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Formula del Vértice de una Parabola Cuadrática Ejemplo Online

Fórmula del Vértice de una Parábola Cuadrática: Ejemplo Online

La función general de segundo grado y = ax² + bx+c  representa gráficamente en el plano cartesiano una parábola.

Asignando valores reales a la variable independiente x para obtener los valores de la variable dependiente y, podemos graficar sobre un par de ejes coordenados la curca parabólica.

Por Ejemplo:
—    Elaborar el gráfico de la función:      y  =   x² — 2 x — 2.

En donde según la fórmula general, los coefecientes son: a=1, b=-2 , c=-2

Se elabora la siguiente tabla:

x-3-2-10123
y1361-2-3-21

LLevando estos puntos a plano cartesiano, se tiene la siguiente curva:

grafica parábola

Se puede graficar desde aquí

Para calcular el vértice de cualquier parabola, usamos la siguiente fórmula:

formula vertice parabola cuadrática

Fórmula General Vértice Parabola Cuadrática

Para el caso que venimos estudiando es:

Coordenada X=(-(-2)/2.1)=1

Coordenada Y=(-(-2)²/4.1)-2)=-3

Coordenadas del vértice es: V(1,-3)


Formula del Vértice de una Parabola Cuadrática Ejemplo Online

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Importancia del Rozamiento Para Nuestra Vida Diaria en la Tierra

Importancia del Rozamiento Para Nuestra Vida Diaria en la Tierra

Si no existiera rozamiento:  Sin rozamianto no pudieramos caminar, no pudieramo tomar una taza de café, y menos aún comer,…la fuerza de rozamiento se presenta todos los días a nuestro alrededor de diversas e inesperadas formas.

El rozamiento toma parte muy importante incluso allí donde nosotros ni lo sospechamos.

Si el rozamiento desapareciera repentinamente, muchos de los fenómenos ordinarios se desarrollarían de formas completamente distintas.

El papel del rozamiento fue descrito de una manera muy pintoresca por el físico francés Guillaume: «Todos hemos tenido ocasión de salir a la calle cuando ha helado.

!Cuánto trabajo nos ha costado evitar las caídas! ¡Cuántos movimientos cómicos tuvimos que hacer para poder seguir en pie!.

Esto nos obliga a reconocer que, de ordinario, la tierra por que andamos posee una propiedad muy estimable, gracias a la cual podemos conservar el equilibrio sin gran esfuerzo.

Esta misma idea se nos ocurre cuando vamos en bicicleta por un pavimento resbaladizo o cuando un caballo se escurre en el asfalto y se cae.

Estudiando estos fenómenos llegamos a descubrir las consecuencias a que nos conduce el rozamiento.

Los ingenieros procuran evitar el rozamiento en las máquinas, y hacen bien.

En la Mecánica aplicada se habla del rozamiento como de un fenómeno muy pernicioso, y esto es cierto, pero solamente dentro de los límites de un estrecho campo especial.

En todos los demás casos debemos estar agradecidos al rozamiento.

El nos da la posibilidad de andar, de estar sentados y de trabajar sin temor a que los libros o el tintero se caigan al suelo o de que la mesa resbale hasta toparse con algún rincón o la pluma se nos escurra de entre los dedos.

El rozamiento es un fenómeno tan difundido que, salvo raras excepciones, no hay que pedirle ayuda; él mismo nos la ofrece.

El rozamiento da estabilidad.

Los albañiles nivelan el suelo de manera que las mesas y las sillas se quedan allí donde las ponemos.

Si sobre una mesa colocamos platos, vasos, etc., podemos estar tranquilos de que no se moverán de sus sitios, a no ser que esto ocurra en un barco cuando hay oleaje.

Imaginémonos que el rozamiento se puede eliminar por completo.

En estas condiciones, los cuerpos, tengan las dimensiones de una peña o las de un pequeño granito de arena, no podrán apoyarse unos en otros: todos empezarán a resbalar o rodar y así continuarán hasta que se encuentren a un mismo nivel.

Si no hubiera rozamiento, la Tierra sería una esfera sin rugosidades, lo mismo que una gota de agua.»

A esto podemos añadir, que si no existiera el rozamiento los clavos y los tornillos se saldrían de las paredes, no podríamos sujetar nada con las manos, los torbellinos no cesarían nunca, los sonidos no dejarían de oírse jamás y producirían ecos sin fin, que se reflejarían en las paredes sin debilitarse.

Arriba, un trineo cargado sobre un camino de hielo; dos caballos arrastran una carga de 70 toneladas. Abajo, el camino de hielo; A, carril; B, deslizaderas del trineo; C, nieve apisonada; D, fundamento de tierra de la carretera

Las heladas nos dan siempre buenas lecciones de la gran importancia que tiene el rozamiento.

En cuanto nos sorprenden en la calle nos sentimos incapaces de dar un paso sin temor a caernos.

Como muestra instructiva reproducimos las noticias que publicaba un periódico en una ocasión (en diciembre de 1927):

«Londres, 21: Debido a la fuerte helada, el tráfico urbano y tranviario se ha hecho muy difícil en Londres. Cerca de 1 400 personas han ingresado en los hospitales con fracturas de brazos y piernas».

«Cerca del Hyde Park chocaron tres automóviles y dos vagones del tranvía. Los automóviles resultaron totalmente destruidos por la explosión de la gasolina …»

«París, 21. La helada ha ocasionado en París y sus alrededores numerosos accidentes …»

Y sin embargo, el hecho de que el hielo ofrezca poco rozamiento puede ser útil para fines técnicos.

Un ejemplo son los trineos ordinarios.

Otra demostración aun más convincente son los llamados caminos de hielo, que se hacían para transportar los leños desde el lugar de la tala hasta el ferrocarril o hasta el punto de lanzamiento a un río para su transporte por flotación.

Por estos caminos , que tienen una especie de raíles lisos helados, un par de caballos puede arrastrar un trineo cargado con 70 toneladas de troncos.

Fuente: Yakov Perelman –  Física Recreativa

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La Fuerza de Gravedad, es Grande?:Valor de la Fuerza de Atraccion

LA FUERZA DE GRAVEDAD, ¿CUÁN GRANDE ES?…

¿Es grande la fuerza de la atracción?: «Si la caída de los cuerpos no fuera una cosa que vemos a cada instante, sería para nosotros el fenómeno más asombroso», escribía el célebre astrónomo francés Arago.

La costumbre hace que el hecho de que la Tierra atraiga a todos los cuerpos nos parezca un fenómeno natural y ordinario.

Pero cuando se nos dice que los cuerpos también se atraen entre sí nos resistimos a creerlo, porque en las condiciones normales de nuestra vida no vemos nada semejante.

Efectivamente, ¿por qué en torno nuestro no se manifiesta constantemente, en las circunstancias normales, la ley de la atracción universal?.

¿Por qué no vemos cómo se atraen entre sí las mesas, las sandías, las personas?.

Porque cuando los objetos son pequeños la fuerza de atracción que ejercen es muy pequeña.

Citaré un ejemplo ilustrativo.

Dos personas que se encuentren a dos metros de distancia entre sí se atraen mutuamente, pero la fuerza de esta atracción es insignificante.

Suponiendo que estas dos personas tienen un peso medio, la atracción será de 1/100 de miligramo.

Esto quiere decir que estas dos personas se atraen mutuamente con la misma fuerza con que una pesita de 1/100.000 de gramo presiona sobre el platillo de una balanza.

Solamente las balanzas de extraordinaria sensibilidad de los laboratorios de investigación pueden apreciar un peso tan insignificante.  


La atracción del Sol hace que se curve la trayectoria de la Tierra E. La inercia hace que el planeta tienda a seguir la línea tangente ER

Claro está que esta fuerza no puede hacer que nos movamos del sitio, puesto que lo impide el rozamiento entre las suelas de nuestros zapatos y el suelo.

Para que nos movamos, estando sobre un suelo de madera, por ejemplo (la fuerza de rozamiento entre las suelas de los zapatos y el suelo será en este caso igual al 30% del peso de nuestro cuerpo) hace falta que sobre nosotros actúe una fuerza mínima de 20 kg.

Resulta cómico comparar esta fuerza con la de una centésima de miligramo, que es la que ejerce la atracción. Un miligramo es la milésima parte de un gramo, y un gramo es la milésima parte de un kilogramo; por lo tanto, 0,01 mg. será… ¡la mitad de la mil millonésima parte de la fuerza necesaria para hacer que nos movamos del sitio!.

Siendo así, ¿qué tiene de particular que, en condiciones normales, no nos demos ni la más leve cuenta de la atracción entre los cuerpos terrestres?

Si no existiera el rozamiento sería otra cosa; entonces nada impediría que hasta la más leve atracción provocara la aproximación de los cuerpos entre sí.

Pero en este caso la aproximación mutua de dos personas producida por una fuerza de atracción de 0,01 mg sería también muy lenta, es decir, se realizaría con una velocidad insignificante.

Por medio de cálculos se puede demostrar que, si no existiera rozamiento, dos personas situadas a 2 m de distancia se aproximarían entre sí (por influjo de la atracción mutua) 3 cm durante la primera hora, 9 cm durante la segunda y 15 cm durante la tercera.

El movimiento de aproximación se iría acelerando, pero las dos personas no llegarían a juntarse antes de cinco horas.

La atracción entre los cuerpos terrestres se puede notar en aquellos casos en que la fuerza de rozamiento no es un obstáculo, es decir, cuando los cuerpos no se mueven.

Un peso colgado de un hilo se halla sometido a la atracción de la Tierra (por eso el hilo está dirigido verticalmente), pero si cerca de este peso se encuentra un cuerpo cuya masa sea grande, aquél será atraído por éste y el hilo se desviará ligeramente de su posición vertical y tomará la dirección de la resultante entre la atracción de la Tierra y la del cuerpo, que será relativamente muy pequeña.

La desviación de una plomada en las proximidades de una gran montaña fue observada por vez primera en el año 1775 en Escocia, por Maskelyne, quien comparó la dirección de dicha plomada con la del polo celeste, por los dos lados de una misma montaña.

Posteriormente se realizaron otros experimentos más perfectos, utilizando balanzas especiales, que permitieron determinar exactamente la fuerza de la atracción.

Como hemos visto, la fuerza de la atracción entre masas pequeñas es insignificante.

A medida que aumenten las masas crece la atracción proporcionalmente al producto de éstas.

Pero hay algunas personas propensas a exagerar esta fuerza.

Hasta un científico, aunque no físico, sino zoólogo, intentó demostrarme en una ocasión que la atracción que suele observarse entre los barcos se debe a la atracción universal.

Por medio de cálculos no es difícil demostrar que la atracción universal no tiene nada que ver con esto.

Dos navíos de línea de 25.000 tn. cada uno que se encuentren a 100 m de distancia entre sí se atraerán mutuamente con una fuerza total de… 1400 g.

Lógicamente esta fuerza es incapaz de producir el más mínimo acercamiento entre dichos barcos.

La causa verdadera de la misteriosa atracción que existe entre los barcos es otra, que explicaremos en el capítulo dedicado a las propiedades de los líquidos.

Pero la fuerza de atracción, que es tan insignificante entre masas pequeñas, se hace muy sensible cuando se trata de masas tan colosales como las de los cuerpos celestes.

Baste decir que incluso un planeta tan alejado de nosotros como Neptuno, que gira casi en el límite del sistema solar, nos manda su «saludo» atrayendo a la Tierra con una fuerza de… ¡18 millones de toneladas!.

A pesar de la enorme distancia que nos separa del Sol, la Tierra se mantiene en su órbita gracias a su atracción.

Si la atracción que ejerce el Sol desapareciera por cualquier causa, la Tierra, siguiendo una dirección tangencial a su órbita actual, se lanzaría a recorrer eternamente la profundidad insondable del espacio cósmico.

Medición de la Fuerza de la Gravedad

Fuente Yakov Perelman- Física Recreativa

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Variacion de la Presion Con La Altura:Formula y Ejemplo

Variacion de la Presion Con La Altura – Formula y Ejemplo

Variacion de la Presion Con La Altura - Formula y Ejemplo


En los artículos anteriores hemos viajado mentalmente por las entrañas de la Tierra.

Nos ha ayudado a realizar estos viajes la fórmula que relaciona la presión del aire con la profundidad.

Ahora vamos a tener el valor de remontarnos a las alturas y aplicando esta misma fórmula veremos como varía la presión del aire en ellas.

En este caso la fórmula toma el aspecto siguiente:

p= 0,999 h/8


donde p es la presión en atmósferas y h es la altura en metros.

El número decimal 0,999 ha sustituido al 1,001, porque cuando nos trasladamos hacia arriba 8 m la presión no aumenta en 0,001, sino que disminuye en 0,001.

Para empezar resolvamos el problema siguiente:

¿A qué altura hay que elevarse para que la presión del aire se reduzca a la mitad?.

Para esto haremos p =0,5 en nuestra fórmula y buscaremos la altura h .

Tendremos la ecuación:

0,5 = 0,999 h/8


cuya resolución no presenta dificultades para los lectores que sepan manejar los logaritmos.

La respuesta h =5,6 km determina la altura a la cual la presión del aire debe reducirse a la mitad.

