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Fórmula del Vértice de una Parábola Cuadrática Ejemplo Online
La función general de segundo grado y = ax² + bx+c representa gráficamente en el plano cartesiano una parábola.
Asignando valores reales a la variable independiente x para obtener los valores de la variable dependiente y, podemos graficar sobre un par de ejes coordenados la curca parabólica.
Por Ejemplo: — Elaborar el gráfico de la función: y = x² — 2 x — 2.
En donde según la fórmula general, los coefecientes son: a=1, b=-2 , c=-2
Se elabora la siguiente tabla:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
13
6
1
-2
-3
-2
1
LLevando estos puntos a plano cartesiano, se tiene la siguiente curva:
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Este ejercicio consiste en distribuir 32 fichas de colores (8 amarillas,8 verdes,8 azules y 8 naranjas), en los pares de círculos blancos, de tal manera que cada par tenga una combinación distinta a los demás. Tenga en cuenta que una combinación verde-azul es distinta de azul-verde. No tiene la solución porque es fácil ir probando.
Los cuerpos geométricos tridimensionales o simplemente cuerpos ocupan siempre un espacio. La medida de ese espacio recibe el nombre de volumen.
Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.
Esta jarra es un cuerpo de forma cilindrica, y es hueco, entonces se habla de capacidad de la jarra, es decir, cuanto líquido puede contener en su interior. Con la fórmula del volumen del cilindo podemos obtener la capacidad de este envase.
Veams ahora las fórmulas mas utilizadas en nuestra vida diaria….
1-Fórmula Volumen de un Cubo
2-Fórmula Volumen de un Paralelepípedo
3-Fórmula Volumen de un Cilindro
4-Fórmula Volumen de una Esfera
5-Fórmula Volumen de un Cono
6-Fórmula Volumen de un Toro
7-Fórmula Volumen de una Pirámide
8-Fórmula Volumen de un Casquete Esférico
9-Fórmula Volumen de un Prisma
10-Fórmula Volumen de un Elipsoide de Revolución
Son cuerpos de revolución aquellos cuerpos tridimensionales (tres dimensiones) que se obtienen al hacer girar una figura plana 360″ alrededor de un eje que puede ser uno de sus lados o no.
Por ejemplo, si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados obtenemos uncilindro; si hacemos girar un triángulo alrededor de uno de sus lados, obtenemos un cono; y si hacemos girar una semicírculo alrededor de su diámetro, obtenemos una esfera.
En cambio, si hacemos girar un círculo alrededor de un eje, que se encuentra en el mismo plano que el círculo, exterior a él, la figura que obtendremos es la de un toro (un ejemplo es la figura de un «donut» (figura abajo)
Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son, por tanto, objetos tridimensionales limitados por una o varias superficies.
Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Los antiguos griegos conocían la existencia de cinco poliedros regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras.
Teeteto fue probablemente el autor de la primera construcción teórica rigurosa de dichos poliedros como cuerpos inscritos en una esfera, construcción con la que culminaban los Elementos de Euclides, donde aparece asimismo, como colofón de la obra, la demostración de que sólo pueden existir cinco de ellos.
Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono, que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvadas; son los llamados cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención preferente y cuyas superficies y volúmenes estaban ya recogidos en la obra de Euclides.
Vivimos en un mundo tridimensional. La mayoría de los objetos con los que trabajamos pueden caracterizarse como sólidos tridimensionales.
Todos los cuerpos geométricos tridimensionales, es decir, que tienen un alto, un ancho y una profundidad, ocupan un espacio. La medida del espacio que ocupan dichos cuerpos tridimensionales recibe el nombre genérico de volumen del cuerpo.
El volumen de los cuerpos es aditivo, en la medida en que, si juntamos varios cuerpos de volúmenes V1 ,V2 ,V3 ,el volumen total ocupado por todos ellos es V = V1 + V2 + V3 + …
Para calcular el volumen de los cuerpos geométricos aprovechamos su forma geométrica, de manera que dividimos el cuerpo en otros cuerpos geométricos más sencillos (cubos, prismas, esferas, etc.) de los cuales conocemos las expresiones matemáticas de sus volúmenes y luego aplicamos la propiedad aditiva del volumen para calcular el volumen total del cuerpo original.
