Sistema de Ecuaciones Lineales Online

Concepto de Probabilidad Matematica Resumen y Ejemplos Simples

Resumen Concepto de Probabilidad Matemática
Ejemplos Simples Para Principiantes

Los resultados de las acciones y acontecimientos no son siempre absolutamente predecibles. A menudo sabemos que sólo existe un espectro limitado de posibles resultados, pero no sabemos con certidumbre el resultado que cabe prever.La teoría de la probabilidad nos permite describir con rigor matemático la posibilidad de que una acción o acontecimiento tenga un resultado determinado. Es posible, no obstante, que nuestra elección sea errónea, pero al menos será una elección justificable.

Probabilidad y frecuencia: Cuando lanzamos una moneda al aire o echamos un dado, no podemos predecir la cara que caerá hacia arriba, siendo éste, al fin y al cabo, el motivo por el cual se lanza una moneda y se echan los dados.

Suponiendo que aceptamos la imparcialidad de la moneda y de la forma de lanzarla, sabemos que es tan probable que salga cara como cruz, y que no existe ningún otro resultado posible.

Así también, con un dado no trucado, es igualmente probable que caiga con cualquiera de los números, de 1 a 6, de cara hacia arriba, y no existe ningún otro resultado posible. Describimos estos ejemplos diciendo que todos los posibles resultados son equiprobables, y que la probabilidad a priori (es decir, la probabilidad teórica) de que una moneda salga cara es de 1 de 2 o 1/2, y la de sacar un 6 con un solo dado es de 1 de 6 o 1/6.

Por otro lado, la probabilidad empírica (que suele denominarse probabilidad a posteriori) se basa en la observación y el experimento. En este caso, la probabilidad de un resultado determinado se calcula a partir de la proporción de veces en que se ha observado antes bajo las mismas condiciones, es decir, su frecuencia relativa. Por consiguiente, si se lanza la moneda 10 veces y ésta cae en cara 3 veces, la probabilidad empírica de que uno de estos lanzamientos salga cara es de 3/10.

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La escala de probabilidades: Cuando un resultado es seguro, ocurre todas las veces: 1 de 1, 2 de 2, etc. Expresado como fracción, decimos que la probabilidad es de 1/1, es decir, uno. Cuando un resultado es imposible, no ocurre en ninguna ocasión en cualquier cantidad de ensayos, por lo que decimos que la probabilidad es de cero. Por ejemplo, cuando se echa un dado, la probabilidad de sacar un número mayor que 6 es de cero, y la probabilidad de sacar un número entre 1 y 6 es de uno.

Las probabilidades que yacen entre la certeza y la imposibilidad se expresan en fracciones. Así, por ejemplo, si sabemos que las 6 caras del dado son equiprobables, y que la probabilidad de sacar cualquiera de ellas es de 1, la probabilidad de cada una debe ser de 1/6. Es más, si consideramos únicamente dos posibles resultados, un número par o impar, la probabilidad de cada uno debe ser de 1/2.

El hecho de que existen tres resultados impares, cada cual con una probabilidad de 1/6, y que 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, demuestra, muy sencillamente, la ley del cálculo: se puede sumar las probabilidades individuales de los distintos resultados posibles en un ensayo determinado para conseguir la probabilidad combinada.

Sobre todo en el juego y las apuestas vemos que se utilizan las probabilidades como escala para medir el azar. La proporción de probabilidades, como se conoce más formalmente, significa la proporción de posibilidades favorables frente a las no favorables, y constituye otra forma de expresar la probabilidad.