Sigamos subiendo tras los valerosos aeronautas soviéticos que en los estratostatos «URSS» y «OAX – 1» establecieron en 1933 y 1934 respectivamente los records del mundo de altura, el primero con una marca de 19 km y el segundo con la de 22 km.

Estas altas regiones de la atmósfera se hallan ya en la llamada «estratosfera».

Por esto, los globos en que se realizaron estas ascensiones no se llaman aeróstatos, sino estratostatos.

Calculemos cuál es la presión atmosférica a esas alturas.

Para la altura de 19 km hallamos que la presión del aire debe ser : 

0,999 19.000/8 = 0,095 atm = 72 mm.


Para los 22 km de altura

0,999 22.000/8 = 0,066 atm = 50 mm.


Pero si leemos las notas de los «estratonautas» veremos que a las alturas antedichas se indican otras presiones.

A 19 km de altura la presión era de 50 mm y a la de 22 km, de 45 mm.

¿Por qué no se cumplen los cálculos?.

¿En qué consiste nuestro error?

La ley de Mariotte para los gases es perfectamente aplicable a estas presiones tan bajas.

Pero cometimos un error al considerar que la temperatura del aire es igual en todo el espesor de los 20 km, cuando en realidad desciende notablemente al aumentar la altura.

Se considera que, por término medio, la temperatura desciende 6,5° por cada kilómetro de elevación.

Así ocurre hasta los 11 km de altura, donde es igual a 56° bajo cero. Después, durante un espacio considerable permanece invariable.

Si tenemos en cuenta esta circunstancia (para esto no son suficientes los procedimientos de las matemáticas elementales), se obtiene un resultado que concuerda mucho mejor con la realidad.

Por esta misma razón, los resultados de los cálculos que antes hicimos, relativos a la presión del aire a grandes profundidades, también deben considerarse solamente como aproximados.

Para terminar debemos decir que el «techo» alcanzado por el hombre ahora es mucho más alto.

Muchos aviones fabricados en serie vuelan ya a 25-30 kilómetros de altura.

Ya en el año 1961 los aviadores soviéticos establecieron el récord del mundo de altura con una marca de 34,7 km.  

Fuente Yakov Perelman Física Recreativa

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La Vida En El Interior de una Mina Profunda:Presión y Temperatura

La Vida En El Interior de una Mina profunda:Presión y Temperatura

mina profunda

Ver: Descarga de los Libros de Física y Matemática Curiosa de Perelman

¿Quién ha llegado más cerca del centro de la Tierra? (En realidad, no en las novelas.) Los mineros, naturalmente.

Ya sabemos  que la mina más profunda se encuentra en Africa del Sur.

Su profundidad es mayor de 3 km.

Al decir esto tenemos en cuenta no la penetración de los taladros de perforación de pozos, que han alcanzado hasta 7,5 km, sino las profundidades a que han penetrado los propios hombres.

El escritor francés, doctor Luc Durtain que visitó un pozo de la mina Morro Velho, cuya profundidad es de cerca de 2.300 m, escribía:

«Los célebres yacimientos auríferos de Morro Velho se encuentran a 400 Km. de Río de Janeiro. Después de 16 horas de viaje en tren por sitios montañosos, descendemos a un valle profundo rodeado por la selva. Una compañía inglesa explota aquí filones auríferos a una profundidad a la que antes nunca había descendido el hombre.»

El filón va oblicuamente hacia abajo.

La mina lo sigue formando seis pisos.

Pozos verticales y galerías horizontales.

Un hecho que caracteriza extraordinariamente a la sociedad contemporánea es que la mina más profunda que se ha abierto en la corteza terrestre, el intento más intrépido hecho por el hombre para penetrar en las entrañas de la Tierra, es para buscar oro.

Póngase la ropa de trabajo de lona y la cazadora de cuero. Tenga cuidado; cualquier piedrecita que caiga por el pozo puede herirle.

Nos va a acompañar uno de los «capitanes» de la mina.

Entra usted en la primera galería.

Está bien iluminada. Un viento helado a 4° le hace temblar; es la ventilación para refrigerar las profundidades de la mina.

Después de descender en una estrecha jaula metálica por el primer pozo hasta una profundidad de 700 m, llega usted a la segunda galería. Baja usted por el segundo pozo.

El aire está caliente.

Ya está usted más bajo que el nivel del mar.

A partir del pozo siguiente el aire quema la cara.

Sudando a chorros y agachado, porque el techo es bajo, avanza usted en dirección al ruido de las máquinas perforadoras.

Envueltos en un polvo denso trabajan unos hombres semidesnudos; el sudor chorrea por sus cuerpos; las botellas de agua pasan de mano en mano.

No toque usted los trozos de mineral recién desprendidos, están a 57° de temperatura.

¿Y para qué esta realidad tan espantosa y abominable?… Cerca de 10 kilogramos de oro al día …»

Al describir las condiciones físicas que existían en el fondo de la mina y el grado de explotación a que estaban sometidos los mineros, el autor francés menciona la alta temperatura pero nada dice de que la presión del aire fuera grande.

Calculemos cuál será esta presión a 2.300 m de profundidad.

Si la temperatura fuera la misma que en la superficie de la tierra, de acuerdo con la fórmula que conocemos, la densidad del aire aumentaría en

(1,001) 2.300/8 = 1,33 veces.

Pero en realidad la temperatura no permanece invariable, sino que se eleva.

Por esto la densidad del aire no aumenta tanto, sino menos.

En definitiva, tenemos que la diferencia entre la presión del aire en el fondo de la mina y en la superficie de la tierra no es más que un poco mayor que la que existe entre la del aire caliente del verano y la del aire frío del invierno.

Por esto se comprende que esta circunstancia no llamase la atención del visitante de la mina.

En cambio tiene mucha importancia la notable humedad del aire a estas mismas profundidades, que hace que la permanencia en ellas sea insoportable cuando la temperatura es alta.

En una de las minas de Africa del Sur (Johannesburg), de una profundidad de 2.553 m, a 50° de temperatura la humedad llega al 100%; en esta mina se instaló lo que se llama «clima artificial».

La acción refrigerante de esta instalación equivale a 2.000 t de hielo.  

Fuente Consultada: Física Recreativa de Yakov Perelman

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El Mar Muerto, Donde Nadie Se Ahoga:Caracteristicas del Agua

El Mar Muerto, Donde Nadie Se Ahoga:Caracteristicas del Agua

El Agua Salada del Mar Impide Sumergirse y  No Es Posible Ahogarse

Este mar existe y se encuentra en un país que conoce la humanidad desde los tiempos más remotos.

Se trata del célebre Mar Muerto de Palestina. Sus aguas son extraordinariamente saladas, hasta tal punto que en él no puede existir ningún ser vivo.

El clima caluroso y seco de Israel hace que se produzca una evaporación muy intensa en la superficie del mar. Pero se evapora agua pura, mientras que la sal se queda en el mar y va aumentando la salinidad de sus aguas.

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Ver: Descarga de los Libros de Física y Matemática Curiosa de Perelman

Esta es la razón de que las aguas del Mar Muerto contengan no un 2 ó 3 por ciento (en peso) de sal, como la mayoría de los mares y océanos, sino un 27 o más por ciento.

Esta salinidad aumenta con la profundidad.

Por lo tanto, una cuarta parte del contenido del Mar Muerto está formada por la sal que hay disuelta en el agua.

La cantidad total de sal que hay en este mar se calcula en 40 millones de toneladas.

La gran salinidad del Mar Muerto determina una de sus peculiaridades, que consiste en que sus aguas son mucho más pesadas que el agua de mar ordinaria. Hundirse en estas aguas es imposible.

El cuerpo humano es más liviano que ellas.

El peso de nuestro cuerpo es sensiblemente menor que el de un volumen igual de agua muy salada y, por consiguiente, de acuerdo con la ley de la flotación, el hombre no se puede hundir en el Mar Muerto, al contrario, flota en su superficie lo mismo que un huevo en agua salada (aunque en el agua dulce se hunde).

Mark Twain estuvo en este lago-mar y después escribió humorísticamente las extrañas sensaciones que él y sus compañeros experimentaron bañándose en sus aguas:

«Fue un baño muy divertido.

No nos podíamos hundir.

Se podía uno tumbar a lo largo sobre la espalda y cruzar los brazos sobre el pecho y la mayor parte del cuerpo seguía sobre el agua.

En estas condiciones se podía levantar la cabeza por completo.

Se puede estar tumbado cómodamente sobre la espalda, levantar las rodillas hasta el mentón y abrazarlas con las manos.

Pero en este caso se da la vuelta, porque la cabeza resulta más pesada.

Si se pone uno con la cabeza hundida y los pies para arriba, desde la mitad del pecho hasta la punta de los pies sobresale del agua; claro que en esta posición no se puede estar mucho tiempo.

Si se intenta nadar de espaldas no se avanza casi nada, ya que las piernas no se hunden en el agua y sólo los talones encuentran apoyo en ella. Si se nada boca abajo no se va hacia adelante, sino hacia atrás.

En el Mar Muerto el equilibrio del caballo es muy inestable, no puede ni nadar ni estar derecho, inmediatamente se tumba de costado».

En la figura de abajo se puede ver un bañista que descansa comodísimamente sobre las aguas del Mar Muerto.

El gran peso específico del agua le permite estar en esta posición, leer el libro y protegerse con la sombrilla de los ardientes rayos del Sol.

El agua de Kara-Bogas-Gol (golfo del Mar Caspio) tiene estas mismas propiedades y las del lago Eltón no son menos saladas, puesto que contienen un 27% de sal.

Un bañista en el Mar Muerto.  Mar Muerto, lago salino situado entre Israel, Cisjordania y Jordania. Con una profundidad oficial que alcanza los 408 m bajo el nivel del mar (según unas mediciones realizadas en 2006, alcanzaría los 418 m), se considera el lugar más bajo de la tierra emergida, sin tener en cuenta la sima antártica Bentley, cubierta hoy día por hielo.

Algo parecido sienten los enfermos que toman baños salinos.

Cuando la salinidad del agua es muy grande, como ocurre, por ejemplo, con las aguas minerales de Staraia Russa, los enfermos tienen que hacer no pocos esfuerzos para mantenerse en el fondo del baño.

Yo he oído como una señora que tomó los baños de Staraia Russa se quejaba de que el agua «la echaba materialmente fuera del baño». Según ella la culpa de esto la tenía … la administración del balneario.

El grado de salinidad de las aguas de los distintos mares oscila un poco y a esto se debe que los barcos no se sumerjan en ellas hasta un mismo sitio.

Algunos de nuestros lectores habrán visto el signo que llevan los barcos cerca de la línea de flotación, llamado «marca de Lloyd», que sirve para indicar el nivel límite de la línea de flotación en aguas de distinta densidad.

en agua dulce (Fresh Water)

FW

en el Océano Indico (India Summer)

IS

en agua salada en verano (Summer)

S

en agua salada en invierno (Winter)

W

en el Atlántico del norte en invierno (Winter North Atlantik)

WNA

 

 

Antes de terminar este artículo quiero advertir que existe una variedad de agua que aún estando pura, es decir, sin contener otros cuerpos, es sensiblemente más pesada que la ordinaria.

Este agua tiene un peso específico de 1,1, es decir, es un 10% más pesada que la común, por consiguiente, en una piscina con agua de este tipo lo más probable es que no se ahogue nadie, aunque los que se bañen no sepan nadar.

Este agua se llama agua «pesada» y su fórmula química es D 2 0 (el hidrógeno que entra en su composición está formado por átomos dos veces más pesados que los del hidrógeno ordinario.

Este hidrógeno se designa con la letra D.

El agua «pesada» se encuentra disuelta en el agua común en cantidades muy pequeñas.

Un cubo de agua potable contiene cerca de 8 g de agua «pesada».  

Disco de carga máxima en el costado de un buque. Las marcas se hacen al nivel de la línea de flotación. Para que se vean mejor se muestran aparte aumentadas. El significado de las letras se explica en el texto.

El agua pesada de fórmula D2O (hay 17 tipos de agua pesada, cuyas composiciones son distintas) se obtiene actualmente casi pura, puesto que la cantidad de agua ordinaria que hay en ella constituye aproximadamente un 0,05%.

Este agua se emplea mucho en la técnica atómica, especialmente en los reactores atómicos.

Se obtiene en grandes cantidades del agua ordinaria por procedimientos industriales

Fuente: Yakov Perelman – Física Recreativa

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Para Trabajar Online

NOTA: Esta no es una aplicación profesional, solo fue pensada para ejercitación de los estudiantes y funciona correctamente. Solo debe hacer una mínima práctica de ejemplo para entender su funcionamiento y el orden del ingreso de las coordenadas y de cargas, ya que de lo contrario dará error, en tal caso debe reiniciar esta página.

Explicación de la Tabla Periodica de los Elementos Quimicos: Facil y Simple

Explicación de la Tabla Periódica de los Elementos Químicos: Tabla de Mendeleiev

El estudio del átomo llevó a establecer algunas propiedades de los elementos químicos, que al ser comparadas con las de otros elementos, observaban similitudes, ofreciendo posibilidad de clasificación.

• ►Explicación Simple y Práctica de la Tabla

tabla de los elementos quimicos

Haz Clic Para Ver La tabla Grande

Para entender la explicación de la organización de los elementos quimicos debes ampliar la tabla de arriba

El átomo de hidrógeno (número atómico = 1) posee un electrón de corteza girando alrededor del núcleo.