Aunque el volumen de un cuerpo se calcula aprovechando su geometría, esto no quiere decir que los cuerpos que tienen el mismo volumen hayan de tener la misma geometría. Por ejemplo, un cubo y una esfera pueden tener el mismo volumen si elegimos de una forma concreta la arista del primero y el radio del segundo.
La unidad fundamental para el volumen en el Sistema Internacional de unidades (si) es el metro cúbico (m³).
Un metro cúbico corresponde al volumen que ocupa un cubo de arista a 1 m.
Por tanto, resulta que cada unidad de volumen equivale a 1000 unidades del orden inmediatamente inferior (por ejemplo, 1 dm³ = = 1.000 cm³), y que cada 1.000 unidades de un orden equivalen a una unidad del orden inmediatamente superior (por ejemplo, 1.000 hm³ = 1 km³).
FORMULAS DE LOS VOLUMENES MAS COMUNES
► CILINDRO:
Un cilindro es un sólido cuyos extremos, o bases, son figuras planas paralelas congruentes dispuestas de tal modo que los segmentos que unen los puntos correspondientes en las bases son paralelos. Estos segmentos se llaman elementos.
En el primer cilindro de la figura de abajo AA’. BE’ y CC’ son elementos del cilindro. Un cilindro circular es aquel en el que ambas bases son círculos.
El cilindro circular recto es el tipo más común de cilindro y se forma cuando las bases son perpendiculares a los elementos. La altura o altitud de un cilindro es un segmento perpendicular a ambas bases.
► PRISMAS:
Como se muestra en la figura de abajo un prisma es un sólido con extremos, o bases, que son polígonos paralelos congruentes con lados llamados caras (o caras laterales) y que constituyen paralelogramos.
Los segmentos que forman las intersecciones de las caras laterales se llaman aristas laterales.
La altura, o altitud, de un prisma es la distancia entre las bases. Un prisma rectangular tiene sus bases perpendiculares a las aristas laterales; por lo tanto, sus caras son rectángulos.
Los prismas reciben sus nombres de las bases. Si las bases son polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.
El prisma triangular tiene triángulos por bases y el prisma rectangular tiene rectángulos por bases. Los prismas más comunes son los prismas rectangulares rectos, que se llaman paralelepípedos rectangulares, y el prisma cuadrado recto, más conocido como cubo.
Existen dos clases de áreas que suelen asociarse con cualquier figura sólida. El área lateral es la suma de las áreas de todos los lados.
El área superficial total es el área lateral más el área de las bases.
A causa de que la superficie lateral de un prisma recto o de un cilindro recto puede desdoblarse para formar un paralelogramo si se le corta a lo largo de un elemento, el área lateral L se halla multiplicando el perímetro o la circunferencia de la base por la altura. El volumen de un cilindro de un prisma es el área de la base B por la altura.
Área lateral, área superficial y volumen de un cilindro o prisma
El área lateral, el área superficial total y el volumen de un cilindro o de un prima están dados por las siguientes fórmulas:
Sólido
Área Lateral
Superficie Lateral Total
Volumen
L
T
V
Prisma
p.h
ph + 2B
Bh
Cilindro
2¶rh
2¶r (r+h)
¶r2h
donde p es el perímetro de una de las bases del prisma, h es la altura, r es el radio de una de las bases del cilindro y B es el área de una base.
►Conos:
Un cono se forma trazando segmentos desde una figura plana, la base, hasta un punto llamado vértice. El vértice no puede estar en el mismo plano que la base.
La altura es un segmento que parte del vértice y es perpendicular a la base.
Los conos más comunes son el cono circular y el cono circular recto. Ambos tienen como base un círculo.
En un cono circular recto, la altura interseca la base en su centro. La altura oblicua de un cono circular recto es un segmento que va del vértice a un punto de la circunferencia de la base.
Al cortar un cono por diversos planos se obtienen distintas curvas geométricas según este plano corte una o ambas hojas de la superficie de revolución:
Circunferencia, si el plano es paralelo a la base y corta a todas las generatrices.