Como hemos visto, la probabilidad de sacar, digamos, un 4 con un dado es de 1/6. Por consiguiente, la probabilidad de no sacar un 4 es de 5/6. El proporción de probabilidades se expresa, por tanto, de 1 a 5 para sacar un 4 (o de 5 a 1 en contra de sacar un 4).

juegos y probabilidad

Los juegos de cartas ofrecen muchas más combinaciones de posibilidades que lanzar una moneda o echar los dados. La posibilidades son impresionantes. Por ejemplo, las posibilidades en contra de repartir 13 cartas de un solo palo son de 158.753.389.899 a 1, mientras que las posibilidades de que un jugador determinado reciba una «mano perfecta» de 13 picas son de 653.013.559.599 a 1. La posibilidades en contra de que cuatro jugadores reciban un palo completo («una mano perfecta») son superiores a 2x 10 elevado a 27 a 1.

La ley de los grandes números: Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y que el resultado es de sólo 3 caras. La probabilidad de que salga cara es de 1/2, así que, ¿por que no sacamos 5 caras?.

Probamos un total de 100 lanzamientos de la moneda y el resultado será, digamos, de 40 caras, siendo las últimas 6 todas cara. Un jugador apostaría por la posibilidad de que el lanzamiento número 101 salga cruz, porque antes ha salido más veces cruz que cara. Otro jugador apostaría por cara, porque parece haber una «racha de caras», que estaría en consonancia con la deno minada «ley de promedios».

Sin embargo, sabemos que la probabilidad de cara o cruz en cualquier lanzamiento es de 1/2, y que una moneda es incapaz de recordar, por lo que no puede verse influida por lo que ha sucedido con anterioridad. Ambos apostadores se apoyan en la probabilidad empírica cuando lo que importa es la probabilidad teórica. Ambos, por tanto, apuestan en base a la esperanza.

No existe una «ley de promedios». La probabilidad experimental y teórica sólo se combinan a través de la ley de grandes números, que afirma que a medida que aumenta el número de ensayos, la probabilidad empírica observada se acerca catín vez más al valor teórico. Por consiguiente, en eslc ejemplo, sólo significa que, a muy largo plazo, la frecuencia relativa se establece en torno al 1/2.

Leyes de probabilidad: Si deseamos encontrar la probabilidad combinada de dos ensayos independientes, utilizamos la ley de la multiplicación.

Cuando echamos un par de dados, consideramos que se trata de dos ensayos independientes, porque el modo en que cae un dado no afecta al otro. Independientemente de lo que indique el primer dado, el segundo mostrará cualquiera de sus seis caras y el primero caerá de seis maneras.

Por lo tanto, hay 6 x 6 = 36 resultados posibles para el par ordenado. Puesto que son equiprobables, la probabilidad de un resultado determinado, digamos que un 1 con el primer dado y un 4 con el segundo, es de 1/36, que es 1/6 x 1/6.

Es decir, multiplicamos las probabilidades individuales para conseguir la probabilidad de un resultado ordenado determinado utilizando los dos dados. Puesto que hay seis formas de sacar un doble, la probabilidad de que salga el mismo número con los dos dados es de 6/36 = 1/6, mientras que la probabilidad de que salgan números diferentes es de 1 – 1/6 = 5/6.

Al echar un tercer dado, existen sólo cuatro caras disponibles que difieren de los de los dos primeros dados, de manera que la probabilidad de que esto dé lugar a un tercer número diferente es de 4/6. Así, la probabilidad de sacar tres números diferentes con tres dados es de 5/6 x 4/6. Al echar seis dados, la probabilidad de un resultado de seis números diferentes es de 5/6 x 4/6 x 3/6 x 2/6 x 1/6, que equivale a 5/324, o aproximadamente 0,015. Así, sólo cabe esperar este resultado una o dos veces por cada cien ensayos.

Sin embargo, si pretendemos especificar el orden de antemano (digamos, 1,2,3,4,5,6 o 6,4,2,5,3,1, por ejemplo), la probabilidad es de 1/6 para el primer lanzamiento, multiplicado por 1/6 para el segundo lanzamiento, y así sucesivamente. Con los seis dados, la probabilidad será, por lo tanto, de (1/6)6, que equivale a 1/46656, o aproximadamente 0,000021.

Por lo que cabe esperar este resultado sólo unas dos veces por cada 100.000 ensayos.

