Fórmula Mágica de Euler

Historia del Número Pi Determinacion de su valor a través del tiempo

Historia del Número Pi Determinación de su valor a través del tiempo

Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso.

Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor «racional» solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable.

Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.

Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero… ¿Puede este vínculo ser considerado como un número «racional»? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones?.

Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre «Pi» (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.

A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.

La biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.

Después de los trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.

Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de «algoritmo de Arquímedes».

Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10′ en 10′ y adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666…. Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de «número de Ludolph».

Pronto la proeza de Ludolph se vió opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados.

El cálculo infinitesimal dió fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho mas potentes, separó en cierto modo a Pi de sus origenes geométricos y aclaró el papel fundamental que que juega en todo el análisis matemático.

El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primer fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar mas que a los número 1 y 2. Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 – (1/3) + (1/5) -…

Como caso particular, cabe mencional a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia : diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:

Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.

Estas verdades son el resultado común de varias corrientes de ideas. Los logaritmos inventados por el escocés Neper (1550-1617), no solamente tuvieron gran importancia para los cálculos numéricos; la función, nula para x = 1, que admite como derivada a 1/x ofrece un sistema de logaritmos particularmente interesantes desde el punto de vista teórico: los conocidos logaritmos neperianos.

 El mas constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y apartir de ése todos los restantes están mal. En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras.

En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir facilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos.

Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol.

Si reemplazamos el sol por la nebulosa mas lejana y el cabello por el corpúsculo mas pequeño conocido por los físicos, no harian falta mas que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.

Evolución de Pi a través del tiempo

 Persona/pueblo         Año Valor

Biblia ~ 550 AC 3

Egipto ~ 2000 AC 3.1605

China ~1200 A.C. 3

Arquimedes ~300 AC 3.14163

Ptolomeo ~200 AC. 377/120 = 3.14166…

Chung Huing ~300 AC. raiz cuad.(10)

Wang Fau 263 A.C. 157/50 = 3.14

Tsu Chung-Chi ~500 A.C. 3.1415926<Pi<3.1415929

Aryabhata ~500 3.1416

Brahmagupta ~600 raiz cuad.(10)

Fibonacci 1220 3.141818

Ludolph van Ceulen 1596 35 decimales 

Machin 1706 100 decimales 

Lambert 1766 Nombró a Pi irracional

Richter 1855 500 decimales 

Lindeman 1882 Nombró a Pi trascendente

Ferguson 1947 808 decimales 

Ordenador Pegasus 1597 7.840 decimales 

IBM 7090 1961 100.000 decimales 

CDC 6600 1967 500.000 decimales 

Cray-2 (Kanada) 1987 100.000.000 decimales 

Univ. de Tokio 1995 4.294.960.000 decimales

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La Especias en la Edad Media Historia Usos de las Especias Comercio

Uso y Propiedades de las Especias en la Edad Media

LAS ESPECIAS EN LA EDAD MEDIA:    Las especias son el regalo del Paraíso. Como el ideario situaba al Jardín del Edén en Oriente Medio, entre el Tigris y Éufrates, la creencia medieval, alimentada por los comerciantes en su provecho, era que de allí procedían todas las especias. De esta manera, floreció el negocio de los cruzados, que instalaron sus almacenes en los puertos de Líbano y Siria.

Algunas ya estaban descritas por Herodoto, y los griegos mencionaban la canela, el cardamomo, el anís estrellado o el carvi, que se designaba como aromata o condimenta.

El término apareció por primera vez en La peregrinación de Carlomagno —un cantar de gesta que se popularizó hacia 1150— derivado del latín y que significa simplemente “producto de la tierra”.

Las primeras listas fueron recogidas en papiros egipcios, como aromas para embalsamar; y en los escritos de Chen Nong, emperador chino de hace 5.000 años. Por su parte, Hildegarda de Bingen, considerada una referencia en gastronomía, medicina y herbolaria medieval, las despreciaba y afirmaba que el jengibre sumía a quien lo tomara en la tontera y pereza.