Elipse si no es paralelo a la base y corta todas las generatrices.
Parábola si es paralelo a una generatriz, pero no corta a las dos superficies de revolución.
Hipérbola si corta a las dos superficies de revolución y es paralelo a una sola generatriz.
El cono es una figura muy popular. Son cónicas las puntas de un alfiler, un lápiz muy puntiagudo, los cuernos de un toro, los minaretes de Santa Sofía, y se llaman «coniferas» a un grupo de plantas que adoptan el aspecto de un cono (abetos, sequoias, etc.).
Su tronco es un cono perfecto. En el diferencial de un automóvil los engranajes tienen forma de tronco de cono y también lo encontramos en las macetas de un jardín, en los feces turcos, en la muela de molino, etc.
► Pirámides:
La pirámide es un tipo especial de cono cuya base es un polígono. En la figura se muestra una pirámide típica y algunas de sus partes.
Cada lado de una pirámide es un triángulo denominado cara lateral. Las caras laterales se encuentran en las aristas laterales.
Como en el caso de los prismas, las pirámides se clasifican de acuerdo con la forma de su base. La pirámide regular tiene como base un polígono regular y una altura que es perpendicular a la base en su centro.
La altura oblicua de una pirámide regular es la altura de cualquiera de las caras laterales.
El volumen V de un cono o de una pirámide es un tercio del área de la base B por la altura h, o sea V=1/3Bh. Para las áreas laterales sólo consideraremos las de los conos circulares rectos y de las pirámides regulares.
El área lateral L es la mitad de la altura oblicua s por el perímetro o la circunferencia de la base. El área superficial total es el área lateral más el área de la base.
►La Esfera:
Es un poliedro de infinito número de caras, o bien la superficie engendrada por una circunferencia que gira alrededor de un diámetro.
Las secciones planas o planos que cortan la esfera perpendicularmente a un diámetro dan siempre círculos o circunferencias, según se considere la superficie esférica o la esfera, es decir, el espacio y el volumen abarcado por la primera.
El diámetro generatriz determina dos polos.
El plano perpendicular al centro de la generatriz origina una circunferencia máxima o ecuador.
Si cortamos la superficie esférica por medio de planos paralelos a este ecuador, obtendremos circunferencias cada vez de menor radio hasta que éste será cero.
Entonces el plano se habrá convertido en tangente a la esfera en el punto citado. Todos estos círculos se llaman menores y su radio es tanto menor cuanto mayor sea la distancia del plano al centro de la esfera.
Si dos círculos tienen el mismo radio, su alejamiento del centro de la esfera es el mismo.
Una circunferencia es una línea que determinan 3 puntos, pues solamente por 3 puntos no situados en línea recta puede pasar una circunferencia.
Una esfera necesita 4 puntos no situados en el mismo plano ni 3 de ellos en línea recta para determinar una única esfera.
La condición de estar en un mismo plano no puede aplicarse a una circunferencia porque 3 puntos ya determinan un plano; en cambio, 4 que estén en un mismo plano, no pueden determinar una esfera.
Áreas en la esfera: Prescindimos de las demostraciones, que serían excesivamente largas, y nos limitamos a considerar las siguientes superficies que se pueden originar en la esfera:
Zona esférica es la superficie comprendida entre dos planos paralelos, sea este un círculo máximo o no. Su área es igual al producto de una circunferencia máxima por la altura de la zona: (ver figura abajo)
Área zona esférica = 2.¶.R.h
h: es la distancia entre circunferencias del casquete o la altura del casquete R: radio de la circunferencia máxima
Esta fórmula es igual que la obtenida para el cilindro, es decir, el área de una zona esférica es igual que la de un cilindro de base igual al círculo máximo de la zona, y de altura idéntica a la misma.
Casquete esférico es una zona cuya base superior es un punto. Por tanto, su área vale igual que la de una zona: 2.¶.r.h
r: radio del casquete
Área de la superficie esférica. Es el área total de la esfera es: A= 4.¶.R²
► El Planeta Tierra, Casi Un Esfera
LA ESFERA QUE HABITAMOS: Nuestro planeta Tierra no es exactamente una esfera pues el radio ecuatorial es algo mayor que el polar. El primero mide 6.378.388 m, y el segundo 6.356.912 m.