Es muy importante definir correctamente el problema antes de aplicar la ley del cálculo o de la multiplicación. De hecho, muchos problemas requieren ambas leyes. Supongamos, por ejemplo, que deseamos sacar un total de 8 con dos dados. Podría salir con un 6 y un 2, con un 5 y un 3, o con un 4 y un 4. Pero existen otras dos posibilidades: un 2 y un 6, y un 3 y un 5.

Es decir, hay dos formas de sacar un par de números distintos, de manera que la probabilidad de que uno de los dados muestre un 6 y el otro un 2 es de 2/36. Así también, para un 5 y 3. Pero sólo hay una forma de sacar un doble, de manera que la probabilidad de un 4 doble es sólo de 1/36. La probabilidad de un resultado de un total de 8 es la suma de estas probabilidades, es decir, de 5/36.

La toma de decisiones: A menudo nos vemos obligados a tomar decisiones basadas en unos conocimientos mínimos de las circunstancias probables. Un ejemplo sería un médico que tiene que elegir entre distintos tratamientos para un paciente apoyándose en pruebas experimentales relativamente escasas sobre su éxito. Otro ejemplo sería los directivos de una empresa que tienen que elegir entre distintas estrategias publicitarias basados en las afirmaciones de la competencia sobre la eficacia de los diferentes medios.

En estos casos, los responsables de la toma de decisiones necesitan formas de medir las estrategias enfrentadas. Una forma de hacerlo implica el cálculo del valor previsto.

Una forma sencilla de explicarlo es tomando la tabla de una liga de hockey o de fútbol, en la que se otorga 2 puntos para una victoria, 1 punto para un empate y 0 para una derrota. Supongamos que un equipo determinado de la liga decide, al principio de la temporada, que, basándose en todas las pruebas disponibles, la probabilidad de ganar un partido cualquiera es de 1/4 y de empatar es de 1/3. Por lo que la probabilidad de que pierda es de 1 -1/4 -1/3 = 5/12.

En una serie de 12 partidos, el equipo tendría previsto ganar 3, empatar 4 y perder 5. Los puntos que tendría previsto conseguir en 12 partidos serían (3 x 2) + (4 x 1) + (5 x 0) = 10 puntos. Por consiguiente, el promedio de puntos que cabe esperar en cada partido es de 10/12. Este es el valor previsto.

Calculando un valor previsto para cada tipo de acción a nuestro alcance, podemos elegir ei que tiene el mejor resultado probable. Sobre la base de un conocimiento parcial, tenemos la posibilidad de tomar una decisión racional, aunque no sea la que ofrece la mayor probabilidad (ver ejemplo en el recuadro).

COINCIDENCIA DE CUMPLEAÑOS: Supongamos que buscamos un par de personas que tengan el mismo cumpleaños.¿Cuál es el número de personas elegidas al azar, para el que exista una mayor posabilidad del que existan dos personas con el mismo cumpleaños?. Ya que teniendo en cuenta los años bisiestos, son 366 cumpleaños posibles, por lo que mucha gente se aventuraría a pensar que es 183, pero en realidad la respuesta es 23.

probabilidad matematica de cumpleaños

La posibilidad que la segunda persona no tenga la coincidencia de cumpleaños con la primera es 365/366.

La posibilidad que la tercera persona no tenga coincidencia es ahora:364/366, y por lo tanto la posibilidad que tres personas no compartan la coincidencia es igual a:365/366 x364/366. Si ampliamos para n personas, las posibilidad que todos tenga cumpleaños  distintos son, por tanto, de 365/366 x 364/366 x 363/366 x ….hasta n – 1 términos. Hemos de saber cuántos términos de esta secuencia necesitamos multiplicar antes de que su producto sea menos de 1/2. Es decir, antes de que haya un mínimo de posibilidades de que este número de personas no incluya a dos con el mismo cumpleaños.

