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Fórmula del Vértice de una Parábola Cuadrática: Ejemplo Online
La función general de segundo grado y = ax² + bx+c representa gráficamente en el plano cartesiano una parábola.
Asignando valores reales a la variable independiente x para obtener los valores de la variable dependiente y, podemos graficar sobre un par de ejes coordenados la curca parabólica.
Por Ejemplo: — Elaborar el gráfico de la función: y = x² — 2 x — 2.
En donde según la fórmula general, los coefecientes son: a=1, b=-2 , c=-2
Se elabora la siguiente tabla:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
13
6
1
-2
-3
-2
1
LLevando estos puntos a plano cartesiano, se tiene la siguiente curva:
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RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA:1ra. Parte
Una ecuación de segundo grado es aquella en la cual la incógnita
(generalmente simbolizada por x ) aparece elevada a la segunda potencia.
En general, puede simbolizarse como
donde representa al coeficiente del término cuadrático, y nunca puede
ser , pero sí puede ser igual a cualquier otro número real.
es el coeficiente del término lineal, es decir aquel en que aparece elevada
a la primera potencia. Puede o no ser igual a . Y
es el término independiente, pues es el coeficiente del término donde
aparece elevada a la potencia , o sea, no aparece porque .
Según los valores de , y , las ecuaciones de segundo grado se clasifican en
1.Completas, cuando y son distintas de .
2.Incompletas, cuando
2.1 , o sea, no contiene término lineal,
o bien cuando 2.2 es decir, no existe término independiente.
Veamos 2.1. La forma general sería
En este caso, la resolución es fácil:
de donde
Por lo tanto
y
Por ejemplo:
se resuelve así:
de , es , y
Por lo tanto, y
2.2Si , es
En este caso, para resolver, extraemos el factor común, y nos queda
Que es lo mismo que
y este producto dará sólo si , (porque el primer factor será ,
y multiplicado por lo que sea que valga el otro, dará producto ), o bien si
(ya que ).
Por ejemplo, se puede pensar como
o sea , que tendrá
como raíces y
Volviendo al caso general, si , se dice que las ecuaciones son Reducidas.
Veamos cómo se resuelve una de estas joyitas cuando , y y son
distintas de .
Su forma sería
Pensémoslo en un ejemplo: .
Si hacemos un conveniente pasaje de miembro ( el viejo truco ),
nos queda [1]
Si observamos el primer miembro, vemos que podría corresponder a los dos
primeros términos de un trinomio cuadrado perfecto ( o sea, el cuadrado de un
binomio), donde
es el cuadrado del primer término del binomio,
sería el doble producto del primero por el segundo,
pero nos faltaría el cuadrado del segundo.
Ahora bien, si es el primer término del binomio,
sería el producto de (doble producto, dijimos) por el segundo.
Si llamamos al segundo, donde
implica que .
Y el binomio sería
Entonces, apelando al otro viejo truco: «sumo y resto lo mismo y no altero
la suma», puedo escribir
(porque )
Y, asociando convenientemente, queda
o sea,
Entonces, reemplazando en [1], queda
y, resolviendo, será
y
o sea de donde
y
Generalizando lo anterior, se ve que este mismo proceder es aplicable a
cualquier ecuación general de 2º grado con una incógnita. O sea, si:
será
Y si utilizamos el recurso del trinomio cuadrado perfecto, veremos que
.
Entonces, es
y, si sumamos y restamos en ambos miembros (nuestro querido y
viejo truco), será
Luego, antes de caer en el colpaso cerebral, hacemos el conveniente
pasaje de miembro y el factoreo del trinomio, y nos quedará
De donde,
y
; ; ;
;
que es lo mismo que
.
esto es lo mismo que
Y si aún queda alguien que desconfíe de este razonamiento, veamos si,
aplicando esta fórmula en la ecuación anterior, llegamos a las mismas
raíces. (Atención: un ejemplo no es una demostración válida, pero si el ejemplo
no coincide con la conclusión, vale para demostrar la no validez de la misma.)
Recordemos que era:
; ;
entonces
de donde
,
pero , entonces
o sea entonces
( que coincide con una de las que hallamos antes)
y
entonces (y que también coincide con la otra que hallamos)
APLICACIÓN ONLINE DE LA RESOLVENTE
Una vez aceptado esto, es una buena idea proponernos, para cuando
egresemos de la sala de terapia intensiva para cerebros exhaustos,
preguntarnos si esta fórmula sirve para todos los casos. O sea,
¿sirve tanto para completas como para las incompletas y para las
que no son reducidas?.
También nos queda para después el análisis de la relación entre el
valor y la «realidad» de las raíces, y el signo de la expresión sub-radical
en la fórmula.