El achatamiento es de unos 21 km, cifra insignificante si se tiene en cuenta que el ecuador mide 40.076.594 m.
Conociendo el radio es fácil calcular la superficie terrestre, que es de 510.101.934 km2. El volumen de nuestra esfera alcanza una cifra impresionante: 1.083.319.780.000 km3. Se calcula, aproximadamente, que el peso tota! de la Tierra es superior a 5.977 trillones de toneladas.
NOMBRE DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
FORMULA VOLUMEN CUERPO: CUBO
FORMULA VOLUMEN CUERPO:PARALELEPIPEDO
FORMULA VOLUMEN CUERPO:PRISMA
FORMULA VOLUMEN CUERPO:PIRAMIDE
FORMULA VOLUMEN CUERPO:CONO
FORMULA VOLUMEN CUERPO:ESFERA
FORMULA VOLUMEN CUERPO:CILINDRO
Veamos un ejemplo:
Calcular el volumen de un tanque de base circular cuyo radio es de 3,4 m. y su altura es de 1,2m….Si la base es circular, sabemos que es un cilindro, por lo tanto el calculo se reduce a buscar la fórmula del volumen de un cilindro, que es la siguiente:
Un polígono es una figura en el plano que está formado por tres o mas segmentos rectilíneos, llamados lados, unidos en sus extremos.
Los extremos se llaman vértices. En esta página el cálculo está orientado a los triángulos acutángulo y obtusángulos, cuya definición puede verla mas abajo.
Un triángulo es un polígono que tiene exactamente tres lados.
Los triángulos se denominan de acuerdo con una propiedad de sus lados o de sus ángulos.
Cuando se les clasifica de acuerdo con sus lados, un triángulo es escaleno si ninguno de sus lados es de la misma longitud, isósceles si dos lados son de la misma longitud y equilátero si los tres lados son de la misma longitud.
Cuando los lados son de la misma longitud, se emplean marcas sencillas, dobles o triples para mostrar cuáles lados son congruentes.
Resumiendo, llamamos triángulo al polígono que consta de tres lados y de tres ángulos.
Según sus lados, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: cuando tiene sus tres lados iguales. Isósceles: cuando tiene dos lados iguales y uno desigual, que se llama base. Escaleno: cuando tiene sus tres lados desiguales.
Según sus ángulos, se clasifican en:
Rectángulo: cuando tiene un ángulo recto. Acutángulo: cuando tiene sus tres ángulos agudos. Obtusangulo: cuando tiene un ángulo obtuso.
Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos, un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso y un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.
En un triángulo equilátero los tres ángulos son congruentes.
En un triángulo isósceles los ángulos que se oponen a los lados congruentes son congruentes.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, o n rad.
Puesto que los tres ángulos de un ángulo equilátero son congruentes, el tamaño de cada ángulo debe ser 180°/3=60° o bien Pi/3 rad.
Puesto que un ángulo recto tiene 90°, un triángulo rectángulo debe tener dos ángulos agudos, porque los otros dos ángulos, cuando se les suma, pueden tener únicamente un total de 90°.
Esto significa que cada uno de los ángulos debe ser menor que 90°. De manera similar, un triángulo obtusángulo debe tener dos ángulos agudos.
Un segmento trazado de un vértice al centro (o punto medio) del lado opuesto se llama mediana. Si trazamos las tres medianas de un triángulo, todas se encuentran en un punto común, G, llamado centroide, como se muestra en la figura El centroideG es el centro de gravedad de un triángulo.
►ÁREA DEL TRIÁNGULO
Un segmento trazado desde un vértice y perpendicular al lado opuesto es la altura de un triángulo.
El lado opuesto se llama base. AL resolver ciertos problemas, a veces es necesario extender la base para que interseque la altura.
El área de un triángulo se halla mediante el producto de y las longitudes de la base y la altura. Si b es la longitud de la base y h la longitud de la altura, entonce? el área A está dada por la fórmula: A= (b.h)/2
Si la base y la altura están en las mismas unidades, entonces el área está en es unidad al cuadrado.