Todos los demás son múltiplos de esta unidad atómica; sólo se diferencian en el número de electrones que giran alrededor del núcleo y en el número de partículas que constituyen el núcleo.

El número atómico expresa la cantidad de electrones que posee la corteza del átomo del elemento correspondiente.

La masa atómica (calculada en base a carbono = 12) (número que figura en la parte inferior de cada rectángulo) es ei valor promedio entre las masas atómicas de los diversos isótopos de un mismo elemento.

Las masas atómicas que figuran entre paréntesis expresan el número de masa del isótopo más estable o más común del respectivo elemento.

Los rectángulos de cada’columna vertical o grupo contienen alineados verticalmente los átomos de igual comportamiento.

El número romano que encabeza cada columna expresa el número de electrones que posee la órbita más externa u órbita de valencia, que en ningún caso es superior a ocho.

Los grupos I, II y III (marcados en azul) incluyen los átomos electropositivos (que engendran bases).

Los grupos V, VI y VII (marcados en rojo) incluyen los átomos electronegativos (que engendran ácidos).

El número de fila o serie de ordenamiento horizontal se denomina período. Dicho número indica el número de órbitas, las cuales se designan con las letras K, L, M, N, O, p y Q.

Cada serle indica un piso electrónico más que el anterior.

Calor específico es el calor necesario para elevar en un grado centígrado la temperatura de un gramo de átomo.

Potencial normal de un elemento es el que éste toma cuando está en contacto con una solución normal de sus iones a 25° C y presión normal (760 mm).

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Esquema basico de un átomo

Explicación de la Tabla Periodica de los Elementos Quimicos – BIOGRAFÍAS e  HISTORIA UNIVERSAL,ARGENTINA y de la CIENCIA

Historia de la Orgaización de los Elementos Químicos

Durante el siglo XIX Se acrecentó el interés por encontrar la manera de clasificar los elementos.

En 1869 el profesor de química de la universidad de San Petersburgo Dmitri Ivánovich Mendeléievun hombre liberal, feminista y excéntrico (sólo se cortaba el cabello una vez al año)— tuvo bastantes altercados con el gobierno zarista.

Dmitri Ivánovich MendeléievBiografia de Mendeleiev Dimitri Historia de la Tabla Periodica

Y el «memorándum» que distribuyó entre sus colegas en 1869 no impidió que el gobierno lo enviara varias veces al extranjero.

Se trataba sólo de un pequeño cuadro en el que los 63 elementos químicos conocidos aparecían ordenados por sus pesos atómicos, en orden creciente, y colocados de manera que los que tenían propiedades químicas parecidas estuvieran en una misma columna.

La extraña periodicidad que esta disposición revelaba parecía totalmente arbitraria, máxime cuando Mendeléiev había hecho algunos apaños, corrigiendo ciertos pesos atómicos para que cuadraran o dejando huecos poco verosímiles.

En 1869 el químico ruso Dimitri Mendeleyev ideó un ingenioso catálogo de los elementos, la tabla periódica.

Observó que los elementos parecen distribuirse en familias, que se repiten periódicamente, con propiedades químicas semejantes.

Siguiendo este criterio, anotó el símbolo químico y el peso atómico de todos los elementos conocidos y los ordenó, según su peso, en orden de menor a mayor; también colocó los elementos con propiedades semejantes en columnas verticales.

De este modo formó un esquema, una especie de mapa donde los elementos aparecen ordenados en familias verticales y en períodos horizontales.

El hidrógeno, el más ligero de los elementos, ocupa un lugar algo apartado del conjunto, debido a sus propiedades especiales.

En tiempo de Mendeleiev se creía que el átomo era indivisible, pero el descubrimiento de los rayos X y de la radiactividad provocaron la primera duda.

Actualmente sabemos que el átomo está constituido por tres clases principales de partículas: protones, neutrones y electrones.

Protones y neutrones constituyen el núcleo del átomo.

Los electrones, que giran en órbita alrededor del núcleo, determinan las propiedades químicas y, en consecuencia, la situación de los elementos en la tabla periódica.

A la izquierda de la tabla aparecen representaciones simplificadas de los átomos de los elementos pertenecientes a la familia de los metales alcalinos; sobre la misma se hallan los elementos del segundo período.

Esquema Elemetal Composición del Atomo

El Atomo Para Niños y Principiantes Explicación Sencilla

Adviértase que todos los metales alcalinos poseen un solo electrón en la órbita externa; precisamente esta estructura similar es causa de su semejanza en las propiedades químicas.

En el segundo período la situación es completamente diferente.

Aunque cada átomo tiene dos órbitas, varía el número de electrones de la exterior.

La diferencia de estructura provoca la diferencia de propiedades.

Según crece el número de electrones de la órbita exterior, las propiedades varían de izquierda a derecha, es decir, de los metales a los metaloides.

Cuando se completan los ocho electrones posibles de la órbita exterior (neón), concluye el segundo período.

El sodio, que inicia el tercer período, posee una órbita más con un electrón.

Los períodos aumentan y se hacen más complejos a medida que crece el número de órbitas.

También aumenta el número de electrones en las órbitas sucesivas.

Los átomos pesados son los menos estables: todos los elementos posteriores al bismuto, cuyo número atómico es 83, son radiactivos.

Los elementos reciben un nombre que responde en algúnos casos a raíces latinas, y en otro en honor a la persona que los descubre.

Éstos se abrevian en símbolos, si tiene una sola letras deberá, ser mayúscula y si lo componen dos, la primera mayúscula y la segunda minúscula por ejemplo nitrógeno (N) y sodio (Na), respectivamente.

PRIMERAS CLASIFICACIONES DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS:

• Las tríadas de Dobereiner:

En 1829, Dobereiner, químico alemán, clasificó los elementos conocidos.

Agrupaba tres elementos con características observables similares.

La clave de esta forma de organización era el hecho de que para uno de los elementos que formaban el grupo, la masa era el valor promedio de las masas de los tres elementos, por ejemplo (Li, Na, K) cuyas masas son 7, 23, y 39 gramos respectivamente.

Si sumas los tres datos y los divides entre el número de elementos (3) te da exactamente el valor de la masa del Na, el cual se ubica en la mitad.

Clasificación dispendiosa y no muy exacta para nuevos elementos.

• Octavas de Newlands:

En 1864, Newlands, químico inglés, clasificó los elementos en grupos de ocho, por lo que se conocen como octavas de Newlands.

Esta clasificación hacía alusión al término de periodicidad, ya que según la teoría, las propiedades de algunos elementos conocidos se repetían cada ocho elementos y básicamente las organizó en orden ascendente de sus pesos atómicos.

• Mendeleiev y Meyer:

• La Tabla Periódica:

En 1869 Dimitri Mendeleiev, químico ruso, retoma los estudios realizados anteriormente y basándose también en propiedades periódicas de los elementos, los organiza por orden de pesos atómicos ascendentes y, con algunas propiedades más, agrupó los elementos por familias en las que incluyó a los elementos con mayor cantidad de similitudes.

Paralelamente Meyer, físico alemán, realizaba estudios basado en los mismos principios, pero añadió estudios de algunas propiedades físicas, que también resultaron ser periódicas, tales como el radio atómico.

El gran aporte de Mendeleiev es la base de la tabla periódica actual, ya que dejó los espacios para elementos aún no descubiertos, que respondían a sitios vacíos en la tabla periódica.

REGIONES DE LA TABLA PERIÓDICA

La tabla periódica esta dividida a nivel general en metales y no metales.

Sin embargo, hay otra diferenciación, que la divide en regiones, división basada en los subniveles energéticos que ocupan los electrones del ultimo nivel.

Así la tabla periódica está dividida en la región s, la región p, la región d y la región f.

Por ejemplo, en la región s se ubican los elementos cuyos electrones finalicen su distribución en el subnivel s.

En esta sección nos ocuparemos de las regiones d y f de la tabla periódica, correspondientes a los elementos de transición.

• Elementos de transición

Los átomos de los elementos siempre tienden a ser estables energéticamente, por lo cual ceden, comparten o pierden electrones.

Esta estructura estable coincide cuando en su último nivel hay ocho electrones, pero en el caso de este grupo particular de elementos, se suspende el llenado del último nivel para completar primero el penúltimo nivel.

Por esta razón aunque los demás elementos de la tabla periódica tiendan a realizar sus enlaces utilizando los electrones del último nivel de energía, éstos lo hacen tanto con los electrones del último nivel, como con los del penúltimo.

Se caracterizan además, por poseer gran cantidad de estados de oxidación, es decir, que involucran diferentes cantidades de electrones para intervenir en un enlace, lo que hace que formen varios compuestos.

Los elementos que pertenecen a este grupo especial, son los pertenecientes a los lantánidos, actínidos y tierras raras.

• Electronegatividad

Si se analizan las propiedades de los elementos químicos, también se puede establecer que hay periodicidad teniendo en cuenta la electronegatividad de los elementos químicos, que básicamente es la tendencia que tienen los átomos de atraer o captar electrones; son ejemplo de ello el oxígeno y el cloro, ya que la electronegatividad aumenta en un periodo de izquierda a derecha y en un grupo de abajo hacia arriba.

Y si localizas estos dos elementos se ubican en los lugares más electronegativos de la tabla periódica.

Este concepto fue establecido por L. Pauling, quien determinó valores de electronegatividad para cada uno de los elementos; algunos ejemplos se muestran en la tabla que sigue:

NaMgAlPClFBrIAtFr
0.91.21.52.13.04.02.82.52.20.7

Por otra parte y como compensación, existe otro grupo de átomos que tiende a perder los electrones, siendo estos los electropositivos. Por ejemplo el sodio y el calcio al poseer solamente 1 y 2 electrones, respectivamente, en su último nivel tienden a cederlos.

De esta manera empieza también a evidenciarse la afinidad entre ellos, dado que el átomo que tiende a capturar se complementaría en un enlace químico con uno que tienda a ceder o perder electrones.

• Valencia

Para establecer de qué manera los átomos se relacionan, es necesario saber la cantidad de electrones que un átomo puede atraer (ganar), ceder (perder) o compartir con otro átomo, concepto que se conoce con el nombre de valencia.

La ilustración, muestra la forma como se relacionan dos átomos de dos elementos, para formar un compuesto: el átomo de sodio pierde un electrón, es decir su valencia es 1 y el átomo de cloro gana 1 electrón, entonces su valencia también es 1.

En síntesis, la valencia es el poder de combinación de un elemento con otro, dado por los electrones del último nivel.

• Enlace

La unión entre los átomos se denomina enlace, que es una fuerza de atracción lo suficientemente intensa como para permitir que los átomos involucrados funcionen como una unidad.

Se realiza básicamente entre los electrones del ultimo nivel de energía y se produce cuando las fuerzas de atracción superan las de repulsión, clasificándose, según la manera de establecer la unión.

Así pues:

Enlace iónico: se origina cuando un átomo cede y otro captura los electrones.

Enlace covalente: se origina cuando los átomos involucrados comparten sus electrones, dado que tienen la misma fuerza de atracción.

tabla periodica de mendeleiv

TABLA ACTUAL CON PESOS ATÓMICOS APROXIMADOS

N° AtómicoNombre ElementoSímbolo
Protones
N° ElectronesPeso Atómico
1hidrógenoH101,0
2helioHe224,0
3litioU346,9
4berilioBe459,0
5boro65610,8
6carbonoC6612,0
7nitrógenoN7714,0
8oxígeno08816,0
9flúorF91019,0
10neónNe101020,2
11sodioNa111223,0
12magnesioMg121224,3
13aluminioAl131427,0
14silicioSi141428,1
15fósforoP151631,0
16azufreS161632,1
17cloroCl171835,5
18argónA182239,9
19potasioK192039,1
20calcioCa202040,1
21escandioSe212445,0
22titanioTi222647,9
23vanadioV232850,9
24cromoCr242852,0
25manganesoMu253054,9
26hierroFe263055,8
27cobaltoCo273258,9
28níquelNi283058,7
29cobreCu293463,5
30cincXn303465,4
31galioGa313869,7
32germanioSe324272,6
33arsénicoAs334274,9
34seienioSe344679,0
35bromoBr354479,9
36criptónKr364883,8
37rubidioRb374885,5
38estroncioSr385087,6
39itrioY395088,9
40zirconioZr405091,2
41niobioNb415292,9
42tnolibdenoMo425695,9
43tecnecioTe4356(99)
44rurenic-Ru4458101,1
45rodioRh4558102,9
46paíadioPd4660106,4
47plataAg4760107,9
; 48cadmioCd4866112,4
49indioIn4966114,8
50estañoSn5070118,7
51antimonioSb5170121,8
52teluroTe5278127,6
53yodo15374126,9
54xenónXe5478131,3
55cesioCs5578132,9
56barioBaS682137,3
57laura noLa5782138,9
58ceñoCem82140,1
59 praseodimioPr5982140,9
60neodimioNd6082144,2
61prometióPm6186(147)
62samarloSm6290150,4
63europioEu6390152,0
64gadolinioGd6494157,3
65terbioTb6594158,9
66disprosíoDy6698162,5
67holmioHo6798164,9
68erbioEr6898167,3
69tuiioTm69100168,9
70iterbioYb104173,0
71lutecioLu71104175,0
72hafnioHf72108178,5
73tantalioTa73108180,9
74volframioW74110183,9
75renioRe75112186,2
76osmioOs76116190,2
77iridioIr77116192,2
78platinoPt78117195,1
79oroÁu79118197,0
80mercurioH980122200,6
81íalioTI81124204,4
82plomoPb82126207,2
83bismutoBi83126209,0
84pofonioPo84125(299)
85astatinoAt85125(210)
86radónRn86136(222)
87francioFr87136(223!
88radíoRa88138(226,0)
89actinioAc89138(227)
90torioTh90142(232,0)
91protactinioPa91140(231)
92uranioU92146(238,0)
93neptunioNp93144(237)
94plutonioPu94150(244)
95americioAm95148(243)
96curioCm96151(247)
97berkelioBle97152(249)
98californioCf?8151(249)
99einstenioEs99155(254)
100fermioFm100153(253)
101mendelevioMd101155(256)
102nobelioNo102152(254)
103laurencioLw103154(257)

• ►ALGO MAS…

EL GENIO INTRÉPIDO

A fines del siglo pasado flotaba ya en la atmósfera científica la idea de que al ordenar los elementos por peso atómico creciente aquellos de propiedades químicas comparables reaparecían en forma periódica.