Estos desarrollos los dejamos para otro día, cuando la convalescencia
esté avanzada, y nuestras neuronas hayan recuperado su actividad.
Por hoy, les deseo feliz terapia.
Y les digo «¡Hasta el próximo suplicio!»
«Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a [email protected] «
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 2da. Parte
Hola, ¿seguimos sufriendo? ….
Hemos visto la resolución de ecuaciones cuyo coeficiente del término cuadrático es 1, y ahora veremos cómo hacerlo en las que no lo tienen igual a 1.
• LA ECUACIÓN GENERAL
Sea con distinto de 1.
Acudiremos al socorrido truco de dividir ambos miembros de la igualdad por el mismo número De este modo, obtendremos una NUEVA IGUALDAD, distinta de la anterior, pero que constituye una ecuación EQUIVALENTE a la anterior, es decir, con raíces iguales a las de aquella. (Más adelante, probaremos esta afirmación).
Procederemos:
se convertirá en donde y así que será
Si ahora aplicamos la «resolvente» (como le dicen los más confianzudos a la fórmula que aprendimos antes), reemplazando
por y por , nos quedará: (AB)
donde la expresión subradical quedará y, entonces, será
(A) y (B)
Si queremos simplificarnos la vida, podemos efectuar la trasformación de los coeficientes antes de aplicar la fórmula, como en este ejemplo, donde:
, dividida en ambos miembros por 3, quedaría
que, resuelta como antes aprendimos, daría
, es decir , o sea
y , es decir , o sea
Para estar seguros, reemplazamos la con estos valores en la ecuación original.
¿Es ? Sííí. ¿Y también ? Sííí. (¡Qué alivio!)
O bien, podemos buscar una nueva versión de la fórmula para ecuaciones de 2º grado ( recordemos que este nombre implica sí o sí que es distinto de , porque de no serlo no habría término cuadrático, y la ecuación NO sería de 2º grado) que sirva cuando es distinto de
Veamos: Si tomamos (AA), y desarrollamos, tendremos
,
y extrayendo denominador común en el numerador y pasándolo al denominador, queda
Fórmula que, ahora sí, puede aplicarse a todos los casos de resolución.
Veamos: si queda la fórmula (AB), que ya estudiamos.
Retomando el caso 2.1 del capítulo anterior, si es distinta o no de y , la fórmula queda como y esto es lo mismo que que es lo mismo que que es lo mismo que habíamos hallado en el punto 2.1 del capítulo anterior.
Retomemos, ahora, el caso 2.2 del capítulo anterior. Si es distinto o no de y aplicando la resolvente será
que es , que es
o sea , que es ;
y o sea entonces . Que, (¿casualmente?), para el caso de son las fórmulas a que habíamos llegado antes.
PROPIEDADES DE LAS RAICES DE SEGUNDO GRADO
¿Recuerdan lo que dijimos antes sobre una ecuación expresada como ?
En primer lugar, multiplicando los dos factores obtendremos una ecuación de segundo grado,
porque puede expresarse como donde podemos asimilar y (C)
Si observamos el primer miembro antes de convertirlo en un polinomio, podemos ver que si el primer factor es y el producto es
También si hacemos el segundo factor dará y por lo tanto el producto dará
¡ Pero eso quiere decir que y son raíces de la ecuación?????!!!!!!! Y, sí, es así. Y esto nos lleva a varias conclusiones interesantes y útiles.
1) Una ecuación de 2º grado, conocidas sus raíces y puede expresarse como de lo cual se desprende que si no conocemos la forma de la ecuación, pero sí sus raíces, podemos reconstruirla (es decir, expresarla en forma polinómica).
Por supuesto que, de esta forma, siempre obtendremos ecuaciones reducidas, porque si los coeficientes de son , el de también será
Pero, podemos obtener infinitas ecuaciones de 2º grado, equivalentes a éstas, sólo con multiplicar ambos miembros de la forma factoreada, por cualquier número real.
Por ejemplo, en se ve enseguida que y son las raíces, y la forma polinómica sería (D) (¿por qué?)
Pero, si multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 5, la nueva ecuación será equivalente a la anterior, porque y siguen siendo las raíces, y la forma polinómica ahora será
o sea,
Y así sucederá con cualquier número real por el cual multipliquemos la ecuación reducida.
Ya vimos que si tenemos una ecuación NO REDUCIDA, podemos llegar a la reducida equivalente, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de
2) Vimos en (C) que , si y eran las raíces de la forma reducida, entonces, como y , podemos
reconstruir la forma polinómica de la ecuación como
Es decir, que la suma de las raíces, con signo opuesto, es igual al coeficiente del término lineal. O sea
Y el producto de las raíces, es el término independiente. O sea, .