A veces la longitud de la altura no se conoce.
Es posible hallar el área empleado la fórmula de Heron, llamada también fórmula de Herón.
En lugar de la altura. necesitaremos las longitudes de los tres lados y el semiperímetro.
Si hacemos que a, b y c representen las longitudes de los lados, entonces el semiperímetro, se halla usando la fórmula s=(a+b+c)/2 Podemos hallar el área partiendo de fórmula Heron:
► EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
Uno de los teoremas más valiosos en la geometría comprende al triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos.
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo recto. Si las longitudes de los dos catetos son a y b y la longitud de la hipotenusa es c, entonces el teorema de Pitágoras se enuncia como sigue:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
El perímetro de un triángulo cualquiera es igual a la suma de sus tres lados, ósea:P = a + b+ c.
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Un polígono es una figura en el plano que está formado por tres o mas segmentos rectilíneos, llamados lados, unidos en sus extremos.
Los extremos se llaman vértices.
En esta página el cálculo está orientado a los triángulos rectángulos, es decir aquellos que tienen un ángulo recto (90°).
Un triángulo es un polígono que tiene exactamente tres lados.
Los triángulos se denominan de acuerdo con una propiedad de sus lados o de sus ángulos.
Cuando se les clasifica de acuerdo con sus lados, un triángulo es escaleno si ninguno de sus lados es de la misma longitud, isósceles si dos lados son de la misma longitud y equilátero si los tres lados son de la misma longitud.
Cuando los lados son de la misma longitud, se emplean marcas sencillas, dobles o triples para mostrar cuáles lados son congruentes.
Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos, un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso y un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.
En un triángulo equilátero los tres ángulos son congruentes. En un triángulo isósceles los ángulos que se oponen a los lados congruentes son congruentes.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, o n rad.
Puesto que los tres ángulos de un ángulo equilátero son congruentes, el tamaño de cada ángulo debe ser 180°/3=60° o bien Pi/3 rad.
Puesto que un ángulo recto tiene 90°, un triángulo rectángulo debe tener dos ángulos agudos, porque los otros dos ángulos, cuando se les suma, pueden tener únicamente un total de 90°.
Esto significa que cada uno de los ángulos debe ser menor que 90°. De manera similar, un triángulo obtusángulo debe tener dos ángulos agudos.
Un segmento trazado de un vértice al centro (o punto medio) del lado opuesto se llama mediana.
Si trazamos las tres medianas de un triángulo, todas se encuentran en un punto común, G, llamado centroide o centro de masa, como se muestra en la figura El centroide G es el centro de gravedad de un triángulo.
PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO
Un segmento trazado desde un vértice y perpendicular al lado opuesto es la altura de un triángulo. El lado opuesto se llama base.
Al resolver ciertos problemas, a veces es necesario extender la base para que interseque la altura.
El área de un triángulo se halla mediante el producto de y las longitudes de la base y la altura. Si b es la longitud de la base y h la longitud de la altura, entonce? el área A está dada por la fórmula: A= (b.h)/2
Si la base y la altura están en las mismas unidades, entonces el área está en es unidad al cuadrado.
A veces la longitud de la altura no se conoce. Es posible hallar el área empleado la fórmula de Heron, llamada también fórmula de Herón. En lugar de la altura. necesitaremos las longitudes de los tres lados y el semiperímetro.
Si hacemos que a, b y c representen las longitudes de los lados, entonces el semiperímetro, se halla usando la fórmula s=(a+b+c)/2. Podemos hallar el área partiendo de la fórmula Heron:
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
Uno de los teoremas más valiosos en la geometría comprende al triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos.
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo recto. Si las longitudes de los dos catetos son a y b y la longitud de la hipotenusa es c, entonces el teorema de Pitágoras se enuncia como sigue:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
El perímetro de un triángulo cualquiera es igual a la suma de sus tres lados, ósea: P = a + b+ c
Hemos visto la resolución de ecuaciones cuyo coeficiente del término cuadrático es 1, y ahora veremos cómo hacerlo en las que no lo tienen igual a 1.
ECUACIÓN GENERAL
Sea con distinto de 1.