Por ejemplo, la serie alcalina litio-sodio-potasio-rubidio-cesio, o los halógenos flúor-cloro-bromo-yodo (algunos fueron descubiertos después).

Pero, a pesar de que en los más livianos dicha repetición tenía lugar de ocho en ocho y en los más pesados cada dieciocho elementos, había muchas lagunas y contradicciones.

Dimitri Mendeleiev elaboró una tabla en cuyas casillas se ordenaban en forma horizontal los pesos atómicos y vertical las «familias» de elementos químicamente similares.

Mendeleiev

Ver Una Biografia y Su Obra Cientifica

Pero en su época se conocían menos de 45 cuerpos simples de los 103 que hoy forman la tabla periódica.

El mérito capital del sabio ruso consistió en considerar que las fallas y vacíos del cuadro no eran imputables a éste, sino a los químicos que aún no habían descubierto el elemento destinado a intercalarse en el lugar que se le reservaba.

Así Mendeleiev vaticinó sin errores el peso atómico probable de varios elementos desconocidos, sus propiedades químicas esenciales y hasta las probables combinaciones naturales en cuyo interior se ocultaban.

Hubo dificultades.

Fue necesario invertir, sin razón plausible, el potasio y el argón (hoy sabemos que una variedad de este último posee un neutrón más en su núcleo).

Tampoco se sabía que la primera órbita periférica del átomo se satura con dos electrones (hidrógeno-helio), la siguiente con ocho, etc.

Pero a pesar de su carácter empírico y sus enormes carencias, lo tabla de Mendeleiev resultó un armo prodigiosa para lo investigación científica y fue inmenso su buen éxito.

Fuente Consultada: Enciclopedia NUEVO Investiguemos Ciencia Integrada Tomo 3

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Historia de la Quimica y sus Etapas Evolutivas
Berzelius Jacobo Creador del Lenguaje Cientifico
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Biografia de Lavoisier Antoine Descubrimientos en la Quimica

Enlace Externo:La tabla periódica de los elementos químicos

Los tres problemas geometricos famosos de los griegos

Los Tres Problemas Geométricos
Más Famosos De La Antigüedad

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Problema 1:Duplicación de un Cubo   Problema 2: Trisecar un Angulo   Problema 3:Cuadrar Un Circulo

LOS PROBLEMAS GRIEGOS

Introducción:

Vale la pena de hablar de los tres problemas que mas preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a construirse racionalmente.

Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver… ni nosotros tampoco.

La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles.

Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir «resolver un problema» que es, precisamente, lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de la Matemática actual y de la historia de esta ciencia como por la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento pura convencerles de su error.

En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que no tiene solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y en segundo lugar, hay que distinguir entre la posibilidad y la resolubilidad de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la no solubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble.

La resolución de un problema consiste esencialmente en reducirlo a otro ya resuelto, y, por tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométricas que, para los griegos, eran la regla y el compás: únicos aparatos de su actividad matemática hasta el punto de que no concedían carta de naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos distintos de aquéllos.

Con la regla se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas no paralelas, y, en, general, los problemas de primer grado, es decir: los que, expresados en lenguaje analítico, sólo contienen la primera potencia de la incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las de paralelismo, longitudes de segmentos, valores angulares, etc., es irresoluble con la regla; con el compás es posible describir una circunferencia de centro y radio dados, o de centro dado y que pase por un punto dado, y determinar los puntos comunes a dos circunferencias secantes, y, por último, con la regla y el compás son resolubles muchísimos problemas siempre que su expresión algebraica sólo contenga raíces cuadradas.

Modernamente se ha demostrado que la regla y el compás se pueden sustituir por una regla de bordes paralelos; pero esto no lo sabían los griegos ni lo saben tampoco los actuales cultivadores de la Matemática patológica.

El culpable de la imposibilidad de construir un cuadrado y un circulo con el mismo área es el número pi, el famoso 3,1416. Claro que no termina ahí, sino que tiene infinitos decimales.

Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones -lo que se conoce como números racionales-.

Por este motivo, el área de un cuadrado, lado por lado, nunca puede ser igual a la de un círculo, pi por el radio al cuadrado.

Ver: El Numero Pi

Fuente Consultada: Breve Historia de la Geometría – Francisco Vera

Problemas de Fisica De Yakov Perelman Problemas Para Pensar

Problemas de Física De Yakov Perelman: Problemas Para Pensar

1-El Problema de la Plataforma:

Una persona de 60 kg de peso (600 N) se encuentra sobre una plataforma de 30 kg (300 N),  suspendida mediante cuatro cuerdas que pasan por unas poleas como muestra la figura. ¿Con  qué fuerza la persona debe tirar del extremo de la cuerda a para sostener la plataforma donde se encuentra?

2-El Problema de la Curvatura:

¿Qué esfuerzo hay que aplicar a una soga tendiéndola para que no se curve?

¿Cómo hay que tender la cuerda para que no forme comba?

3-El Problema de las Pesas:

Una polea suspendida de una balanza de resorte sostiene una cuerda con sendas pesas, de 1 kg y 2 kg, en los extremos.

¿Qué carga marca el fiel del dinamómetro?

Ejemplos de Problemas Matematicos Elementales Para Razonar

Ejemplos de Problemas Matematicos Elementales Para Razonar

Hace unos cuantos años este sitio nació pensando en la difusión de nuestra historia nacional argentina, y la de otros temas históricos que tuvieran alguna relación directa con lo acontencido en nuestro país.

Mas tarde se fueron incrementando poco a poco decenas de nuevos temas , hasta que un día inicié como novedad la publicación de distintos tema científicos pero vistos desde una perspectiva histórica evolutiva.

Los temas científicos son fascinantes y son los cimientos de la evolución tecnológica de la humanidad. Desde aquella primera chispa que generó el fuego, pasando por la maravillosa rueda de los primitivos carros, luego la brujula, la imprenta y hoy los viajes espaciales, es una historia que no deja de sorprenderme y que creo que también a tí te ocurre lo mismo.

Temas tan amplios y cautivadores como la electrónica, la biotecnología, la nanotecnologia , la genética y la informática se han iniciado alguna vez desde un nivel «cero» partiendo de alguna «loca idea» rectora para ir luego sumando nuevos experimentos, investigaciones y descubrimientos.

Lo interesante es que todos ellos tienen algo en común, y es que en todas esas especialidades científicas los primeros pasos se han apoyado en herramientas tan básicas y elementales como las que estudiamos en la primaria y la secundaria.

Ocurre que gran parte de esas herramientas que aprendimos, despúes por alguna razón las hemos dejado en algun rincón de nuestras «cabezas».

La educación es una gran caja de herramientas que luego cada uno utiliza las que mejor se adecuan a sus actividades, pero de todas maneras, a veces no viene mal volver a verlas, a recordarlas o a estudiarlas , aunque sea solo por una curiosidad, o bien para ayudar a nuestros peques que necesitan una mano, o para que nos sirvan a nosotros mismos.

Y de eso se trata este post, que ha sido dividido por ahora en cuatro partes, simplemente por la comodidad para bajar la pagina, pues las cuatro partes son muy similares.

Se plantean una serie de ejercicios básicos sobre temas variados, como geometría, área de figuras, volúmenes de cuerpos, curiosidades matematicas de los números, algunos conceptos físicos como la velocidad, la palanca, o el famoso empuje del gran Arquímedes.

No son problemas de ingenio, ni capciosos, ni rebuscados, solo problemas elementales para razonar juntos un poco, para usar nuestra intuición o pensamiento abstracto y recurriendo a aplicara aquellas herramientas que alguna vez la aprendimos, pero a lo mejor hoy, están olvidadas.

Las primeras fichas son un pequeños repaso simple de conceptos como unidades de medida, potencia, raiz, etc. y luego se presentan distintas cuestiones matemáticas para que intentes pensarla y resolverla.

Todos tienen explicada una solución, también tú puedes presentar otra, porque los caminos en la ciencias son diversos, no importa por donde vayas, mientras que uses las reglas correctamente , cada cual va por el camino que quiere, lo importante el llegar al resultado correcto o aproximado.No todos llegamos de primera a una solución exacta.

Salvando las diferencias, pienso que un ejemplo mas claro de esto, es la actual carrera de decenas de la laboratorios de todo el mundo en que cada uno hace su propia investigación y recorre el camino que mejor le parece para obtener una vacuna eficaz contrar este nuevo virus que nos ha cambiado la vida.

►Unidades de Medidas Mas Comunes

El hombre desde sus primeros pasos en la Tierra debió contar y medir, para contar uso sus dedos y para medir alguna parte de su cuerpo (ver ficha de abajo). Actualmente usamos un sistema llamado Sistema Internacional de Unidades, abreviado S.I., también denominado Sistema Internacional de Medidas, y es el heredero del antiguo sistema métrico decimal, por lo que el S.I. también es conocido de forma genérica como sistema métrico.

Para medir usamos el METRO y sus submúltiplos y múltiplos. En una dirección decimos [metro], en dos dimensines es [metro cuadrado – m²] , y en tres dimensiones [metro cúbico – m³]. Son las medidas de longitud, superficie y volumen.

ejemplos de problemas matematicos simples para pensar
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► Recordando Otras Unidades

Obviamente hay otros sistema de medición, que también vienen de la antiguedad, pero tiene menos uso. Medidas como PIE, YARDA, PULGADA, etc. Lo importante es que recuerdes que 1 pulgada vale: 2,54 cm. o que 1 Pie= 31 cm. (aprox.). Para medir el TIEMPO , usamos un sistema llamado SEXAGESIMAL, es decir cada unidad está dividida en 60 partes. Por ejemplo 1 hora, tiene 60 minutos, y 1 minuto tiene 60 segundos.

ejemplos de problemas para matematicos simples para pensar
bullet

►Sumas, Potencia, Area y Perímetro:

Son todos estos (y hay algunos mas) conceptos elementales para que vayas recordando, por ejemplo cuando restas un numero menor a otro mayor y la suma es negativa.

Una forma fácil de entenderlo es pensando que esos números representan dinero, entonces si restas 43 – 50, significa que DEBES 50 Y SOLO TIENES 43 PESOS, LA RESTA SE HACE COMO SIEMPRE PERO COMO QUEDAS DEBIENDO SE COLOCA UN SIGNO NEGATIVO, el resultado es: -7

Vemos también otras unidades como la de PESO Y VOLUMEN. Para el peso usamos unidades como el GRAMO, KILOGRAMO Y TONELADA. Para el volumen se usa (ya hablamos antes) el cm³,dm³,m³…Lo importante es recordar que 1dm³ es igual a 1LITRO, O TAMBIEN 1000 cm³ valen 1 dm³ o 1 litro.

ejemplos de problemas para matematicos simples para pensar
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► El Famoso Teorema de Pitágoras:

Seguro que lees Pitágoras y dice de primera el «versito» de su famosa fórmula. En todo triángulo rectangulo los catetos salen (o se unen) siempre en el ángulo recto (90º). La hipotenusa siempre está enfrente de ese ángulo. Una vez que identificas a los catetos y la hipotenusa, simplemente los reemplazas en la fórmula.

Puede ocurrir que como datos tenga el valor de un cateto y el de la hipotenusa, entonces de la fórmula original, debes despejar un término. De esta manera la fórmula será: a²=c²-b² , observa que para hallar un cateto ahora simplemente hay que restar el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa. Solo hice un simple pasaje de términos.

ejemplos de problemas para matematicos simples para pensar
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► Area de un Triángulo: Fórmula de Herón

Siempre cuando hablamos del área de un triángulo, sabemos de momoria que es igual a: base por altura dividido 2. Pero muchas veces pasa que no tenemos la altura, entonces podemos recurrir a un gran formula llamada de HERON, que permite hallar la superficie de cualquier triángulo sin conocer su altura. Simplemte se halla su perímetro ( la suma de los tres lados), se lo divide por 2. Esa medida llmada «s» se pone adentro de la raíz. Haz la prueba y verás que es muy simple.

ejemplos de problemas para matematicos simples para pensar
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►Perímetro y Area Un Círculo:

Cuando interviene Pi siempre aparecen las confusiones, no?…no hay mucho para hacer, solo memorizar ambas formulitas. El perímetro es igual a PI x diámetro , o también, como el diámetro vale: 2 radios se puede escribir: PI.2.r . Bien ahora para la superficie es PI. r² . Por lo tanto acuerdate que para el perímetro el 2 va a abajo y para la superficie el 2 va arriba.