Podemos verificar que esto se cumple en (D) , entonces . Y , entonces . ¿Y? ¿Qué me cuentan?
Pasemos ahora a un tema complejo:
RAICES REALES Y RAICES COMPLEJAS
Si la ecuación es como las que vimos antes, las raíces son números reales, pero si son como, por ejemplo,
al aplicar la fórmula resolvente tendremos que da
«Pero, ¿qué es esto, Dios mío? ¿Raiz cuadrada de número negativo? ¡Si eso no existe!», dirán algunos.
Bueno, no es para tanto. No existe en el conjunto de los números reales, pero para algo se inventaron los números imaginarios, que, asociados con los reales, constituyen los números complejos.
Veamos: Yo sé resolver que hasta da raiz exacta y todo, pero, …
Probemos con alguno de los truquitos de los matemáticos. Todos sabemos que es perfectamente legal decir que
y, como la buena de doña Propiedad Distributiva de La Radicación Con Respeto A La Multiplicación nos lo permite, decimos con toda tranquilidad de conciencia que
o sea .
Con lo cual hemos solucionado la mitad del problema. Pero, ¿qué cosa exótica es ese . Pues es la unidad imaginaria que fue inventada justamente para estas situaciones críticas.
Esta unidad no se define como sino como el valor que cumple Pero, en la práctica, sirve justamente para operar con reemplazándolo cuando aparece para fastidiar. Por otro lado, observemos que (, así que no es incorrecto hacer esa sustitución.
Visto todo lo cual, volvemos a nuestra ecuación, donde las raíces serán
o sea , y
o sea
Si miramos fijamente a los dos valores obtenidos para las raíces, veremos que son casi iguales, salvo por el signo de los términos que contienen a
Son números complejos, porque constan de una parte real :, y una parte imaginaria: uno, y el otro .
Son lo que se llama, dos números complejos conjugados, es decir que tienen las partes reales iguales, y las partes imaginarias opuestas (de igual valor numérico y distinto signo).
Y siempre que una ecuación tenga raíces complejas, serán números complejos conjugados, porque la parte real es igual y la imaginaria proviene de raices iguales, pero precedidas por distinto signo.
Reemplacemos ahora, en la ecuación en cuestión, a por los valores hallados, para comprobar que estas raíces son las correctas (es decir, comprobaremos que realmente es una igualdad). Mientras no lo demostremos, lo escribiremos como pregunta
Podemos pensar el primer miembro como , donde los términos en se anulan mutuamente, y reemplazamos por
Será, entonces, . Así que para la primera raiz, ya estamos cumplidos.
Para la segunda, reemplazamos y resolvemos o sea
(después de desarrollar el cuadrado del binomio) donde también se anulan los términos con y es
O sea, que es lo que queríamos comprobar, también para la segunda raiz.
¿Y qué generalización podríamos extraer de esto?.
Podríamos observar que esta situación se da cuando la expresión subradical es negativa, es decir es menor que 0, es decir que es menor que
Entonces, sólo con ver la forma de la ecuación estaremos en condiciones de predecir si las raíces serán complejas o reales.
En nuestro ejemplo, se ve enseguida que es menor que .
Y, para terminar, por hoy, les dejo unas cuantas ecuaciones para resolver, con sus respectivas soluciones, para mirar DESPUES de resolverlas, no antes.
También les propongo un problema que se resuelve utilizando ecuaciones.
Aquí van:
Hallar las raíces de : 1)
2)
3)
4)
5)
Problema: Un móvil parte de A con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sale con una velocidad de 3 y al cabo de 10 segundos su velocidad es de 7¿Qué tiempo deberá trascurrir para que recorra 18900 m desde su punto de partida? (Solución: 5 minutos)
(Algunas aclaraciones:
1) la fórmula para calcular la distancia en un movimiento de este tipo es donde es la velocidad inicial, es la aceleración, y el tiempo,
2) la aceleración es el incremento de la velocidad dividido por el tiempo que duró ese incremento, y
3) en los problemas de física, sólo se tendrá en cuenta el valor positivo entre los hallados como solución.)
Bien, hasta la vista, amigos.
Las propiedades de las raíces de una ecuación de 2º grado
«Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a [email protected] «
Explicación de la Tabla Periódica de los Elementos Químicos Tabla de Mendeleiev
El estudio del átomo llevó a establecer algunas propiedades de los elementos químicos, que al ser comparadas con las de otros elementos, observaban similitudes, ofreciendo posibilidad de clasificación.