Acudiremos al socorrido truco de dividir ambos miembros de la igualdad por el mismo número De este modo, obtendremos una NUEVA IGUALDAD, distinta de la anterior, pero que constituye una ecuación EQUIVALENTE a la anterior, es decir, con raíces iguales a las de aquella. (Más adelante, probaremos esta afirmación).
Procederemos:
se convertirá en donde y así que será
Si ahora aplicamos la «resolvente» (como le dicen los más confianzudos a la fórmula que aprendimos antes), reemplazando
por y por , nos quedará: (AB)
donde la expresión subradical quedará y, entonces, será
(A) y (B)
Si queremos simplificarnos la vida, podemos efectuar la trasformación de los coeficientes antes de aplicar la fórmula, como en este ejemplo, donde:
, dividida en ambos miembros por 3, quedaría
que, resuelta como antes aprendimos, daría
, es decir , o sea
y , es decir , o sea
Para estar seguros, reemplazamos la con estos valores en la ecuación original.
¿Es ? Sííí. ¿Y también ? Sííí. (¡Qué alivio!)
O bien, podemos buscar una nueva versión de la fórmula para ecuaciones de 2º grado ( recordemos que este nombre implica sí o sí que es distinto de , porque de no serlo no habría término cuadrático, y la ecuación NO sería de 2º grado) que sirva cuando es distinto de
Veamos: Si tomamos (AA), y desarrollamos, tendremos
,
y extrayendo denominador común en el numerador y pasándolo al denominador, queda
Fórmula que, ahora sí, puede aplicarse a todos los casos de resolución.
Veamos: si queda la fórmula (AB), que ya estudiamos.
Retomando el caso 2.1 del capítulo anterior, si es distinta o no de y , la fórmula queda como y esto es lo mismo que que es lo mismo que que es lo mismo que habíamos hallado en el punto 2.1 del capítulo anterior.
Retomemos, ahora, el caso 2.2 del capítulo anterior. Si es distinto o no de y aplicando la resolvente será
que es , que es
o sea , que es ;
y o sea entonces . Que, (¿casualmente?), para el caso de son las fórmulas a que habíamos llegado antes.
PROPIEDADES DE LAS RAICES DE SEGUNDO GRADO
¿Recuerdan lo que dijimos antes sobre una ecuación expresada como ?
En primer lugar, multiplicando los dos factores obtendremos una ecuación de segundo grado,
porque puede expresarse como donde podemos asimilar y (C)
Si observamos el primer miembro antes de convertirlo en un polinomio, podemos ver que si el primer factor es y el producto es
También si hacemos el segundo factor dará y por lo tanto el producto dará
¡ Pero eso quiere decir que y son raíces de la ecuación?????!!!!!!! Y, sí, es así. Y esto nos lleva a varias conclusiones interesantes y útiles.
1) Una ecuación de 2º grado, conocidas sus raíces y puede expresarse como de lo cual se desprende que si no conocemos la forma de la ecuación, pero sí sus raíces, podemos reconstruirla (es decir, expresarla en forma polinómica).
Por supuesto que, de esta forma, siempre obtendremos ecuaciones reducidas, porque si los coeficientes de son , el de también será
Pero, podemos obtener infinitas ecuaciones de 2º grado, equivalentes a éstas, sólo con multiplicar ambos miembros de la forma factoreada, por cualquier número real.
Por ejemplo, en se ve enseguida que y son las raíces, y la forma polinómica sería (D) (¿por qué?)
Pero, si multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 5, la nueva ecuación será equivalente a la anterior, porque y siguen siendo las raíces, y la forma polinómica ahora será
o sea,
Y así sucederá con cualquier número real por el cual multipliquemos la ecuación reducida.
Ya vimos que si tenemos una ecuación NO REDUCIDA, podemos llegar a la reducida equivalente, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de
2) Vimos en (C) que , si y eran las raíces de la forma reducida, entonces, como y , podemos
reconstruir la forma polinómica de la ecuación como
Es decir, que la suma de las raíces, con signo opuesto, es igual al coeficiente del término lineal. O sea
Y el producto de las raíces, es el término independiente. O sea, .