Problema:

ejemplos de problemas para matematicos simples para pensar
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►Cuerpos Simples: Cubo y Esfera

Vivimos en un mundo tridimencional, vivimos rodaados de cuerpos, o de volúmenes, y es común determinar dicho volumen o la superficie lateral de esos cuerpos. Desde niño lo aprendimos en la escuela. La unidad es con el 3 arriba , osea metro cubico, centímetro cúbico, etc. Por ejemplo hallar el volumen de la piscina para determinar los productos a colocarle en su mantenimiento.

Problema:

Ejemplos de Problemas Matematicos De La Vida Diaria
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►Empecemos a Pensar

La idea es aplicar esas fórmulas a nuestro planeta y tener conciencia de lo grande que es y a la vez tratar de memorizar alguna dimension de perímetro o diámetro, que vale casi 13.000 Km.

Problema:

Ejemplos de Problemas Matematicos De La Vida Diaria
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►La Regla de 3 Simple «Directa»

Esta regla, creo que es DE ORO en la vida, porque la vivimos usando, muchas veces la hacemos mentalmente, pero se usa muy seguido. Solo hay que saber si es directa o indirecta, para saber como multiplcamos los valores o los datos. Es directa, si cuando aumentamos o disminuimos una variable, la otra (incognita) también aumenta o disminuye. Por ejemplo si quieres calcular la cantidad de madera para construir varios muebles, y resulta que luego tienes que construir mas muebles, significa que la cantidad de madera también aumentará entonces este calculo de 3 simple es DIRECTO.

Problema:

Ejemplos de Problemas Matematicos De La Vida Diaria
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►Regla de 3 Simple «Indirecta»

Igual que el caso anterior, pero observa bien como se ponen los valores para hallar la X. Lee la ficha , y enseguida lo entenderas.

Problema:

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►Regla de 3 Compuesta

Hay un video en youtube que explica en minutos y muy fácil como se hace, aqui tienes el problema explicado para ir pensandolo. También hay que ver si es una relación directa o indirecta, aprender eso y listo, son todos problemas simples. Ver El Video

Problema:

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► El Porcentaje:

También todos los días se nos presenta un problema de este tipo, y se resuelve con regla de 3 simple. Sigue este ejemplo para aprender a resolverlo, luego todos los demas porcentajes se obtienen de la misma forma.

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►Mas Porcentaje…

Aquí se presenta el cálculo al revés, es decir, tienes el porcentaje y debes determinar cúanto es ese valor. Como regla práctica siempre multiplica el porcentaje/100 por, por ejemplo, el importe o precio del producto. Te dicen 8%, haz 0,08 x precio, te dicen 34%, haz 0,34 por el importe,…Ejemplo: Un TV cuesta 20.000 y te descuenta 15% por pago contado, haz 0,15 x 20.000= 3000 pesos de descuento.

Problema:

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►Volúmenes de Cuerpos Populares

En estos cuerpos regulares, porque tiene una base circular o poligonal (triangulo, cuadrado, rectangulo, pentagono, etc.) la fórmula del volumen SIEMPRE ES LA MISMA, superficie de la base por la altura. Acuerdate que la unidad es cúbica, y es cúbica porque multiplicas tres veces la unidad lineal, por ejemplo [m].[m].[m]=[m³]

Problema:

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►La Importancia de la Actividad Cerebral

ENVEJECIMIENTO CEREBRAL:

El envejecimiento puede afectar a la inteligencia fluida, ya que los mensajes entre las células nerviosas se tornan más lentos y, por lo tanto, también es más lento el tiempo de reacción.

La intensidad de la carencia es muy variable.

A medida que transcurre el tiempo, la declinación de la inteligencia puede incluir a más y más personas, pero no las abarca a todas.

Por ejemplo, entre cien personas de cuarenta años, veinte de ellas quizá declinen intelectualmente.

A los cincuenta años, tal vez declinen otras treinta, y así sucesivamente. Pero hay algunas que nunca manifiestan síntomas de decadencia intelectual.

¿Por qué? Es indudable que la salud y los factores hereditarios tienen mucho que ver en ello, pero también influye el sostenido ejercicio intelectual.

En fecha reciente, un grupo de investigadores que trabajan con animales, ha demostrado que el aprendizaje fortalece la transmisión nerviosa y cambia las propiedades físicas de las terminaciones nerviosas.

Tienen la certeza de que lo mismo ocurre con los seres humanos, y que gran parte de las carencias atribuidas a la edad son en realidad la consecuencia de la falta de estímulo de los nervios relacionados con el aprendizaje.

Estudios realizados en el Centro de Investigación de Gerontología del Instituto Nacional del Envejecimiento de Baltimore demuestran que el trabajo intelectual sostenido preserva y mejora las funciones orgánicas de los ancianos.

Si se le enseñan nuevas tretas a un perro viejo, se estimula su funcionamiento mental.

También prolonga su vida. Un estudio realizado a lo largo de doce años con un grupo de sujetos demostró que existe una correlación entre el mantenimiento del vigor intelectual y la capacidad para sobrevivir.

Además, los ejecutivos que realizan tareas que exigen una inteligencia aguda no muestran, al envejecer, los síntomas de debilitamiento del sistema nervioso que se observa en los obreros que envejecen.

Inversamente, cuando se anulan el estímulo y la motivación, la capacidad cognitiva disminuye y hasta puede acortarse la vida.

¿Qué puede usted hacer para mejorar su capacidad de aprendizaje, su memoria y su cognición?

En primer lugar, tenga en cuenta la relación existente entre concentración, atención, estado de alerta, memoria y organización. La concentración es, por definición, la capacidad de centrar el esfuerzo y nuestra facultad mental en un tema.

Cuando usted presta atención, observa y vigila. Cuando está alerta, se halla preparado para entrar en acción. Y cuando organiza, ordena las cosas de una manera sistemática.

Emplea todas las capacidades mencionadas para registrar y evocar recuerdos.

Aunque todavía queda mucho por aprender respecto del almacenamiento y recuperación de los recuerdos, los siguientes ejercicios han demostrado, a lo largo de los años, su efectividad para fortalecer ese sistema maravilloso que empleamos para recordar.

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Enlace Externo:• 10 Webs para Resolver Ecuaciones de Matemáticas

Fórmula Matemática de la Belleza Universal:Los Cambios Estéticos

Fórmula Matemática de la Belleza Universal

Dr. ARMANDO GONZÁLEZ ROMERO

Es posible que las ciencias físicas permitan algún día a nuestros descendientes establecer las concomitancias y condiciones físicas exactas de la extraña emoción llamada belleza. Pero si ese día llega,  la emoción subsistirá lo mismo que ahora fuera del radio de acción del mundo físico. –Thomas Henry  Huxley- (1825-1895).

Huxley, biólogo inglés defensor de las teorías de Darwin, escribió entre otras muchas cosas un libro titulado «Ciencia y Cultura». 

En su frase anterior hace  alusión precisa  a los componentes de la “extraña emoción llamada belleza”;  por un lado expresa su deseo de que la ciencia nos permita establecer las condiciones físicas exactas que hacen bella a una creación.

En su contexto profetiza que la emoción subsistirá pese a que la belleza sea reducida al campo del mundo físico. 

De acuerdo con Huxley, tenemos entonces  en la belleza dos elementos constitutivos:

1, Un elemento objetivo: los atributos físicos que como tales, confieren una forma a la materia, y por ende puede ser medida con exactitud.

2, Un elemento subjetivo: que origina el sentimiento de placer o deleite en el sujeto que observa esa creación.

Este personal “sentimiento” o emoción no se puede medir y su intensidad depende de la sensibilidad de quién ve, de quién oye, de quién  huele, del que toca, en suma de aquél que con  sus órganos de los sentidos  percibe la belleza en una obra de la naturaleza, incluida por supuesto, la naturaleza humana.

Esto pude ser un atardecer, el canto de un ave, el aroma de una rosa o la delicada piel del sujeto amado.

O bien las creaciones del hombre: una ecuación  matemática, una pintura, una escultura, una sinfonía, una poesía o un rostro bello. 

En síntesis, para comprender lo que es la belleza necesitamos del conocimiento físico, o mejor dicho de la Física como ciencia que se expresa con matemáticas y el lenguaje de estas son los números y las ecuaciones.

Para sentir la belleza necesitamos nuestros órganos sensoriales para captar la esencia de las cosas y transformar, en nuestro cerebro, el estímulo puramente físico en deleite espiritual.  

Como atributos físicos de las cosas bellas están la armonía, la proporción y la simetría.

Toda la Creación esta imbuida de estas características.

Aún en algo tan desagradable como las moscas, o los artrópodos parásitos o los venenosos arácnidos existen las mismas proporciones armónicas que presentan los bellos insectos como las mariposas, las aves, y los mamíferos incluido por supuesto el hombre.

Ya  Darwin (1809-1892) en su célebre obra “El origen de las Especies por medio de la selección natural” (1859) descubre como evolucionan los organismos a partir de un esquema biológico bien definido hasta llegar al hombre, cúspide de la pirámide evolutiva.

Pero, después de todo: ¿Qué es la belleza? 

Según el diccionario1  la belleza es la  “propiedad de las cosas que nos hace amarlas, infundiendo en nosotros  deleite espiritual.” 

Para Edgar Alan Poe, “la belleza de cualquier clase, en su manifestación suprema, excita invariablemente el alma sensitiva hasta hacerle derramar lagrimas”2 , suponemos que de placer.

Aquí el “alma sensitiva” adquiere la connotación del sujeto sensible que es capaz de emocionarse en grado supremo.

Solemos decir que un individuo tiene bellos sentimientos, o que una cosa o persona es bella por sus atributos físicos; los sentimientos son manifestaciones del espíritu. Por lo tanto la belleza es espiritual y física.

“Si tienes belleza y nada más, has conseguido el mejor invento de Dios.” 3 

Pero acaso Dios nos permite indagar en los misterios de su creación?  ¿Existirán pistas para descubrir su mejor invento, la belleza? 

Einstein refiriéndose a los misterios del Universo dijo alguna vez : “Yo solo deseo conocer los pensamientos de Dios… el resto son detalles… “ y cuando menos, con esos “detalles” pudo revolucionar la física aportando sus pensamientos y estos, transformados en lenguaje matemático, escribió  sus fórmulas que han permitido a los científicos acercarse al origen del Universo con todas sus espléndidas bellezas. 

Entonces, ¿existe acaso una fórmula que determine a la belleza?

Y si existe, ¿es su aplicación limitada  solo a un grupo de cosas,  o puede aplicarse a toda la Creación en general? 

Ó,  ¿ es la belleza  englobada en la disciplina Estética, un concepto filosófico abstracto, elusivo a la conmensuración?

Las interrogantes anteriores son las cuestiones básicas sobre las que pretendo desarrollar este ensayo. Iniciaré por la última.  

1.  ALGUNOS CONCEPTOS FILOSOFICOS DE LA ESTETICA.

 En su más alto y profundo significado, Estética es la filosofía de la belleza y el arte.

Al igual que nosotros, los antiguos filósofos griegos se preguntaron ¿Qué es la belleza?,      ¿ existe lo bello en sí y es objetivo y mensurable?,  o solo un sujeto especialmente dotado puede percibir la belleza, siendo esta por tanto un puro ideal subjetivo.  

La “estética” cuya etimología griega aisthetikós deriva de aisthesis = sensación, fue en su origen, un concepto metafísico platónico. 

Aristóteles determinó como propiedad de lo bello, el orden, la simetría y la delimitación. 

Posteriormente  casi todos los filósofos se han cuestionado sobre el sentimiento estético; entre ellos destaca Kant. Este dividió su famosa obra “Critica de la razón pura” en la estética y la lógica trascendentales. Estudia en la primera las condiciones de la intuición o conocimiento sensible.

Para Kant la belleza es formal, y solo es bello lo que es objeto de un universal placer.

Lo cierto es que la belleza es un predicado del juicio sintético a priori que el hombre relaciona a un objeto o a una abstracción que surgida del intelecto, le causa una emoción estética  al contemplarlo o percibirlo por cualquiera de los sentidos. 

Pero ¿Qué es la emoción estética?.

Es un sentimiento agradable, puro, desinteresado que afecta armónicamente a todas las facultades humanas: sensitivas, intelectivas y morales.

Como contraparte existen conceptos opuestos a lo bello como son: lo feo, lo grotesco o lo ridículo.

Desde sus orígenes, el ser humano a confrontado su espíritu con el mundo que le rodea y en consecuencia ha creado la “cultura”.

Esta comprende la ciencia, el arte y los valores morales.

El objeto de la ciencia es conquistar la verdad; el arte anhela expresar la belleza y la moral tiene como meta la justicia. Luego se crea la Filosofía para indagar y explicar la “cultura”. 

Huntley 3 establece que la capacidad para apreciar la belleza es un don humano y por lo tanto que nos distingue de los animales y sugiere encontrar el origen en el Génesis I, v. 26: “ Y Dios dijo: hágase al hombre a nuestra imagen y semejanza”. Aquí según él, se encuentra la pista, porque el hombre al parecerse a su Creador, a nacido para crear: procrear, y crear cultura dentro de la cual, como dijimos, está la belleza. 