Para entender la explicación de la organización de los elementos quimicos debes ampliar la tabla de arriba
El átomo de hidrógeno (número atómico = 1) posee un electrón de corteza girando alrededor del núcleo.
Todos los demás son múltiplos de esta unidad atómica; sólo se diferencian en el número de electrones que giran alrededor del núcleo y en el número de partículas que constituyen el núcleo.
El número atómico expresa la cantidad de electrones que posee la corteza del átomo del elemento correspondiente.
La masa atómica (calculada en base a carbono = 12) (número que figura en la parte inferior de cada rectángulo) es ei valor promedio entre las masas atómicas de los diversos isótopos de un mismo elemento.
Las masas atómicas que figuran entre paréntesis expresan el número de masa del isótopo más estable o más común del respectivo elemento.
Los rectángulos de cada’columna vertical o grupo contienen alineados verticalmente los átomos de igual comportamiento.
El número romano que encabeza cada columna expresa el número de electrones que posee la órbita más externa u órbita de valencia, que en ningún caso es superior a ocho.
Los grupos I, II y III (marcados en azul) incluyen los átomos electropositivos (que engendran bases).
Los grupos V, VI y VII (marcados en rojo) incluyen los átomos electronegativos (que engendran ácidos).
El número de fila o serie de ordenamiento horizontal se denomina período. Dicho número indica el número de órbitas, las cuales se designan con las letras K, L, M, N, O, p y Q.
Cada serle indica un piso electrónico más que el anterior.
Calor específico es el calor necesario para elevar en un grado centígrado la temperatura de un gramo de átomo.
Potencial normal de un elemento es el que éste toma cuando está en contacto con una solución normal de sus iones a 25° C y presión normal (760 mm).
Historia de la Orgaización de los Elementos Químicos
Durante el siglo XIX Se acrecentó el interés por encontrar la manera de clasificar los elementos.
En 1869 el profesor de química de la universidad de San Petersburgo Dmitri Ivánovich Mendeléiev —un hombre liberal, feminista y excéntrico (sólo se cortaba el cabello una vez al año)— tuvo bastantes altercados con el gobierno zarista.
Dmitri Ivánovich Mendeléiev
Y el «memorándum» que distribuyó entre sus colegas en 1869 no impidió que el gobierno lo enviara varias veces al extranjero.
Se trataba sólo de un pequeño cuadro en el que los 63 elementos químicos conocidos aparecían ordenados por sus pesos atómicos, en orden creciente, y colocados de manera que los que tenían propiedades químicas parecidas estuvieran en una misma columna.
La extraña periodicidad que esta disposición revelaba parecía totalmente arbitraria, máxime cuando Mendeléiev había hecho algunos apaños, corrigiendo ciertos pesos atómicos para que cuadraran o dejando huecos poco verosímiles.
En 1869 el químico ruso Dimitri Mendeleyev ideó un ingenioso catálogo de los elementos, la tabla periódica.
Observó que los elementos parecen distribuirse en familias, que se repiten periódicamente, con propiedades químicas semejantes.
Siguiendo este criterio, anotó el símbolo químico y el peso atómico de todos los elementos conocidos y los ordenó, según su peso, en orden de menor a mayor; también colocó los elementos con propiedades semejantes en columnas verticales.
De este modo formó un esquema, una especie de mapa donde los elementos aparecen ordenados en familias verticales y en períodos horizontales.
El hidrógeno, el más ligero de los elementos, ocupa un lugar algo apartado del conjunto, debido a sus propiedades especiales.
En tiempo de Mendeleiev se creía que el átomo era indivisible, pero el descubrimiento de los rayos X y de la radiactividad provocaron la primera duda.
Actualmente sabemos que el átomo está constituido por tres clases principales de partículas: protones, neutrones y electrones.
Protones y neutrones constituyen el núcleo del átomo.
Los electrones, que giran en órbita alrededor del núcleo, determinan las propiedades químicas y, en consecuencia, la situación de los elementos en la tabla periódica.
A la izquierda de la tabla aparecen representaciones simplificadas de los átomos de los elementos pertenecientes a la familia de los metales alcalinos; sobre la misma se hallan los elementos del segundo período.
Esquema Elemetal Composición del Atomo
Adviértase que todos los metales alcalinos poseen un solo electrón en la órbita externa; precisamente esta estructura similar es causa de su semejanza en las propiedades químicas.
En el segundo período la situación es completamente diferente.
Aunque cada átomo tiene dos órbitas, varía el número de electrones de la exterior.
La diferencia de estructura provoca la diferencia de propiedades.