Si hacemos el cálculo, descubrimos que la probabilidad de que 22 personas tengan distintos cumpleaños es de 0,5252, y para 23 personas es de 0,494. Por lo tanto, 23 es el número más bajo de personas para las que existe una mayor posibilidad de al menos un cumpleaños compartido. Por otro lado, necesitamos 367 para estar seguros de que dos de ellos tienen el mismo cumpleaños.

DECISIONES RACIONALES: Cuando se me estropea el coche, el mecánico me informa de que la causa se encuentra bien en la caja de cambios bien en el mecanismo de transmisión, con probabilidades de 3 a 2 de que el problema esté en la caja de cambios.

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El coste de reparar la caja de cambios será de 200 dólares y el mecanismo de transmisión de 150 dólares, incluyendo en ambos casos los gastos de desmontar y volver a montar. Sin embargo, si el componente que primero se examina no está dañado, el coste de desmontar y volver a montar es de 60 dólares para la caja de cambios y 30 dólares para el mecanismo de transmisión, además del coste de la reparación. ¿Por dónde habría que empezar?

(3/5 x 200 $) + (2/5 x 210 $) = 204 $

Supongamos, no obstante, que deciden primero examinar el mecanismo de transmisión. A la larga, no se detectaría avería alguna en 3 veces de 5, lo que significaría un coste de 30 $ por inspeccionar la transmisión, además de 200 $ para reparar la caja de cambios.

En las 2 veces de 5 en que la avería se detecta efectivamente en el mecanismo de transmisión, el coste subirá a sólo a 150 $. Así, el coste previsto para esta estrategia es de:

(3/5 x 230 $) + (2/5 x 150 $) = 198 $

Por consiguiente, sería mejor que el mecánico revisara primero el mecanismo de transmisión, aunque es más probable que la avería se encuentre en la caja de cambios. Esta estrategia tiene el coste previsto más bajo. Claro que no me servirá de consuelo si la avería está en la caja de cambios y tengo que pagar 230 $.

El mecánico, por su parte, podría fijar una tarifa fija general de 230 $ por el trabajo. Para éste, sería preferible examinar primero el mecanismo de transmisión, ya que sobre toda una serie de reparaciones, conseguiría una ganancia media de 32 $, mientras que si primero investigara la causa más probable, su ganancia media sería de sólo 26 $.

Fuente Consultada:
Enciclopedia Temática Guinnes – Capitulo Nº72 – La Naturaleza del Universo – La Probabilidad – Editorial La Nación

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NOTA: Esta no es una aplicación profesional, solo fue pensada para ejercitación de los estudiantes y funciona correctamente. Solo debe hacer una mínima práctica de ejemplo para entender su funcionamiento y el orden del ingreso de las coordenadas y de cargas, ya que de lo contrario dará error, en tal caso debe reiniciar esta página.

Fórmulas de Volumenes de Cuerpos Geométricos Tabla Online

FÓRMULAS DE VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos tridimensionales o simplemente cuerpos ocupan siempre un espacio. La medida de ese espacio recibe el nombre de volumen.

Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.

jarra

Esta jarra es un cuerpo de forma cilindrica, y es hueco, entonces se habla de capacidad de la jarra, es decir, cuanto líquido puede contener en su interior. Con la fórmula del volumen del cilindo  podemos obtener la capacidad de este envase.

Veams ahora las fórmulas mas utilizadas en nuestra vida diaria….

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1-Fórmula Volumen de un Cubo

2-Fórmula Volumen de un Paralelepípedo

3-Fórmula Volumen de un Cilindro

4-Fórmula Volumen de una Esfera

5-Fórmula Volumen de un Cono

6-Fórmula Volumen de un Toro

7-Fórmula Volumen de una Pirámide

8-Fórmula Volumen de un Casquete Esférico

9-Fórmula Volumen de un Prisma

10-Fórmula Volumen de un Elipsoide de Revolución

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Son cuerpos de revolución aquellos cuerpos tridimensionales (tres dimensiones)  que se obtienen al hacer girar una figura plana 360″ alrededor de un eje que puede ser uno de sus lados o no.