Marco Polo, en 1295, luego de viajar por China, Birmania, la corte de Kublai Khan y regresar a través de la isla de las especias, las Molucas, escribió sus memorias y en ellas contó tales maravillas que lo apodaron, incrédulos, Marco Millones. Sin embargo, se cuidó de ocultar la procedencia de la preciada canela.

Las especias, el lujo y el refinamiento de la cocina medieval eran moneda de cambio. Vienen de lejos, de medio y lejano Oriente, y eran signo de riqueza, de modo que su papel era aún más social que gastronómico.

El precio se encarecía por las tasas que les aplicaban los turcos y que acrecentaban hasta en un 80 por ciento el precio de salida de India. Una ley dictada por el rey visigodo Alarico en 408 exigió como ofrenda de sumisión una tonelada de pimienta, que tenía el mismo valor que el oro. Los burgueses de Béziers, desde 1107, debían pagar tres libras anuales de pimienta por familia al vizconde de Roger, como castigo por haber asesinado a su padre.

Según el chef Taillevent, toda despensa debe contar con: jengibre, canela y su flor, clavo, pimienta redonda, pimienta larga, azafrán, nuez moscada, galanga, laurel, comino, azúcar, almendra, ajos, cebollas, perejil, hoja de viña… La trufa, que no es propiamente una especia, sino un hongo aromático, vivió muchas contradicciones en la Edad Media: se la consideraba expresión demoníaca, pero era apreciada, tanto que constituía una ofrenda para reyes y nobles.

A las especias se atribuye en la Edad Media puntuales y diferenciadas virtudes medicinales, sobre todo aperitivas, digestivas y afrodisíacas.

Aromas y especias se espolvoreaban para enriquecer, como ayudas digestivas, como objeto de lujo y como disimulo del penoso estado de los alimentos.

Ver: Ruta de la Especias

Fuente Consultadas:
Crónica Loca de Víctor Sueiro

Enciclopedia del Estudiantes – Tomos 12 y 20 Santillana
Los Santos Que Nos Protegen Ángel Bornos-Eva Prim
COSMOS – Carl Sagan
El Espacio Asombroso – Ann Jeanette Campbell
20 Grandes Conspiraciones de la Historia – Santiago Camacho
Revista Muy Interesante La Vida en la Edad Media (Edición Especial Nº 5)
Historia del Mundo -Serie Para Dummies
Actual Historia del Mundo Contemporáneo- Vicens Vives
Almanaque Mundial 2008 -Televisa
El Prójimo – Pacho O’Donnell
La Revolución de las Ideas de – Roberto Cook

AMPLIACIÓN DEL TEMA:

Propiedades de las Especias y Usos en la Antiguedad

Los grande viajes  realizados por los primeros navegantes se pueden comparar perfectamente, por los peligros que entrañaban, por la incertidumbre de hallar una meta y luego poder regresar, con los primeros vuelos espaciales, y se efectuaban, precisamente, para conseguir un cargamento de pimienta o de canela u otro tipo de especias.

Los famosos navegantes, como Bartolomé Días, que en 1187 rodeó el África y halló el camino a la India; como Cristóbal Colón, que en 1492 puso pie en América, y como Magallanes, que en 1519-20 dio la vuelta al mundo, buscaban un nuevo camino para poder llevar a Europa las especias, productos vegetales propios de las regiones de clima cálido y húmedo. Aunque parezca extraño, en esa época tales productos representaban la mercadería más solicitada y valiosa. Durante largo tiempo se usaron como moneda.

HISTORIA: Durante el Medioevo, los más aprovechados «intermediarios» en el comercio de las especias fueron los árabes. Éstos, desde ía India y desde China, las transportaban a las costas orientales del Mediterráneo, donde las vendían a ios mercaderes europeos.

Los mayores comerciantes de especias fueron los venecianos. Pero en el curso del siglo XV los negocios comenzaron a ir mal, porque los turcos habían ocupado las costas orientales del Mediterráneo y fijaban los precios por sí mismos; además, sometidos a una autoridad central, única y arbitraria, eran más rígidos y temían ser sorprendidos aceptando soborno. Durante cierto tiempo hubo escasez de especias y los precios subieron considerablemente. El país que lograba conseguirlas, para luego revenderlas, tenía el bienestar asegurado.