Para muchos filósofos la profunda satisfacción espiritual que se origina en el acto creador de valores reales, se encuentra la razón de la existencia humana que está impulsada por su amor a la belleza, innata en todos nosotros. 

Guzmán Leal 4 señala qué:  “la belleza se divide en absoluta y relativa: la belleza absoluta es la que se encuentra en Dios, fuente manantial de donde se deriva toda la belleza creada; llámase absoluta porque no hay en ella mezcla de imperfección alguna.

La belleza relativa es la que resplandece en los seres finitos y limitados de la Creación y se divide en: natural y artificial o artística; la primera es la que brilla en los objetos de la naturaleza sin intervención del ser humano, y la artificial o artística se debe al ingenio del hombre”.

En esta última se incluyen por supuesto todas las manifestaciones creativas del espíritu, representadas por las artes, entre las que se encuentra la medicina y la cirugía, ciencia y arte apasionantes a las que nos dedicamos.

En éstas encaja la cirugía plástica, pues es realizada por un cirujano escultor que modela la materia viviente.

En este sentido, la cirugía plástica es un procedimiento quirúrgico que se ejecuta en un individuo que desea mejorar su apariencia y por lo tanto el cirujano  pretende  sobrepasar los límites normales de una estructura determinada, para llevarla a un grado superior de proporción, armonía y belleza.  

2. PITAGORAS, LOS NUMEROS, LA GEOMETRIA Y EL ESOTERISMO. 

Es indudable que existen individuos dotados de mayor sensibilidad para intuir lo bello y establecer así, las normas o cánones de belleza, lo mismo en un pensamiento que en las matemáticas, en la música o en cualquiera de las artes.

Uno de estos prohombres fue Pitágoras

Él concebía la Creación como un ordenamiento basado en los números y la geometría y afirmó que la esencia de todas las cosas era el número, es decir el  orden mensurable y como gran filósofo y matemático que fue, trato de adaptar el conocimiento a los números.

De su geometría y de sus matemáticas, se deriva la fórmula intrínseca de la proporción, componente elemental de la belleza.

Pitágoras (c.582-497 A.C.) incluido entre los siete sabios de Grecia,  ejemplifica con su legado filosófico y científico el esplendor de la antigua Hélade. De origen jonio, nació en la isla de Samos aproximadamente en el año 582 antes de Cristo.

A los veinte años de edad, había conocido a Tales y Anaximandro en Mileto, pero habiendo oído hablar del saber prodigioso de los sacerdotes egipcios y de sus misterios formidables, decidió partir para Egipto con el objetivo de hacerse iniciar por los sacerdotes de Memphis, en los tiempos del faraón Amasis .

Allí pudo profundizar las matemáticas sagradas, la ciencia de los números o de los principios universales, que fue el centro  de su sistema filosófico y que después formuló de manera nueva.

“La ciencia de los números y el arte de la voluntad son las dos claves de la magia, decían los sacerdotes de Memphis; ellas abren todas las puertas del universo” 4 

Su iniciación duró veintidós años bajo el pontificado del sumo sacerdote Sonchis.

Luego vino la invasión y conquista de Egipto por Cambises, rey de los persas y los medos, e hijo de Ciro el Grande, al que sucedió en el trono entre  528 y 522 a. C.

Déspota y cruel, Cambises después de decapitar a miles de egipcios, destierra a Pitágoras a Babilonia junto con una parte del sacerdocio egipcio. Aquí tiene contacto con los herederos de Zoroastro y con los sacerdotes de tres religiones diferentes: la caldea, la persa  y la judía lo que le permite a Pitágoras ensanchar su horizonte filosófico y científico. Después de esto, sabía mas que cualquiera de sus contemporáneos griegos.

Había podido comparar las ventajas e inconvenientes del monoteísmo judío, del politeísmo griego, del trinitarismo indio y del dualismo persa. Sabía que todas esas religiones eran rayos de una misma verdad.

Después de doce años de internamiento en Babilonia, tenía la clave del conocimiento esotérico, es decir, la síntesis de todas esas doctrinas.

Era pues tiempo de volver a Grecia después de treinta y cuatro años, a cumplir su misión. 4 

Pitágoras se dirige a Delfos, localizada al pie del monte Parnaso.

Aquí se encontraba el templo de Apolo, famoso por sus oráculos que emitía por mediación de la pitia o pitonisa. 

En este templo Pitágoras transmitió sus conocimientos y preparó a los sacerdotes y a la gran pitonisa Teoclea enseñándoles los secretos de su doctrina. Después de un año entero, el maestro partió hacia Crotona, ciudad localizada al sur de Italia, en Calabria.

En los tiempos de Pitágoras, el sur de Italia, incluyendo la isla de Sicilia, eran ocupadas por colonias griegas.

Allí fundó una escuela de filosofía esotérica que sería conocida como la secta pitagórica;  Pitágoras llamaba matemáticos a sus discípulos  porque su enseñanza superior comenzaba por la doctrina de los números.

El  NUMERO no se consideraba solo como una cantidad abstracta, sino como la virtud intrínseca  y activa del UNO supremo que es Dios.

La Unidad que contiene al Infinito.

Según Edouard Schure,4 “En  las matemáticas trascendentes se demuestra algebraicamente que  cero multiplicado por infinito es igual a uno.

Cero, en el orden de las ideas absolutas significa el Ser indeterminado.

El infinito, lo eterno, en el lenguaje de los templos se simbolizaba por un círculo o por una serpiente que se muerde la cola, que significa el infinito, moviéndose a sí mismo.

Y, desde el momento que el Infinito se determina, produce todos los números que en su grande  unidad contiene, y que gobierna en una perfecta armonía.”

Un oráculo de Zoroastro dice:  “El número tres reina en el universo, y la mónada (uno, único, unidad)  es su principio”. 

La  Mónada representa la esencia de Dios.

Para Pitágoras  el mundo real es triple y regido por la Tríada o Ley del ternario.

El universo está formado por tres esferas concéntricas: el mundo natural, el mundo humano y el mundo divino.

De igual  modo, el hombre se compone de tres elementos distintos pero fundidos uno en otro: cuerpo, alma y espíritu.

Este es el intelecto otorgado por Dios y estrechamente unido al alma.

El mundo divino, representado por Dios, también es una trinidad: Padre, Hijo y Espíritu Santo. “Tres personas distintas y un solo Dios verdadero” para la religión cristiana. El culto trinitario de la India está representado por Brahama, Vishnú y Siva. 

En el mundo natural  podremos aplicar, como veremos más adelante, la ley de los tercios a todos los cuerpos armoniosamente proporcionados.

Las tres esferas del Universo representadas por el  mundo natural, el mundo humano y el mundo divino, resumidos en la Mónada, constituyen la “Tétrada  sagrada”. 

Pitágoras además de la enseñanza de las matemáticas puras, iba mucho más lejos con el significado de los números 5  y decía que los principios esenciales están contenidos en los cuatro primeros números: 1, 2, 3 y 4, porque adicionándolos o multiplicándolos se encuentran todos los demás.

El número 1, “unidad” representa a Dios; el 2 y su cuadrado (22) a la mujer y el 3 al hombre, el elemento del 3 es el agua y su figura geométrica correspondiente es el triángulo. 

El 4 cuya figura geométrica es el cuadrado, es considerado como el número cósmico y número de la armonía por ser el cuadrado de 2 (22  = 2 x 2 = 4); el 2 (principio maternal) se ensancha hacia los cuatro costados del Cosmos ( puntos cardinales), y son las cuatro estaciones del año la expresión de la madre tierra. También son los cuatro elementos eternos que componen el Universo de Empédocles (c.490 a.C): aire, fuego, agua y tierra.

El cristianismo lo adopta en sus cuatro evangelistas y desde tiempos remotos los templos y los altares se han construido sobre plantas cuadradas o cuadrados oblongos (más largos que anchos).

El cubo, en tanto que poliedro de seis caras cuadradas es otro de los cinco sólidos platónicos y en la filosofía platónica representa  a la tierra. 

El 5 según Pitágoras, es el número perfecto del microcosmos hombre; el 5 en tanto que suma de los elementos femenino (2) y masculino (3)  era símbolo del matrimonio y de la síntesis;  es el número de los dedos de la mano y el pie y  de los 5 sentidos.

Su figura geométrica es el pentágono formado por tres triángulos del cual se deriva el pentagrama o estrella de 5 puntas; Pitágoras y los pitagóricos, adoptaron este símbolo como identificación de su secta y significaba para ellos la salud y el conocimiento; es una figura geométrica rica en secciones doradas (f). 

El pentágono junto con el triángulo equilátero y el cuadrado (polígonos simples) forman la base de los 5 sólidos platónicos (polígonos regulares de tres dimensiones) : tetraedro (cuatro caras), octaedro (ocho caras), icosaedro (veinte caras), exaedro (seis caras) y duodecaedro(doce caras).

Los tres primeros están basados en el triángulo, el exaedro en el cuadrado y el duodecaedro en el pentágono.

Todos estos polígonos están saturados de secciones doradas. La escuela pitagórica influenció a Platón y este trató de explicar la composición del mundo en base al simbolismo de los polígonos. Este conocimiento, y toda la geometría helénica, fueron  compendiados en el libro XIII de la obra de Euclides “Los Elementos”. 

Siguiendo con los números, la adición de los cuatro primeros números da como resultado el número diez: 1+ 2 + 3 + 4 = 10.

Esta suma era conocido entre los pitagóricos como Tetractis.Esta es una palabra griega que significa literalmente “número cuatro”, sinonimia de quaternión (cuaternario) la cual se aplicaba a un símbolo de Pitágoras que se compone de diez puntos distribuidos en forma triangular.

La figura en conjunto era en sí, el emblema Tetragrama o nombre sagrado de cuatro letras,  en este caso cada lado del triángulo está formado por cuatro puntos.

Es posible que Pitágoras lo haya aprendido en su estancia en Babilonia.

Las partes que lo componen, eran también símbolos fecundos, por cuya razón, el punto vértice era el símbolo del principio creador; los dos puntos que siguen hacia abajo representan el principio de la materia (también a la mujer); los tres puntos que le siguen, el mundo que precede de su unión (también al hombre); y los cuatro últimos el de las artes liberales y las ciencias que completan y perfeccionan el mundo. 

Pitágoras explicaba que la palabra Tetractys, significa en realidad, la fuente de la naturaleza que se mueve perpetuamente.

La pirámide que es la primera figura sólida, se encuentra en el cuaternario o tetractys, símbolo universal de la inmortalidad”6. Los egipcios construyeron sus pirámides para enterrar a sus faraones y propiciar su inmortalidad en el otro mundo.

Curiosamente, la unidad monetaria del actual sistema económico mundial, el dólar, lleva  la pirámide y en su vértice el ojo “divino”. Es significativa también, la inscripción en latín: novus ordo seclorum, ( nuevo orden para los siglos).

Como pudimos apreciar, de la suma de los cuatro primeros números resulta el diez; este es el número perfecto por excelencia, puesto que representa todos los principios de la divinidad evolucionados y reunidos en una nueva unidad.

El número 7 (siete), siendo el compuesto de 3 y 4, significa la unión de la tríada humana con la  sagrada.

El 7 es el número de los adeptos y de los grandes iniciados. Hay siete notas musicales, son siete los días de la semana; siete por cuatro son 28 y estos son los días de un mes lunar.

Siete son los colores del arco iris, o lo que es lo mismo, representa la composición física de la luz  refractada a través de las gotas de lluvia, igual que sucede cuando la luz pasa a través del prisma inventado por Newton. 

Además de la  iniciación filosófica, Pitágoras trajo consigo desde Babilonia y Egipto, los conocimientos geométricos que le hicieron famoso.

Especial mención requieren el triángulo y el  cuadrado ( donde aparecen otra vez los números 3 y 4 de sus respectivos lados).

Para los esotéricos, el Triángulo Equilátero representa a Dios, o la armonía.

Entre los fracmasones tiene un extenso campo de significados: la fuerza, la belleza y la sabiduría de Dios; los reinos mineral, vegetal y animal; las tres fases de la evolución del hombre separatio, fermentatio y putrefactio (el nacimiento, la madurez y la muerte); la mesura en el hablar, el pensar y el actuar. Para los cristianos es el símbolo de la Trinidad (padre, hijo y espíritu santo) combinado con un ojo o una mano dentro del triángulo.5  

El triángulo rectángulo de proporciones armónicas 3, 4 y 5 entre sus lados, dio origen al famoso teorema que lleva el nombre de Pitágoras y que dice: “La suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado mayor que une a los catetos)”.

La importancia de este teorema radica en que su uso permite calcular las superficies o los volúmenes, tan importante para los babilonios y los egipcios que lo utilizaron en la medición de las tierras de cultivo en las márgenes de sus ríos y en sus fastuosas construcciones.

Recuérdense las pirámides de Egipto, diseñadas bajo estricta geometría y seguramente motivadas  con una mezcla de sentimiento religioso y conocimiento astrológico.

Los lados de las pirámides egipcias, al igual que las aztecas y mayas, están dirigidas a los cuatro puntos cardinales.