Por ejemplo, si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados obtenemos un cilindro; si hacemos girar un triángulo alrededor de uno de sus lados, obtenemos un cono; y si hacemos girar una semicírculo alrededor de su diámetro, obtenemos una esfera.

En cambio, si hacemos girar un círculo alrededor de un eje, que se encuentra en el mismo plano que el círculo, exterior a él, la figura que obtendremos es la de un toro (un ejemplo es la figura de un «donut» (figura abajo)

cuerpo geometrico toro

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son, por tanto, objetos tridimensionales limitados por una o varias superficies.

Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Los antiguos griegos conocían la existencia de cinco poliedros regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras.

Teeteto fue probablemente el autor de la primera construcción teórica rigurosa de dichos poliedros como cuerpos inscritos en una esfera, construcción con la que culminaban los Elementos de Euclides, donde aparece asimismo, como colofón de la obra, la demostración de que sólo pueden existir cinco de ellos.

Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono, que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvadas; son los llamados cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención preferente y cuyas superficies y volúmenes estaban ya recogidos en la obra de Euclides.

Vivimos en un mundo tridimensional. La mayoría de los objetos con los que trabajamos pueden caracterizarse como sólidos tridimensionales.

Todos los cuerpos geométricos tridimensionales, es decir, que tienen un alto, un ancho y una profundidad, ocupan un espacio. La medida del espacio que ocupan dichos cuerpos tridimensionales recibe el nombre genérico de volumen del cuerpo.

El volumen de los cuerpos es aditivo, en la medida en que, si juntamos varios cuerpos de volúmenes V1 ,V2 ,V3 ,el volumen total ocupado por todos ellos es V = V1 + V2 + V3 + …

Para calcular el volumen de los cuerpos geométricos aprovechamos su forma geométrica, de manera que dividimos el cuerpo en otros cuerpos geométricos más sencillos (cubos, prismas, esferas, etc.) de los cuales conocemos las expresiones matemáticas de sus volúmenes y luego aplicamos la propiedad aditiva del volumen para calcular el volumen total del cuerpo original.

Aunque el volumen de un cuerpo se calcula aprovechando su geometría, esto no quiere decir que los cuerpos que tienen el mismo volumen hayan de tener la misma geometría. Por ejemplo, un cubo y una esfera pueden tener el mismo volumen si elegimos de una forma concreta la arista del primero y el radio del segundo.

La unidad fundamental para el volumen en el Sistema Internacional de unidades (si) es el metro cúbico (m³).

Un metro cúbico corresponde al volumen que ocupa un cubo de arista a 1 m.

Por tanto, resulta que cada unidad de volumen equivale a 1000 unidades del orden inmediatamente inferior (por ejemplo, 1 dm³ = = 1.000 cm³), y que cada 1.000 unidades de un orden equivalen a una unidad del orden inmediatamente superior (por ejemplo, 1.000 hm³ =  1 km³).

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FORMULAS DE LOS VOLUMENES MAS COMUNES

CILINDROS: Un cilindro es un sólido cuyos extremos, o bases, son figuras planas paralelas congruentes dispuestas de tal modo que los segmentos que unen los puntos correspondientes en las bases son paralelos. Estos segmentos se llaman elementos.

En el primer cilindro de la figura de abajo AA’. BE’ y CC’ son elementos del cilindro. Un cilindro circular es aquel en el que ambas bases son círculos. El cilindro circular recto es el tipo más común de cilindro y se forma cuando las bases son perpendiculares a los elementos. La altura o altitud de un cilindro es un segmento perpendicular a ambas bases.

calculo de volumenes cilindros

PRISMAS: Como se muestra en la figura  de abajo un prisma es un sólido con extremos, o bases, que son polígonos paralelos congruentes con lados llamados caras (o caras laterales) y que constituyen paralelogramos. Los segmentos que forman las intersecciones de las caras laterales se llaman aristas laterales. La altura, o altitud, de un prisma es la distancia entre las bases. Un prisma rectangular tiene sus bases perpendiculares a las aristas laterales; por lo tanto, sus caras son rectángulos.

calculo de volumenes prismas


Los prismas reciben sus nombres de las bases. Si las bases son polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular. El prisma triangular tiene triángulos por bases y el prisma rectangular tiene rectángulos por bases. Los prismas más comunes son los prismas rectangulares rectos, que se llaman paralelepípedos rectangulares, y el prisma cuadrado recto, más conocido como cubo.