Según crece el número de electrones de la órbita exterior, las propiedades varían de izquierda a derecha, es decir, de los metales a los metaloides.
Cuando se completan los ocho electrones posibles de la órbita exterior (neón), concluye el segundo período.
El sodio, que inicia el tercer período, posee una órbita más con un electrón.
Los períodos aumentan y se hacen más complejos a medida que crece el número de órbitas.
También aumenta el número de electrones en las órbitas sucesivas.
Los átomos pesados son los menos estables: todos los elementos posteriores al bismuto, cuyo número atómico es 83, son radiactivos.
Los elementos reciben un nombre que responde en algúnos casos a raíces latinas, y en otro en honor a la persona que los descubre.
Éstos se abrevian en símbolos, si tiene una sola letras deberá, ser mayúscula y si lo componen dos, la primera mayúscula y la segunda minúscula por ejemplo nitrógeno (N) y sodio (Na), respectivamente.
PRIMERAS CLASIFICACIONES DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS:
• Las tríadas de Dobereiner:
En 1829, Dobereiner, químico alemán, clasificó los elementos conocidos.
Agrupaba tres elementos con características observables similares.
La clave de esta forma de organización era el hecho de que para uno de los elementos que formaban el grupo, la masa era el valor promedio de las masas de los tres elementos, por ejemplo (Li, Na, K) cuyas masas son 7, 23, y 39 gramos respectivamente.
Si sumas los tres datos y los divides entre el número de elementos (3) te da exactamente el valor de la masa del Na, el cual se ubica en la mitad.
Clasificación dispendiosa y no muy exacta para nuevos elementos.
• Octavas de Newlands:
En 1864, Newlands, químico inglés, clasificó los elementos en grupos de ocho, por lo que se conocen como octavas de Newlands.
Esta clasificación hacía alusión al término de periodicidad, ya que según la teoría, las propiedades de algunos elementos conocidos se repetían cada ocho elementos y básicamente las organizó en orden ascendente de sus pesos atómicos.
• Mendeleiev y Meyer:
• La Tabla Periódica:
En 1869 Dimitri Mendeleiev, químico ruso, retoma los estudios realizados anteriormente y basándose también en propiedades periódicas de los elementos, los organiza por orden de pesos atómicos ascendentes y, con algunas propiedades más, agrupó los elementos por familias en las que incluyó a los elementos con mayor cantidad de similitudes.
Paralelamente Meyer, físico alemán, realizaba estudios basado en los mismos principios, pero añadió estudios de algunas propiedades físicas, que también resultaron ser periódicas, tales como el radio atómico.
El gran aporte de Mendeleiev es la base de la tabla periódica actual, ya que dejó los espacios para elementos aún no descubiertos, que respondían a sitios vacíos en la tabla periódica.
REGIONES DE LA TABLA PERIÓDICA
La tabla periódica esta dividida a nivel general en metales y no metales.
Sin embargo, hay otra diferenciación, que la divide en regiones, división basada en los subniveles energéticos que ocupan los electrones del ultimo nivel.
Así la tabla periódica está dividida en la región s, la región p, la región d y la región f.
Por ejemplo, en la región s se ubican los elementos cuyos electrones finalicen su distribución en el subnivel s.
En esta sección nos ocuparemos de las regiones d y f de la tabla periódica, correspondientes a los elementos de transición.
• Elementos de transición
Los átomos de los elementos siempre tienden a ser estables energéticamente, por lo cual ceden, comparten o pierden electrones.
Esta estructura estable coincide cuando en su último nivel hay ocho electrones, pero en el caso de este grupo particular de elementos, se suspende el llenado del último nivel para completar primero el penúltimo nivel.
Por esta razón aunque los demás elementos de la tabla periódica tiendan a realizar sus enlaces utilizando los electrones del último nivel de energía, éstos lo hacen tanto con los electrones del último nivel, como con los del penúltimo.
Se caracterizan además, por poseer gran cantidad de estados de oxidación, es decir, que involucran diferentes cantidades de electrones para intervenir en un enlace, lo que hace que formen varios compuestos.
Los elementos que pertenecen a este grupo especial, son los pertenecientes a los lantánidos, actínidos y tierras raras.
• Electronegatividad
Si se analizan las propiedades de los elementos químicos, también se puede establecer que hay periodicidad teniendo en cuenta la electronegatividad de los elementos químicos, que básicamente es la tendencia que tienen los átomos de atraer o captar electrones; son ejemplo de ello el oxígeno y el cloro, ya que la electronegatividad aumenta en un periodo de izquierda a derecha y en un grupo de abajo hacia arriba.
Y si localizas estos dos elementos se ubican en los lugares más electronegativos de la tabla periódica.