Aunque coincidentales, es difícil suponer una comunicación entre los dos pueblos, separados en el tiempo y el espacio terreno.

Sin  embargo sus construcciones  nos demuestran que, al igual que la mayoría de las antiguas culturas, los constructores eran poseedores del saber geométrico y astronómico elementales, adquiridos seguramente por la observación de los fenómenos naturales, cuyo análisis les permitía conocer el cambio de las estaciones y aplicarlas a la agricultura y a la medición del tiempo.

Cuando no podían explicarse un fenómeno, para ellos  incomprensible, tuvieron que recurrir a la imaginación de un Creador Supremo, es decir, tuvieron que “inventar” a  sus dioses. 

3. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS COMO ORIGEN DE LA FORMULA DE LA BELLEZA.

Con los datos precedentes podemos ya iniciar la búsqueda en la geometría, de una fórmula matemática que sea aplicada a las cosas bellas.

Es casi seguro que los mesopotámicos inventaron la geometría y la transmitieron a los egipcios; en la cultura de estos podemos encontrar la fuente del conocimiento en la que bebió Pitágoras.

Si analizamos las pirámides egipcias su construcción geométrica se basan en un triángulo equilátero, el cual dividido equidistantemente produce dos triángulos rectángulos.

En la correlación matemática del triángulo rectángulo, queda inscrita la cifra matemática que dio origen a las proporciones armónicas de todos las cosas, animadas e inanimadas, que existen en la naturaleza y que es la  base de la belleza.

Con regla y compás los geómetras fundamentaron su ciencia.

En la construcción de los polígonos simples: triángulo, cuadrado y pentágono, seccionados por el compás o la regla, aparecen dos segmentos armónicos y representadas estas proporciones con una sorprendente y misteriosa cifra: 1.618…

Esta se representa  con el símbolo f , correspondiente a la letra griega “phi”, en honor a Phidias  (Fidias,  500-431 a.C.) por su maravillosa obra, el Partenón, una de las construcciones más bellas de la antigüedad y prototipo de armonía y equilibrio en todos sus componentes. P

hi f aparece definida por primera vez en los Elementos de Euclides en la descripción que este hace de la construcción de un pentágono a partir de un triángulo isósceles .7

En lenguaje matemático, LA BELLEZA SE REPRESENTA EN LA SIGUIENTE ECUACIÓN:

             5 +  1  =  1.618… =  f  (fórmula de Binet),8
                           2

(RAIZ CUADRADA DE 5 = 2.236 + 1 = 3.236, DIVIDIDO ENTRE DOS, ES IGUAL A    1. 618… (los tres puntos suspensivos significan hasta el infinito). 

La utilización del símbolo f en cualquier gráfico, tiene la ventaja de que señala el sitio en que se encuentran los segmentos proporcionados de cualquier plano, área o volumen, sin tener que señalarlo numéricamente.

Las proporciones armónicas están formadas por un segmento mayor y otro menor que guardan entre sí y entre la longitud total la siguiente proporción: 1: 1.618…

Esta cifra, por su sorprendente relación con las cosas bellas, fue llamada desde hace muchos siglos, “Divina Proporción”. Leonardo de Vinci la llamaba “Sección Aurea”.

También se le conoce como Sección dorada, Regla de oro y Regla de los tercios.

  • Fin Primera Parte *

Ver: Historia de la Belleza del Cuerpo Humano

Ver:Los Secretos del Código Da Vinci

Autor de la Nota: Dr. ARMANDO GONZÁLEZ ROMERO

Biografía de Luca Pacioli-Notable Matematico de la Edad Media

Biografía de Luca Pacioli-Notable Matematico de la Edad Media

No fue un matemático original, y aun en algunos casos se ha comprobado que no había vacilado en plagiar las obras de sus contemporáneos.

Pero, no obstante, su figura merece ser tenida en cuenta porque publicó el primer tratado general de aritmética práctica y de álgebra, la Summa de Arithmetica (1494), notable entre otras muchas cosas, por contener en sus páginas la primera exposición teórica de la contaduría de libros por partida doble.

Biografía  Matemático Luca Pacioli

PACIOLI Luca (1445 – 1517)

Nació en 1445 y murió en 1517 en Sansepolcro(1), Italia.

Su padre fue Bartolomeo Pacioli, aunque no fue criado en su casa paterna.

De chico vivió con la familia Befolci en Sansepolcro, a unos 60 km. de Perugia.(2)

Piero della Francesca(3) terna un estudio en Sansepolcro, donde Pacioli habría recibido sus primeras enseñanzas de Matemática.

Pacioli tenía un gran conocimiento del trabajo de della Francesca, el cual influyó mucho en los escritos de Pacioli.

Aún joven, Pacioli se traslada a Venecia(4), y comienza a trabajar como tutor de uno de los hijos de un adinerado mercader llamado Antonio Rompiansi.

Pacioli aprovecha su estadía en Venecia para profundizar los estudios básicos adquiridos con della Francesca. Estudia Matemática con Domenico Bragadino.

En esta etapa, Pacioli gana experiencia docente en su rol de tutor y en los negocios atendiendo las actividades comerciales de Rompiansi.

Durante su estadía en Venecia escribe su primer trabajo, que termina en 1470, un libro de Aritmética dedicado a su empleador.

Al morir Rompiansi, en 1470 se traslada a Roma, a la casa de Leone Alberti, quien era secretario en la Cancillería Papal.

Ahí comienzan sus relaciones con la Iglesia.

Comienza a estudiar teología y se convierte en fraile de la Orden Franciscana.

En 1477 Pacioli comenzó a viajar enseñando Matemática, particularmente Aritmética, en varias universidades.

De 1477 a 1480 lo hizo en la Universidad de Perugia, luego lo hizo en Zara(5), en Nápoles y en Roma.

(1)Pequeño pueblo aL sur de la Toscana, cerca de Florencia, Italia.

(2)Ciudad de Italia central, capital de la provincia de Perugia y de La región de Umbría.

(3)Piero delta Francesca (c. 1420-1492), pintor italiano del temprano renacimiento. Fue el primer pintor en intentar aplicar de manera sistemática la perspectiva geométrica a la pintura.

(4)Ciudad y puerto deL noreste de Italia, en la región de Véneto, capital de la provincia de Venecia.

(5) Actual Zadar, en Croacia. Formó parte del Imperio Veneciano.

En 1489 regresa a Sansepolcro.

Es aquí donde trabaja sobre su obra más famosa,Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalíta, que dedicó a Guidobatdo, duque de Urbino , de quien Pacioli había sido tutor.

Pacioli viaja a Venecia en 1494 para publicar su obra Summa.

Este libro es una recopilación de la Matemática conocida hasta el momento, no muestra ideas originales.

• ►Temas Tratados en su Obra: Summa

Comprende cinco partes principales: la primera, la más importante y extensa se ocupa de Aritmética y Álgebra, la segunda es la aplicación de ambas a la práctica comercial, la tercera se ocupa de la teneduría de Libros, la cuarta de los distintos sistemas monetarios y en la quinta considera la Geometría pura y aplicada.

En el primer tratado considera los números perfectos e imperfectos, su naturaleza.

Los sistemas de numeración decimal, las progresiones aritméticas y geométricas, trata acerca de las fracciones y de las operaciones que con ellas se hacen, cómo se puede simplificar y buscar el máximo común divisor, la teoría de las proporciones, que rige a todas las cosas, la importancia de la proporción en la medicina, las proporciones en la mecánica, mezcla de colores, arquitectura, proporciones en el arte militar, considera las diferentes operaciones con los polinomios, ecuaciones de grado superior, inferior y de cuarto grado, y exponenciales.

Las partes segunda, tercera y cuarta tratan de aritmética comercial, teneduría de libros, y monedas, una extensa exposición de La partida doble.

La quinta parte dedicada a la Geometría trata los triángulos y los cuadriláteros, la superficie de polígonos y resolución algebraica de los problemas relativos, teoría del círculo, cálculo de volúmenes de figuras sólidas.

También contiene un resumen de Los Elementos de Euclides, y estudia el tema de los juegos de azar, entre otros temas. A pesar de no hacer aportes nuevos, es el punto de partida del mayor progreso en Matemática ocurrido en Europa en esos tiempos.

En 1494 Ludovico Sforza se convirtió en duque de Milán, y en 1496 invita a Pacioli a enseñar Matemática en su corte, a sugerencia de Leonardo da Vinci, que era un entusiasta de la Matemática, y trabajaba en la corte desde 1482.

(Ludovico Sforza (1451-1508), miembro de la familia ducal italiana Sforza, que gobernó Milán desde 1450 hasta 1535. Los Sforza patrocinaron a artistas como Leonardo da Vinci.)

En Milán, Pacioli y Leonardo se hicieron amigos. Pacioli comienza a trabajar en su segundo libro famoso, Divina proportione. Los dibujos de este libro Los hizo Leonardo.

• ►El Numero de Oro

Este libro se publica en 1509 y trata sobre la razón áurea o número de oro (el nombre de número de oro se debe a Leonardo da Vinci), aquel para el que se cumple: a/b=a/(a+b), resolviendo esta ecuación se obtiene que b=1.61803….., se designa con la letra griega Fi

El numero de oro 1,61803… Se juntan el interés matemático y el interés artístico de Leonardo.

Para numerosos artistas representa la máxima expresión de la Belleza, la proporción perfecta, de ahí que aparezca en innumerables edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.

Es un libro de interés especial para los artistas y los historiadores generales de la cultura.

En Los cuatro capítulos habla de las reuniones milanesas, trata ampliamente de la importancia fundamental y universal de la Matemática.

Considera la división de una línea en media y extrema razón (razón áurea) que él llama divina proporción, por semejanza, a Dios mismo.

Entra en los factores para la construcción del pentágono y de cuerpos regulares, proporción de las superficies y de su inclusión de Los cinco cuerpos en otros, trata de cuerpos dependientes de los regulares, esféricos y oblongos (cilindros, prismas, conos y pirámides).

Leonardo da Vinci dibujó para Pacioli gran número de figuras geométricas utilizadas. La segunda parte está dedicada a varios de sus queridos alumnos y discípulos, considera medidas y proporciones del cuerpo humano, en capítulos posteriores se encuentran temas estrictamente arquitectónicos.

El pintor Alberto Durero introdujo el uso de las proyecciones horizontal y vertical que tres siglos después utilizara Monge.

La razón áurea – el número de oro

Veamos algunas de las ocasiones en que aparece la razón áurea.

  1. a) En un pentágono regular si d es la medida de una diagonal y la medida de un lado se cumple la relación siguiente: d/l=//(d+l) (idéntica relación a la anterior pero con otras letras)

o dicho en palabras: La diagonal (d) es al lado (l) como el lado es la diferencia entre la diagonal y el lado. (También se dice que el lado es medio proporcional entre la diagonal y la diferencia entre la diagonal y el lado).

La fórmula anterior es una igualdad entre dos razones es decir es una proporción. Pacioli, entusiasmado por sus propiedades la llamó la proporción divina. Nombre con el cual se conoce aún esta relación. Esta relación, como ya vimos, la conocian los pitagóricos.

  1. b) Una relación fundamental

De la proporción anterior se puede deducir que la razón áurea F cumple la relación: F2 = F+1 o dicho de otra forma E es solución de la ecuación

F2 – F – 1 = O (ecuación de 2°grado)

  1. c) División de un segmento en una razón dada

Decimos que el punto B divide al segmento AC en la razón r si el cociente: AB/BC = r.

Si r = F (la razón áurea), decimos que el segmento AC se ha dividido en extrema y media razón o que hemos realizado la división áurea del segmento AC.

Si AB= x, BC= y la relación x/y es el número áureo; su valor es 1,61803399…

Si hemos realizado la división áurea del segmento AC, decimos que el segmento AB es la sección áurea de AC.

El nombre de división en extrema y media razón procede de Euclides.

Las diagonales de un pentágono regular se cortan según la razón áurea.

  1. d) el rectángulo áureo es aquel en el cual la altura y el ancho están en la proporción 1 a F. Es armonioso en sus dimensiones.

Rectángulo áureo

se cumple que: b/a=F = 1,618034…

Curiosamente la mayoria de los rectángulos que nos encontramos en nuestra vida cotidiana son áureos.

Por ejemplo las tarjetas de crédito, la cédula de identidad, un libro, un carnet o cualquier otro rectángulo que tengas a mano. Podemos dividir la medida más larga entre la más corta y comprobar si da un número aproximado a F.

Veamos como construirlo.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados.

Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale:

por lo que la proporción entre lo dos lados es:

Justamente el Numero de oro

Un rectángulo de oro tiene una característica muy interesante: si se recorta de él un cuadrado, el rectángulo que queda sigue siendo un rectángulo de oro. Se observa con más detalle en la figura:

si al rectángulo de oro grande Le quitamos el cuadrado A, el rectángulo B sigue siendo de oro.

Pues bien, podemos realizar ese proceso tantas veces como queramos con Los sucesivos rectángulos de oro que vamos obteniendo, de forma que podemos trazar una espiral logarítmica apoyándonos en los sucesivos cuadrados que se van formando.

Numerosas conchas de moluscos y crustáceos se desarrollan siguiendo este modelo de crecimiento, como por ejemplo el Nautilus.