En el siglo XVI los portugueses lograron, navegando alrededor de África, ilegar a las indias, y como este nuevo camine no era obstaculizado por los turcos, arrebataron la supremacía comercial a Venecia, que había basado su comercio en el soborno de los emires musulmanes.

POR QUÉ ERAN TAN SOLICITADAS

Para comprender por qué fueron los hombres del Medioevo los primeros en introducir las especias, haciendo de ellas un gran consumo, hay que tener en cuenta sus condiciones de vida.

En esos siglos, por la escasez de forrajes en el invierno, la mayor parte del ganado era sacrificado a principios del otoño y su carne conservada en salazón o ahumada. Así, durante el invierno, la carne salada representaba el alimento principal, completado con unas pocas clases de verdura, porque la mayoría de las hortalizas eran desconocidas.

Para hacer más agradable esa comida monótona y en realidad poco apetitosa, se acostumbraba aromatizarla con grandes cantidades de especias. La cocina resultaba, así, mucho más fuerte que en nuestros días: se gustaba de los condimentos a base de especias. Su uso, difundido tanto entre los ricos como en las clases pobres, explica en parte el enorme consumo de estos productos. Otra razón era la necesidad de atenuar el gusto a salvajina de las carnes de caza.

POR QUÉ TIENEN UN SABOR Y UN PERFUME TAN INTENSOS
La palabra «especia» significa aroma. En efecto, su característica común es la de contener especiales sustancias orgánicas en estado oleoso (llamadas «aceites etéreos»), que son muy sabrosas y perfumadas, las cuales se volatilizan con facilidad y se difunden en el aire, perfumándolo intensamente. Cuando las especias son rociadas sobre los alimentos, esos aceites se difunden, confiriéndoles su particular aroma.

POR QUÉ SON AGRADABLES
Cuando notamos el perfume agradable de un plato, o aunque sólo veamos un manjar apetecido, experimentamos que «se nos hace agua la boca». Y ello no es tan sólo un modo de decir, porque los órganos del olfato y de la vista, a través del sistema nervioso, excitan las glándulas salivales, estimulándolas y haciendo segregar saliva. Se trata de un «acto reflejo» con el cual el organismo parece decirnos: «estoy preparado para recibir el alimento; sentémonos a la mesa y buen provecho».

Lo mismo sucede durante la masticación de un alimento aromatizado con las especias: las partículas aromáticas entran en contacto con las células gustativas de la lengua; se origina una fuerte sensación del gusto, que por medio del sistema nervioso estimula una mayor salivación.

POR QUÉ FACILITAN LA DIGESTIÓN: Las sustancias contenidas en las especias tienen la propiedad de dilatar los vasos capilares sanguíneos y, en consecuencia, provocar una mayor irrigación de sangre en los órganos con los cuales se ponen en contacto.

Debido a ello, las glándulas del estómago que segregan el jugo gástrico, y las del intestino que segregan los jugos entéricos, cuando son estimuladas por las especias producen una mayor cantidad de jugos. Simultáneamente, las fibras musculares del tubo digestivo, como consecuencia de la mayor irrigación sanguínea, adquieren más fuerza y aumentan el ritmo de trabajo, es decir, el ritmo de sus contracciones.  Naturalmente, esto facilita la digestión.

He ahí por qué colocando una justa dosis de especias en los alimentos, aunque comamos un poco más de lo habitual, no sentimos pesadez de estómago. Por el contrario, podemos advertir una sensación de satisfacción, y a veces de ligera euforia, porque algunas especias poseen también la propiedad de ocasionar en quien las ingiere un efecto equivalente al de una ligera ebriedad.