Este concepto fue establecido por L. Pauling, quien determinó valores de electronegatividad para cada uno de los elementos; algunos ejemplos se muestran en la tabla que sigue:
Na
Mg
Al
P
Cl
F
Br
I
At
Fr
0.9
1.2
1.5
2.1
3.0
4.0
2.8
2.5
2.2
0.7
Por otra parte y como compensación, existe otro grupo de átomos que tiende a perder los electrones, siendo estos los electropositivos. Por ejemplo el sodio y el calcio al poseer solamente 1 y 2 electrones, respectivamente, en su último nivel tienden a cederlos.
De esta manera empieza también a evidenciarse la afinidad entre ellos, dado que el átomo que tiende a capturar se complementaría en un enlace químico con uno que tienda a ceder o perder electrones.
• Valencia
Para establecer de qué manera los átomos se relacionan, es necesario saber la cantidad de electrones que un átomo puede atraer (ganar), ceder (perder) o compartir con otro átomo, concepto que se conoce con el nombre de valencia.
La ilustración, muestra la forma como se relacionan dos átomos de dos elementos, para formar un compuesto: el átomo de sodio pierde un electrón, es decir su valencia es 1 y el átomo de cloro gana 1 electrón, entonces su valencia también es 1.
En síntesis, la valencia es el poder de combinación de un elemento con otro, dado por los electrones del último nivel.
• Enlace
La unión entre los átomos se denomina enlace, que es una fuerza de atracción lo suficientemente intensa como para permitir que los átomos involucrados funcionen como una unidad.
Se realiza básicamente entre los electrones del ultimo nivel de energía y se produce cuando las fuerzas de atracción superan las de repulsión, clasificándose, según la manera de establecer la unión.
Así pues:
Enlace iónico: se origina cuando un átomo cede y otro captura los electrones.
Enlace covalente: se origina cuando los átomos involucrados comparten sus electrones, dado que tienen la misma fuerza de atracción.
A fines del siglo pasado flotaba ya en la atmósfera científica la idea de que al ordenar los elementos por peso atómico creciente aquellos de propiedades químicas comparables reaparecían en forma periódica.
Por ejemplo, la serie alcalina litio-sodio-potasio-rubidio-cesio, o los halógenos flúor-cloro-bromo-yodo (algunos fueron descubiertos después).
Pero, a pesar de que en los más livianos dicha repetición tenía lugar de ocho en ocho y en los más pesados cada dieciocho elementos, había muchas lagunas y contradicciones.
Dimitri Mendeleiev elaboró una tabla en cuyas casillas se ordenaban en forma horizontal los pesos atómicos y vertical las «familias» de elementos químicamente similares.
Pero en su época se conocían menos de 45 cuerpos simples de los 103 que hoy forman la tabla periódica.
El mérito capital del sabio ruso consistió en considerar que las fallas y vacíos del cuadro no eran imputables a éste, sino a los químicos que aún no habían descubierto el elemento destinado a intercalarse en el lugar que se le reservaba.
Así Mendeleiev vaticinó sin errores el peso atómico probable de varios elementos desconocidos, sus propiedades químicas esenciales y hasta las probables combinaciones naturales en cuyo interior se ocultaban.
Hubo dificultades.
Fue necesario invertir, sin razón plausible, el potasio y el argón (hoy sabemos que una variedad de este último posee un neutrón más en su núcleo).
Tampoco se sabía que la primera órbita periférica del átomo se satura con dos electrones (hidrógeno-helio), la siguiente con ocho, etc.
Pero a pesar de su carácter empírico y sus enormes carencias, lo tabla de Mendeleiev resultó un armo prodigiosa para lo investigación científica y fue inmenso su buen éxito.
Fuente Consultada: Enciclopedia NUEVO Investiguemos Ciencia Integrada Tomo 3
Regla de Ruffini Online Para Hallar Raíces de un Polinomio División de Polinomios
En matemática hay diferentes maneras de expresar lo mismo y, en general, se utiliza una escritura u otra dependiendo de lo que se quiera enfatizar o de la finalidad que se le quiera dar.
Así, por ejemplo, podemos referirnos a las medias diciendo que tenemos 12 pares de medias si queremos dar cuenta de la cantidad o podemos decir que tenemos 3 pares de medias rojas, 2 verdes, 5 negras y 2 blancas, si queremos hacer énfasis en una cuestión de combinación de colores, o bien que tenemos 4 pares de soquetes, 6 pares de medias cortas y 2 pares de medias largas, si queremos hacer referencia a las diferentes cantidades según el tipo de media.
