual multipliquemos la ecuación reducida.

Ya vimos que si tenemos una ecuación NO REDUCIDA, podemos llegar a la reducida equivalente, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de $x^{2}. $

2) Vimos en (C) que , si $\ x_{1}=p$ y $\ x_{2}$ $=q$ eran las raíces de la forma reducida, entonces, como $a=1,$ $-(p+q)=b,\ $y $\ pq=c$ , podemos

reconstruir la forma polinómica de la ecuación como MATH

Es decir, que la suma de las raíces, con signo opuesto, es igual al coeficiente del término lineal. O sea $-(x_{1}+x_{2})=b$

Y el producto de las raíces, es el término independiente. O sea, $x_{1}.x_{2}=c$ .

Podemos verificar que esto se cumple en (D)
$-[3+(-4)]=-(-1)$ $\ \ $, entonces $b=1$ . Y $[3(-4)]=-12$, entonces $c=-12$. ¿Y? ¿Qué me cuentan?

Pasemos ahora a un tema complejo:

RAICES REALES Y RAICES COMPLEJAS

Si la ecuación es como las que vimos antes, las raíces son números reales, pero si son como, por ejemplo,

$x^{2}+2x+5=0,$ al aplicar la fórmula resolvente tendremos MATH que da MATH

«Pero, ¿qué es esto, Dios mío? ¿Raiz cuadrada de número negativo? ¡Si eso no existe!», dirán algunos. Bueno, no es para tanto. No existe en el conjunto de los números reales, pero para algo se inventaron los números imaginarios, que, asociados con los reales, constituyen los números complejos.

Veamos: Yo sé resolver $\sqrt{16},$ que hasta da raiz exacta y todo, pero, MATH

Probemos con alguno de los truquitos de los matemáticos. Todos sabemos que es perfectamente legal decir que

MATH y, como la buena de doña Propiedad Distributiva de La Radicación Con Respeto A La Multiplicación nos lo permite, decimos con toda tranquilidad de conciencia que

MATH o sea MATH .

Con lo cual hemos solucionado la mitad del problema. Pero, ¿qué cosa exótica es ese $\sqrt{(-1)}?$. Pues es $i,$ la unidad imaginaria que fue inventada justamente para estas situaciones críticas.

Esta unidad no se define como $i=\sqrt{-1}$ sino como el valor que cumple $i^{2}=-1.$ Pero, en la práctica, sirve justamente para operar con $\sqrt{-1}$reemplazándolo cuando aparece para fastidiar. Por otro lado, observemos que ($\sqrt{-1})^{2}=-1$, así que no es incorrecto hacer esa sustitución.

Visto todo lo cual, volvemos a nuestra ecuación, donde las raíces serán

MATH o sea $x_{1}=-1+2i$ , y

MATH o sea $x_{2}=-1-2i$

Si miramos fijamente a los dos valores obtenidos para las raíces, veremos que son casi iguales, salvo por el signo de los términos que contienen a $i.$

Son números complejos, porque constan de una parte real :$\ -1$, y una parte imaginaria: $+2i$ uno, y el otro $-2i$ . Son lo que se llama, dos números complejos conjugados, es decir que tienen las partes reales iguales, y las partes imaginarias opuestas (de igual valor numérico y distinto signo).

Y siempre que una ecuación tenga raíces complejas, serán números complejos conjugados, porque la parte real es igual y la imaginaria proviene de raices iguales, pero precedidas por distinto signo.

Reemplacemos ahora, en la ecuación en cuestión, a $x$ por los valores hallados, para comprobar que estas raíces son las correctas (es decir, comprobaremos que realmente es una igualdad). Mientras no lo demostremos, lo escribiremos como pregunta

MATH $\ ?,$ Podemos pensar el primer miembro como MATH , donde los términos en $\ i$ se anulan mutuamente, y reemplazamos $i^{2}$ por $-1.$

Será, entonces, $4(-1)+4=0$ . Así que para la primera raiz, ya estamos cumplidos.