Existen dos clases de áreas que suelen asociarse con cualquier figura sólida. El área lateral es la suma de las áreas de todos los lados. El área superficial total es el área lateral más el área de las bases.

A causa de que la superficie lateral de un prisma recto o de un cilindro recto puede desdoblarse para formar un paralelogramo si se le corta a lo largo de un elemento, el área lateral L se halla multiplicando el perímetro o la circunferencia de la base por la altura. El volumen de un cilindro de un prisma es el área de la base B por la altura.

Área lateral, área superficial y volumen de un cilindro o prisma

El área lateral, el área superficial total y el volumen de un cilindro o de un prima están dados por las siguientes fórmulas:

SólidoÁrea LateralSuperficie Lateral TotalVolumen
LTV
Prismap.hph + 2BBh
Cilindro2¶rh2¶r (r+h)¶r2h
donde p es el perímetro de una de las bases del prisma, h es la altura, r es el radio de una de las bases del cilindro y B es el área de una base.

Conos: Un cono se forma trazando segmentos desde una figura plana, la base, hasta un punto llamado vértice. El vértice no puede estar en el mismo plano que la base. La altura es un segmento que parte del vértice y es perpendicular a la base.

Los conos más comunes son el cono circular y el cono circular recto. Ambos tienen como base un círculo. En un cono circular recto, la altura interseca la base en su centro. La altura oblicua de un cono circular recto es un segmento que va del vértice a un punto de la circunferencia de la base.

corte con un plano de un cono

Al cortar un cono por diversos planos se obtienen distintas curvas geométricas según este plano corte una o ambas hojas de la superficie de revolución:

Circunferencia, si el plano es paralelo a la base y corta a todas las generatrices.

Elipse si no es paralelo a la base y corta todas las generatrices.

Parábola si es paralelo a una generatriz, pero no corta a las dos superficies de revolución.

Hipérbola si corta a las dos superficies de revolución y es paralelo a una sola generatriz.

El cono es una figura muy popular. Son cónicas las puntas de un alfiler, un lápiz muy puntiagudo, los cuernos de un toro, los minaretes de Santa Sofía, y se llaman «coniferas» a un grupo de plantas que adoptan el aspecto de un cono (abetos, sequoias, etc.). Su tronco es un cono perfecto. En el diferencial de un automóvil los engranajes tienen forma de tronco de cono y también lo encontramos en las macetas de un jardín, en los feces turcos, en la muela de molino, etc.

Pirámides: La pirámide es un tipo especial de cono cuya base es un polígono. En la figura se muestra una pirámide típica y algunas de sus partes. Cada lado de una pirámide es un triángulo denominado cara lateral. Las caras laterales se encuentran en las aristas laterales.

Como en el caso de los prismas, las pirámides se clasifican de acuerdo con la forma de su base. La pirámide regular tiene como base un polígono regular y una altura que es perpendicular a la base en su centro. La altura oblicua de una pirámide regular es la altura de cualquiera de las caras laterales.

El volumen V de un cono o de una pirámide es un tercio del área de la base B por la altura h, o sea V=1/3Bh. Para las áreas laterales sólo consideraremos las de los conos circulares rectos y de las pirámides regulares. El área lateral L es la mitad de la altura oblicua s por el perímetro o la circunferencia de la base. El área superficial total es el área lateral más el área de la base.

La Esfera: Es un poliedro de infinito número de caras, o bien la superficie engendrada por una circunferencia que gira alrededor de un diámetro.