Cada una de estas escrituras describe lo mismo, los pares de medias. Sin embargo, cada escritura tiene una cierta utilidad dependiendo de lo que quiera mostrar.
Lo mismo ocurre con las expresiones algebraicas: hay diferentes escrituras de una misma expresión y cada una de esas escrituras permite mostrar, como en el ejemplo de las medias, algo en particular.
Así, por ejemplo, en la expresión x2 – x – 2 se puede ver fácilmente que la parábola que la describe corta al eje y en -2, pero no se puede ver en dónde esa parábola corta al eje x.
Sin embargo, esta expresión es equivalente a (x + 1).(x – 2), que es otra escritura de la misma función y permite ver fácilmente que la parábola corta al eje x en -1 y 2, pero dejamos de ver en dónde cortará al eje y. Esto significa que cada «escritura» tiene sus ventajas y sus desventajas.
Una de las principales ventajas de tener la forma factorizada de la expresión —en el ejemplo (x + 1).(x – 2) — es que podemos ver a simple vista cuáles son sus raíces. Cuando se tiene la expresión factorizada igualada a cero, averiguar los valores de x que verifican la igualdad, se reduce a encontrar los valores donde cada factor vale cero.
En el ejemplo, la expresión es igual a 0 si y solo si x+1 = 0 ó x-2 = 0, es decir, cuando x = -1 óx = 2 y así, el tener la fórmula factorizada nos permite reducir el problema en 2 problemas más pequeños.
Puedes probar el polinomio de este ejemplo, en el software de arriba que aplica la Regla de Ruffini, colocando como raíces: x=-1 y x=2.
Identificar las raíces inmediatamente permitirá, entre otras cosas, resolver ecuaciones, realizar un gráfico aproximado de la función o resolver problemas como, por ejemplo, averiguar cuánto tiempo después de que un tenista golpea la pelota esta cae a la cancha, sabiendo que la trayectoria está dada por la expresión e(t) = 8t – t2, con t medido en segundos.
En este caso, la pelota tocará el piso cuando su altura sea cero, e(t) = 0. Por lo tanto, si factorizamos la expresión, inmediatamente identificaremos el tiempo que estamos buscando. Factoriza aplicando Ruffini para hallar los valores de t que hagan e(t)=0.
Un polígono es una figura en el plano que está formado por tres o mas segmentos rectilíneos, llamados lados, unidos en sus extremos.
Los extremos se llaman vértices. En esta página el cálculo está orientado a los triángulos acutángulo y obtusángulos, cuya definición puede verla mas abajo.
Un triángulo es un polígono que tiene exactamente tres lados.
Los triángulos se denominan de acuerdo con una propiedad de sus lados o de sus ángulos.
Cuando se les clasifica de acuerdo con sus lados, un triángulo es escaleno si ninguno de sus lados es de la misma longitud, isósceles si dos lados son de la misma longitud y equilátero si los tres lados son de la misma longitud.
Cuando los lados son de la misma longitud, se emplean marcas sencillas, dobles o triples para mostrar cuáles lados son congruentes.
Resumiendo, llamamos triángulo al polígono que consta de tres lados y de tres ángulos.
Según sus lados, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: cuando tiene sus tres lados iguales. Isósceles: cuando tiene dos lados iguales y uno desigual, que se llama base. Escaleno: cuando tiene sus tres lados desiguales.
Según sus ángulos, se clasifican en:
Rectángulo: cuando tiene un ángulo recto. Acutángulo: cuando tiene sus tres ángulos agudos. Obtusangulo: cuando tiene un ángulo obtuso.
Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos, un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso y un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.
En un triángulo equilátero los tres ángulos son congruentes.
En un triángulo isósceles los ángulos que se oponen a los lados congruentes son congruentes.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, o n rad.
Puesto que los tres ángulos de un ángulo equilátero son congruentes, el tamaño de cada ángulo debe ser 180°/3=60° o bien Pi/3 rad.
Puesto que un ángulo recto tiene 90°, un triángulo rectángulo debe tener dos ángulos agudos, porque los otros dos ángulos, cuando se les suma, pueden tener únicamente un total de 90°.
Esto significa que cada uno de los ángulos debe ser menor que 90°. De manera similar, un triángulo obtusángulo debe tener dos ángulos agudos.
Un segmento trazado de un vértice al centro (o punto medio) del lado opuesto se llama mediana. Si trazamos las tres medianas de un triángulo, todas se encuentran en un punto común, G, llamado centroide, como se muestra en la figura El centroideG es el centro de gravedad de un triángulo.
►ÁREA DEL TRIÁNGULO
Un segmento trazado desde un vértice y perpendicular al lado opuesto es la altura de un triángulo.