Para la segunda, reemplazamos y resolvemos MATH o sea

MATH (después de desarrollar el cuadrado del binomio) donde también se anulan los términos con $i, $ y es MATH

O sea, $1-4+3=0,$ que es lo que queríamos comprobar, también para la segunda raiz.

¿Y qué generalización podríamos extraer de esto? Podríamos observar que esta situación se da cuando la expresión subradical es negativa, es decir $b^{2}-4ac$ es menor que 0, es decir que $b^{2}$ es menor que $4ac.$

Entonces, sólo con ver la forma de la ecuación estaremos en condiciones de predecir si las raíces serán complejas o reales.

En nuestro ejemplo, se ve enseguida que $2^{2}=4$ es menor que $\ 4.5=20$ .

Y, para terminar, por hoy, les dejo unas cuantas ecuaciones para resolver, con sus respectivas soluciones, para mirar DESPUES de resolverlas, no antes. También les propongo un problema que se resuelve utilizando ecuaciones.

Aquí van:

Hallar las raíces de : 1) MATH MATH

2) $\frac{1}{3}$ MATH $(2;-4)$

3) $x^{2}=-3,7x$ $(0;-3,7)$

4) $-3 $ $x^{2}=-9$ $(\pm \sqrt{3})$

5) $x^{2}-16x+68=0$ $(8\pm 2i)$

Problema: Un móvil parte de A con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sale con una velocidad de 3 $\frac{m}{s}$ y al cabo de 10 segundos su velocidad es de 7$\frac{m}{s}.$¿Qué tiempo deberá trascurrir para que recorra 18900 m desde su punto de partida? (Solución: 5 minutos)

(Algunas aclaraciones:

1) la fórmula para calcular la distancia en un movimiento de este tipo es MATH donde $v_{0}$ es la velocidad inicial, $a$ es la aceleración, y $t$ el tiempo,

2) la aceleración es el incremento de la velocidad dividido por el tiempo que duró ese incremento, y

3) en los problemas de física, sólo se tendrá en cuenta el valor positivo entre los hallados como solución.)

Bien, hasta la vista, amigos.

Las propiedades de las raíces de una ecuación de 2º grado

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Interseccion de Dos Circunferencias Calculadora Online

Calculadora Online de Intersección de Cónicas Entre Dos Circunferencias

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CIRCUNFERENCIA: Un circunferencia está formada por una sucesión de puntos que están a la misma distancia de un punto que se llama centro. Existen muchas partes en un círculo.  El radio es un segmento con un extremo en el centro y el otro en el círculo. La cuerda es cualquier segmento con ambos extremos en el círculo. El diámetro es una cuerda que pasa por el centro del círculo.

La secante es una línea que interseca dos veces el círculo, y la tangente interseca el círculo en exactamente un solo punto. La tangente es perpendicular al radio en su punto de tangencia. El perímetro de un círculo se llama circunferencia y es igual a la distancia alrededor del círculo.

La figura de abajo muestra unas cuantas partes más del círculo que se emplearán posteriormente.

El ángulo central es un ángulo con el vértice en el centro del círculo. El arco es una sección de un círculo y a menudo se le describe en términos del tamaño de su ángulo central. Entonces, podríamos referirnos a un arco de 20° o un arco de Pi/9 rad. (Pi=3.14)  Aclaramos que 1 rad=57° 18´ aprox. y es el ángulo correspondiente para que la longitud del arco sea igual al radio.

Un arco de longitud igual al radio es 1 rad. Un ángulo central divide el círculo en un arco menor y un arco mayor. También nos podemos referir a un arco por sus puntos extremos. En la figura, el arco menor se identifica como AB.

El arco mayor se identifica como ABC, donde A y B son los puntos extremos y C es cualquier otro punto sobre el arco mayor. La longitud de un arco se denota colocando una m enfrente del nombre del arco. Entonces, mAB es la longitud de AB. Un sector es la región en el interior del círculo y está limitado por un ángulo central y un arco.