Podemos verificar que esto se cumple en (D) , entonces . Y , entonces . ¿Y? ¿Qué me cuentan?
Pasemos ahora a un tema complejo:
RAICES REALES Y RAICES COMPLEJAS
Si la ecuación es como las que vimos antes, las raíces son números reales, pero si son como, por ejemplo,
al aplicar la fórmula resolvente tendremos que da
«Pero, ¿qué es esto, Dios mío? ¿Raiz cuadrada de número negativo? ¡Si eso no existe!», dirán algunos. Bueno, no es para tanto. No existe en el conjunto de los números reales, pero para algo se inventaron los números imaginarios, que, asociados con los reales, constituyen los números complejos.
Veamos: Yo sé resolver que hasta da raiz exacta y todo, pero, …
Probemos con alguno de los truquitos de los matemáticos. Todos sabemos que es perfectamente legal decir que
y, como la buena de doña Propiedad Distributiva de La Radicación Con Respeto A La Multiplicación nos lo permite, decimos con toda tranquilidad de conciencia que
o sea .
Con lo cual hemos solucionado la mitad del problema. Pero, ¿qué cosa exótica es ese . Pues es la unidad imaginaria que fue inventada justamente para estas situaciones críticas.
Esta unidad no se define como sino como el valor que cumple Pero, en la práctica, sirve justamente para operar con reemplazándolo cuando aparece para fastidiar. Por otro lado, observemos que (, así que no es incorrecto hacer esa sustitución.
Visto todo lo cual, volvemos a nuestra ecuación, donde las raíces serán
o sea , y
o sea
Si miramos fijamente a los dos valores obtenidos para las raíces, veremos que son casi iguales, salvo por el signo de los términos que contienen a
Son números complejos, porque constan de una parte real :, y una parte imaginaria: uno, y el otro . Son lo que se llama, dos números complejos conjugados, es decir que tienen las partes reales iguales, y las partes imaginarias opuestas (de igual valor numérico y distinto signo).
Y siempre que una ecuación tenga raíces complejas, serán números complejos conjugados, porque la parte real es igual y la imaginaria proviene de raices iguales, pero precedidas por distinto signo.
Reemplacemos ahora, en la ecuación en cuestión, a por los valores hallados, para comprobar que estas raíces son las correctas (es decir, comprobaremos que realmente es una igualdad). Mientras no lo demostremos, lo escribiremos como pregunta
Podemos pensar el primer miembro como , donde los términos en se anulan mutuamente, y reemplazamos por
Será, entonces, . Así que para la primera raiz, ya estamos cumplidos.
Para la segunda, reemplazamos y resolvemos o sea
(después de desarrollar el cuadrado del binomio) donde también se anulan los términos con y es
O sea, que es lo que queríamos comprobar, también para la segunda raiz.
¿Y qué generalización podríamos extraer de esto? Podríamos observar que esta situación se da cuando la expresión subradical es negativa, es decir es menor que 0, es decir que es menor que
Entonces, sólo con ver la forma de la ecuación estaremos en condiciones de predecir si las raíces serán complejas o reales.
En nuestro ejemplo, se ve enseguida que es menor que .
Y, para terminar, por hoy, les dejo unas cuantas ecuaciones para resolver, con sus respectivas soluciones, para mirar DESPUES de resolverlas, no antes. También les propongo un problema que se resuelve utilizando ecuaciones.
Aquí van:
Hallar las raíces de : 1)
2)
3)
4)
5)
Problema: Un móvil parte de A con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sale con una velocidad de 3 y al cabo de 10 segundos su velocidad es de 7¿Qué tiempo deberá trascurrir para que recorra 18900 m desde su punto de partida? (Solución: 5 minutos)
(Algunas aclaraciones:
1) la fórmula para calcular la distancia en un movimiento de este tipo es donde es la velocidad inicial, es la aceleración, y el tiempo,
2) la aceleración es el incremento de la velocidad dividido por el tiempo que duró ese incremento, y
3) en los problemas de física, sólo se tendrá en cuenta el valor positivo entre los hallados como solución.)
Bien, hasta la vista, amigos.
Las propiedades de las raíces de una ecuación de 2º grado.
«Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a [email protected] «
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