El lado opuesto se llama base. AL resolver ciertos problemas, a veces es necesario extender la base para que interseque la altura.
El área de un triángulo se halla mediante el producto de y las longitudes de la base y la altura. Si b es la longitud de la base y h la longitud de la altura, entonce? el área A está dada por la fórmula: A= (b.h)/2
Si la base y la altura están en las mismas unidades, entonces el área está en es unidad al cuadrado.
A veces la longitud de la altura no se conoce.
Es posible hallar el área empleado la fórmula de Heron, llamada también fórmula de Herón.
En lugar de la altura. necesitaremos las longitudes de los tres lados y el semiperímetro.
Si hacemos que a, b y c representen las longitudes de los lados, entonces el semiperímetro, se halla usando la fórmula s=(a+b+c)/2 Podemos hallar el área partiendo de fórmula Heron:
► EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
Uno de los teoremas más valiosos en la geometría comprende al triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos.
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo recto. Si las longitudes de los dos catetos son a y b y la longitud de la hipotenusa es c, entonces el teorema de Pitágoras se enuncia como sigue:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
El perímetro de un triángulo cualquiera es igual a la suma de sus tres lados, ósea:P = a + b+ c.
CALCULADORA PARA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:CATETOS E HIPOTENUSA
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Un polígono es una figura en el plano que está formado por tres o mas segmentos rectilíneos, llamados lados, unidos en sus extremos.
Los extremos se llaman vértices.
En esta página el cálculo está orientado a los triángulos rectángulos, es decir aquellos que tienen un ángulo recto (90°).
Un triángulo es un polígono que tiene exactamente tres lados.
Los triángulos se denominan de acuerdo con una propiedad de sus lados o de sus ángulos.
Cuando se les clasifica de acuerdo con sus lados, un triángulo es escaleno si ninguno de sus lados es de la misma longitud, isósceles si dos lados son de la misma longitud y equilátero si los tres lados son de la misma longitud.
Cuando los lados son de la misma longitud, se emplean marcas sencillas, dobles o triples para mostrar cuáles lados son congruentes.
Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos, un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso y un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.
En un triángulo equilátero los tres ángulos son congruentes. En un triángulo isósceles los ángulos que se oponen a los lados congruentes son congruentes.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, o n rad.
Puesto que los tres ángulos de un ángulo equilátero son congruentes, el tamaño de cada ángulo debe ser 180°/3=60° o bien Pi/3 rad.
Puesto que un ángulo recto tiene 90°, un triángulo rectángulo debe tener dos ángulos agudos, porque los otros dos ángulos, cuando se les suma, pueden tener únicamente un total de 90°.
Esto significa que cada uno de los ángulos debe ser menor que 90°. De manera similar, un triángulo obtusángulo debe tener dos ángulos agudos.
Un segmento trazado de un vértice al centro (o punto medio) del lado opuesto se llama mediana.
Si trazamos las tres medianas de un triángulo, todas se encuentran en un punto común, G, llamado centroide o centro de masa, como se muestra en la figura El centroide G es el centro de gravedad de un triángulo.
PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO
Un segmento trazado desde un vértice y perpendicular al lado opuesto es la altura de un triángulo. El lado opuesto se llama base.
Al resolver ciertos problemas, a veces es necesario extender la base para que interseque la altura.
El área de un triángulo se halla mediante el producto de y las longitudes de la base y la altura. Si b es la longitud de la base y h la longitud de la altura, entonce? el área A está dada por la fórmula: A= (b.h)/2
Si la base y la altura están en las mismas unidades, entonces el área está en es unidad al cuadrado.
A veces la longitud de la altura no se conoce. Es posible hallar el área empleado la fórmula de Heron, llamada también fórmula de Herón. En lugar de la altura. necesitaremos las longitudes de los tres lados y el semiperímetro.
Si hacemos que a, b y c representen las longitudes de los lados, entonces el semiperímetro, se halla usando la fórmula s=(a+b+c)/2. Podemos hallar el área partiendo de la fórmula Heron:
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
Uno de los teoremas más valiosos en la geometría comprende al triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos.
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo recto. Si las longitudes de los dos catetos son a y b y la longitud de la hipotenusa es c, entonces el teorema de Pitágoras se enuncia como sigue:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
El perímetro de un triángulo cualquiera es igual a la suma de sus tres lados, ósea: P = a + b+ c
![$-[3+(-4)]=-(-1)$](http://historiaybiografias.com/graphics/Ec2grado%20P2__100.png)
![$[3(-4)]=-12$](http://historiaybiografias.com/graphics/Ec2grado%20P2__103.png)