Las secciones planas o planos que cortan la esfera perpendicularmente a un diámetro dan siempre círculos o circunferencias, según se considere la superficie esférica o la esfera, es decir, el espacio y el volumen abarcado por la primera.

El diámetro generatriz determina dos polos. El plano perpendicular al centro de la generatriz origina una circunferencia máxima o ecuador. Si cortamos la superficie esférica por medio de planos paralelos a este ecuador, obtendremos circunferencias cada vez de menor radio hasta que éste será cero. Entonces el plano se habrá convertido en tangente a la esfera en el punto citado. Todos estos círculos se llaman menores y su radio es tanto menor cuanto mayor sea la distancia del plano al centro de la esfera. Si dos círculos tienen el mismo radio, su alejamiento del centro de la esfera es el mismo.

Una circunferencia es una línea que determinan 3 puntos, pues solamente por 3 puntos no situados en línea recta puede pasar una circunferencia.

Una esfera necesita 4 puntos no situados en el mismo plano ni 3 de ellos en línea recta para determinar una única esfera.
La condición de estar en un mismo plano no puede aplicarse a una circunferencia porque 3 puntos ya determinan un plano; en cambio, 4 que estén en un mismo plano, no pueden determinar una esfera.

Áreas en la esfera: Prescindimos de las demostraciones, que serían excesivamente largas, y nos limitamos a considerar las siguientes superficies que se pueden originar en la esfera:

Zona esférica es la superficie comprendida entre dos planos paralelos, sea este un círculo máximo o no. Su área es igual al producto de una circunferencia máxima por la altura de la zona: (ver figura abajo)

Área zona esférica = 2.¶.R.h

croquis de una esfera y sus casquete esfericos

h: es la distancia entre circunferencias del casquete o la altura del casquete
R: radio de la circunferencia máxima

Esta fórmula es igual que la obtenida para el cilindro, es decir, el área de una zona esférica es igual que la de un cilindro de base igual al círculo máximo de la zona, y de altura idéntica a la misma.

Casquete esférico es una zona cuya base superior es un punto. Por tanto, su área vale igual que la de una zona: 2.¶.r.h

r: radio del casquete

Área de la superficie esférica. Es el área total de la esfera es: A= 4.¶.R²

LA ESFERA QUE HABITAMOS: Nuestro planeta Tierra no es exactamente una esfera pues el radio ecuatorial es algo mayor que el polar. El primero mide 6.378.388 m, y el segundo 6.356.912 m. El achatamiento es de unos 21 km, cifra insignificante si se tiene en cuenta que el ecuador mide 40.076.594 m. Conociendo el radio es fácil calcular la superficie terrestre, que es de 510.101.934 km2. El volumen de nuestra esfera alcanza una cifra impresionante: 1.083.319.780.000 km3. Se calcula, aproximadamente, que el peso tota! de la Tierra es superior a 5.977 trillones de toneladas.

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NOMBRE DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

tabla de cuerpos geométricos

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FORMULA VOLUMEN CUERPO: CUBO

formula volumen cuerpo cubo

FORMULA VOLUMEN CUERPO:PARALELEPIPEDO

formula volumen cuerpo paralelepidedo

FORMULA VOLUMEN CUERPO:PRISMA

formula volumen prisma

FORMULA VOLUMEN CUERPO:PIRAMIDE

formula volumen piramide

FORMULA VOLUMEN CUERPO:CONO

formula volumen cono

FORMULA VOLUMEN CUERPO:ESFERA

formula volumen esfera

FORMULA VOLUMEN CUERPO:CILINDRO

formula volumen cilindro

Veamos un ejemplo:

Calcular el volumen de un tanque de base circular cuyo radio es de 3,4 m. y su altura es de 1,2m….Si la base es circular, sabemos que es un cilindro, por lo tanto el calculo se reduce a buscar la fórmula del volumen de un cilindro, que es la siguiente:

volumen de un cilindro