POR QUÉ HAY QUE HACER DE ELLAS UN USO MODERADO:

Siendo las especias estimulantes de numerosas funciones orgánicas, deben ser consumidas con criterio. El hígado es, entre nuestros órganos, el que puede ser más dañado por un consumo excesivo y continuado de especias. Una intoxicación por especias puede manifestarse, precisamente, en forma de una inflamación del hígado, cólicos en el estómago y, a veces, en los casos más graves, vómitos y diarreas.

LA ESPECIAS MAS COMUNES:

CANELA O CINAMOMOCinnamomum zeylánicum«; familia: lauráceas). Es un pequeño árbol de hojas siempre verdes. Alrededor de los seis años de edad, la planta alcanza su desarrollo completo y está lista para ser utilizada. Se tala el árbol a ras de tierra; tronco y ramas se cortan en segmentos y se separa la corteza, es decir, la parte utilizada como droga. Ésta, rallada para quitarle la parte suberosa (de corcho), es cortada en pedazos, enrollada en cilindros y hecha secar a la sombra.

VAINILLA («Vanilla planifolia»; familia: orchidáceas). La parte utilizada es el fruto, y el aroma se desarrolla después de una fermentación bastante complicada.La vainilla es originaria de América tropical. Actualmente es cultivada en México, en Brasil y en las islas de Java y Madagascar.

ANÍS («Pímpinella anisum»; familia: umbelíferas). Es una planta parecida a la cicuta, que’florece a fines de la primavera. Originaria de Egipto, se cultiva también en algunos países europeos para obtener sus frutos, muy aromáticos, que se usan como condimento y para fabricar licores. No debe confundirle con el «anís estrellado» de uso análogo, que es el fruto de árboles magnoliáeeos de China y Japán.

CÁPSICO O PIMIENTOCápsicum annuum«; familia: solanáceas).  El  pimiento, originario de América   tropical,  es  ampliamente cultivado en  otras  zonas  de  clima   cálido   y  templado. Entre las plantas aromáticas es la más difundida  y  cultivada, ya sea como alimento o como condimento. También es usada en medicina.

JENGIBREZingíbe  officinale«; familia: zingiberáceas). El rizoma es usado en perfumería. A la misma familia pertenece el cardamomo («Elettaria cardamómum»).

PIMENTERO («Pipernigrum»; familia: piperáceas). Es un arbusto trepador con fruto en forma de pequeña baya, colorado, que contiene una semilla rugosa (parte utilizada). El fruto recogido aún no maduro suministra la pimienta negra. Recogido maduro y descortezado, nos da la pimienta blanca, que es menos picante. Es cultivado en los países cálidos, sobre todo en el Archipiélago Malayo, en las Indias Orientales y en Sudamérica. Los primeros en conocerlo en Europa fueron los griegos, pero, por su elevadísimo precio, su uso como droga se difundió sólo después del siglo XVI.

AZAFRÁN («Crocus sativus«; familia: iridáceas). Se lo cultiva para utilizar los estambres, empleados en Medicina y coma condimento.

CLAVEROEugenia caryophyllata«; familia: mirtáceas). Es un árbol de 10 a 20 metros de alto. Se recogen los capullos de sus flores antes da que la córela se abra y se hacen secar. Son los «clavos de olor» del comercio. Una planta en plena producción puede dar de 5 a 10 kilogramos de clavos de olor. De la China y de la india, esta planta fue introducida en Europa alrededor del siglo VI.

MOSTAZA: el nombre científico de la familia de las Crucíferas es Cruciferae, cuyo género representativo es Brassica. La col silvestre es la especie Brassica oleracea; la mostaza negra, Brassica nigra; la mostaza blanca, Brassica hirta (y también Sinapis alba); la mostaza verde, Brassica juncea variedad crispifolia; y la mostaza silvestre, Brassica kaber. Utilizada antiguamente para la cura del reumatismo, la bronquitis y tos ferina. También usada como condimento.

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miselaneas de la historia

Miscelánea: según la definición del diccionario de la lengua española, «es una mezcla de cosas de distinto origen o tipo», y justamente este concepto es el que se aplica hoy esta página, en donde podrá encontrar explicaciones de los mas variados e inconexos temas ,pero interesantes como para ampliar nuestra cultura general.