Construccion geométrica de una rectángulo áureo

  1. e) También los cuerpos humanos exhiben proporciones cercanas a La razón áurea, como puede verse comparando la altura total de una persona (b) con la que hay hasta su ombligo (a). Además, si se divide La distancia del ombligo a los pies entre la del ombligo a La cabeza también se obtiene F.

Existen también proporciones áureas en pies, brazos, en incluso en Los dedos: Las falanges dividen el dedo según proporciones de oro.

El hombre ideal que concibe Leonardo es aquel cuyas dimensiones cumplen con esta relación.

El hombre de Vitrubio (Dibujo de Leonardo)

Recientemente, estudios científicos avanzados han demostrado que lo que intuían estos hombres era cierto.

En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura va creciendo siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales, como (a sonrisa respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y muchas más.

Tal vez por eso los puntos básicos de acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro.

Tom Cruise es uno de los actores más famosos del mundo.

Casualmente posee unas proporciones áureas casi perfectas: sus ojos, boca, dientes, nariz, cabeza, están distribuidos de forma que la proporción de oro aparece constantemente.

Lo mismo ocurre con la actriz Penélope Cruz.

La británica Florence Colgate de 18 años de edad cumple con los requisitos necesarios para ser considerada una mujer.

Florence ha sido nombrada “La mujer más bella del Reino Unido” tras ganar el concurso «Lorraine Naked», el cual premia la belleza natural.

Gracias a esto ha recibido varias ofertas para protagonizar campañas publicitarias, por lo que pronto su rostro inundará las calles de decenas de ciudades británicas. perfectamente hermosa.

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Enlace Externo: Luca Pacioli y Leonardo Da Vinci

Formula Divina de Euler:Ecuacion Maravillosa de la Matematica

Formula Divina de Euler:Ecuacion Maravillosa de la Matematica

 

CONSTANTES INVOLUCRADAS EN LA FÓRMULA:

Número e: Euler demuestra que este número? es igual a 2.718281828459045 efectivamente es un número entre 2 y 3 y a este número lo bautiza con el nombre de e.

Numero PI: PI es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: 3,1415926535….

Numero 1: El número uno es el símbolo de la unidad, es el punto de partida. Representa el universo, el que se autoabastece. Es la potencia, la fuerza creativa, el desarrollo, la evolución, la creación que se concreta mediante la fuerza.  En la simbología cristiana, el 1 simboliza la Unidad y el Principio Creador del que proceden todas las cosas.

Número i: Designa los números imaginarios, números con cientos de aplicaciones prácticas en las matemáticas y fueron inventados para poder calcular por ejemplo la raíz cuadrada de -4, ó de -16, -25, etc…..

Formula Divina de Euler:Ecuacion Maravillosa de la Matematica

Puedes amplicar sobre estos números: aquí
 

LA VIDA DEL GRAN MATEMÁTICO:

Matemático suizo, nacido en Basilea el 15 de abril de 1707 y fallecido en Son Petersburgo el 18 de septiembre de 1783.

Su padre, Paul Euler, fue un pastor calvinista que había estudiado Teología en la Universidad de Basilea y quería que su hijo estudiara Teología y se preparar para ser Ministro.

El padre de Euler era amigo de los hermanos Bernoulli (había vivido con Juan en la casa de Jacob en Basilea) y había asistido a las clases de Jacob.

Paul se transformó en ministro protestante y se casó con Margaret Brucker.

Cuando Leonardo tenía un año de edad los Euler se mudaron a Riehen, cerca de Basilea.

Leonardo asistió a una modesta escuela en Basilea donde no aprendió Matemática.

Fue su padre de quien obtuvo las primeras lecciones de Matemática.

Leonardo, en 1720, a una edad temprana, 14 años, fue enviado a la Universidad de Basilea para que obtuviera una formación general.

Allí atrajo la atención de Juan Bernoulli.

Inspirado por un maestro así, maduró rápidamente.

En 1723 completó sus estudios obteniendo el título de Master en filosofía, y contrastó las ideas filosóficas de Descartes y Newton.

En el otoño de ese año comenzó sus estudios de Teología. Pero no encontró en estos temas, al igual que el hebreo y el griego, el interés que encontró en la Matemática.

Juan Bernoulli orientaba a Leonardo en los estudios de Matemática (diciéndole que libros debía leer y resolviéndole las dificultades que encontraba).

Juan Bernoulli se dio cuenta de la capacidad de Euler para la Matemática y le pidió al padre de Euler que permitiese que su hijo estudiase Matemática. El padre de Euler aceptó porque respetaba mucho a los hermanos Bernoulli.

Concluyó sus estudios en la Universidad de Basilea en 1726.

Así Euler estudió bajo las enseñanzas de los Bernoulli.

Leyó, bajo sus directivas, a Vorígnon, Descartes, Newton, Galileo, von Schooten, Taylor, y Wallis, entre otros.

A los 17 años de edad, cuando se gradué como doctor, provocó grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparación entre los sistemas cartesiano y newtoniano.

En 1726 publicó un trabajo sobre curvas isocrónicas en un medio resistente.

En 1727 publicó otro artículo sobre trayectorias recíprocas lo cual le permitió presentarse al Gran Premio de la Academia de París. Salió segundo, lo cual fue un importante antecedente para el joven Euler.

Pero ahora debía buscar un cargo académico.

Cuando murió Nicolás Bernoulli (II) (hijo de Juan Bernoulli) en San Petersburgo en 1726, le ofrecieron su puesto en la Academia de Ciencias de dicha ciudad para enseñar las aplicaciones de la Matemática a la Fisiología, y lo aceptó en noviembre de 1726.

Pero dijo que no quería viajar hasta la primavera del año siguiente.

La demora se debió a dos motivos, uno que quería prepararse para el nueve cargo y el otro es que estaba especulando con obtener un cargo en la Universidad de Basilea, que finalmente le fue denegado, probablemente porque era muy joven (solo 19 años).

Llegó a San Petersburgo el 17 de mayo de 1727, a los 20 años, convocado por Catalina 1279, esposa de Pedro el Grande, el mismo día que la emperatriz murió, Catalina I había fundado la Academia de Ciencias de San Petersburgo dos años antes.

Este acontecimiento: amenazó con la disolución de la Academia.

Originalmente le habían ofrecido un cargo en la Sección de Fisiología, pero a pedido de Daniel Bernoulli (hijo de Juan que también estaba en la Academia) fue derivado a la Sección Físico-matemática.

Fórmula de Euler

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La Matematica en el Siglo XX Problemas Sin Resolver

Matemática en el siglo XX – Problemas Sin Resolver – Conjeturas Poincare

DESAFÍOS MATEMÁTICOS ACTUALES

Aunque ya nos encontramos en eL siglo XXI es bastante temerario hacer un balance de Hitos Matemáticos del siglo pasado.

En primer lugar porque la perspectiva es aún escasa y, en segundo lugar y más importante, porque las propias características de la Matemática del siglo XX, marcadas por un desarrollo sin precedentes y una amplitud de temas extraordinaria, hace que sea muy difícil por no decir imposible la catalogación de Los hitos fundamentales de la ciencia matemática.

Esto se debe a diversas causas.

En primer lugar, porque la producción matemática del siglo XX ha superado (en cuanto a extensión y posiblemente en cuanto a calidad) a la producción en toda la historia anterior.

Por citar algunos datos: en La década de los 90 se han publicado una media de más de 50.000 trabajos anuales de investigación en Matemática en las revistas especializadas del todo el mundo.

Junto a la cantidad de producción, la segunda causa es, sin duda, la diversidad de campos que le abarca: a lo largo del siglo XX han surgido y se han desarrollado áreas completamente nuevas, y los resultados matemáticos han impregnado prácticamente todas las parcelas de nuestra vida cotidiana.

Como resultado, el desarrollo tecnológico y científico del siglo XX no ha tenido parangón en la historia de la humanidad.

Conviene no perder de vista esta perspectiva: la Matemática es la base, los rieles sobre los que caminan las ciencias y la tecnología; sin un desarrollo matemático no puede haber un desarrollo científico parejo y la historia está llena de ejemplos que muestran como sólo cuando la maquinaria matemática ha desarrollado los conceptos y técnicas adecuadas se han podido dar nuevas teorías y grandes pasos científicos.

Citemos tres ejemplos típicos del siglo XX: la Teoría de La Relatividad de Einstein, imposible sin el desarrollo de la Geometría diferencial moderna, los estudios sobre computabitidad que de la mano de Von Neumann condujeron a la creación de las computadoras, y los trabajos de Shannon sobre la Teoría Matemática de la Comunicación de los años 1948 y 50 que sentaron las bases de la Teoría de Códigos y por consiguiente de la moderna transmisión de datos.

Entre los campos que son un producto específico del siglo XX mencionaremos simplemente cuatro ejemplos que por lo tanto no pretenden ser, ni mucho menos exhaustivos de los avances de la Matemática.

En primer lugar la Topología, es decir el estudio de las formas de las variedades, introducido por Poincaré (foto) a comienzos de siglo y que ha experimentado un desarrollo espectacular a lo largo del siglo de la mano de nombres como Serre, Milnor, Smale o Thurston.

En segundo lugar, el manejo del azar, la probabilidad y el análisis estocástico son otra de las grandes creaciones del siglo pasado.

Si bien es cierto que ya existían estudios sobre la probabilidad desde la época de Fermat Pascal e incluso antes, pero es en el siglo XX cuando a partir de la axiomatización del modelo probabilístico por Kolmogorov, y más tarde de la herramienta fundamental del análisis estocástico: la integral estocástica, por Kiyositó cuando la disciplina toma vuelo hasta construirse en una de las áreas más activas en la actualidad.

Piénsese que prácticamente todos los fenómenos encierran una componente aleatoria, por lo que el análisis estocástico es imprescindible en ellos.

En tercer lugar el estudio de los sistemas dinámicos y en particular de tos fenómenos no lineales ha sido también una de las áreas de desarrollo espectacular en el siglo XX: en las ecuaciones que regulan la evolución un proceso concreto se observa que a menudo aparecen términos no lineales.

Un ejemplo importantísimo son las ecuaciones de Navier-Stokes que regulan la dinámica de fluidos.

La existencia de estos términos no lineales conduce a comportamientos caóticos que hoy sabemos que aparecen con muchísima frecuencia, por lo que el estudio de la estabilidad de las soluciones de un sistema dinámico es muy importante.

Uno de los resultados más llamativos del siglo es el llamado teorema KAM (KoLmogorov, Arnold y Moser) de los años 60 relativo a la estabilidad de las órbitas del problema de los n cuerpos (por ejemplo el sistema solar) y que nos aporta cierta tranquilidad acerca de que nuestro planeta continuará en una órbita parecida (pero nunca igual) a la que ha venido teniendo desde su origen.

Y por último no podemos olvidar los estudios sobre lógica, computabilidad y complejidad que impulsados por nombres como Turing, Gódel, Von Neumann, etc. han conducido a la creación de la computadora, el invento del siglo XX que está transformando radicalmente nuestra sociedad.

Algunos de los problemas famosos que se resolvieron en el siglo XX

Además del famoso teorema de Fermat que se demostró en 1994, (ver biografía de Fermat) otro problema que dio que hablar el de los cuatro colores.

El Teorema de los cuatro colores

«En un plano o en una esfera no se necesitan mas de cuatro colores para colorear un mapa de manera que dos regiones vecinas, es decir, que compartan una frontera y no únicamente un punto , no queden coloreadas del mismo color»

Los orígenes de este problema son muy antiguos.

Los cartógrafos renacentistas sabían ya que les bastaban cuatro colores para iluminar sus mapas de manera que dos países vecinos quedaran iluminados de distintos color, logrando así que sus mapas fueran claros y fáciles de entender.

Sin embargo, hasta el siglo XIX, a nadie se había ocurrido que este hecho tuviera que ver con Matemática mucho menos que se podía o debía demostrar.

Parece ser que el llamado problema de tos cuatro colores convirtió formalmente en un problema matemático cuando en un estudiante inglés, Francis Guthrie, a quien te gustaba dibujar y colorear mapas, se dio cuenta de que siempre podía iluminar correctamente los mapas sin usar más de cuatro colores.

Intuyendo esto podía ser demostrado, se lo contó a su hermano Frederick quien había estudiado con un prestigioso matemático inglés de la época llamado De Margan.

De Margan no supo solucionar el problema pero le pareció suficientemente interesante como para enviarte carta a otro prestigioso matemático inglés, Hamilton, quien decidió no hacerle caso al problema, hecho que nunca sabremos sí sucedió porque no pudo resolverlo o porque te pareció intrascendente.

Durante muchos años, matemáticos y no matemáticos, expertos y novatos intentaron resolver el problema de los cuatro colores, problema de Los cuatro colores se hizo tan famoso en el medio matemático, que en 1878 el matemático inglés Cayley lo propuso oficialmente a la Sociedad Matemática de Londres (London Mathemathical Society), una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.

Varios matemáticos dieron demostraciones que resultaron tener errores, pero lo que sí se logró con el paso de los años y el trabajo de tanta gente, fue demostrar dos cosas fundamentales:

• Tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, es decir, existen mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres colores.

• Con cinco colores se puede colorear cualquier mapa correctamente.

De manera que aunque no se había probado nada respecto a los cuatro colores por lo menos ya se sabía que con tres faltaba y con cinco sobraba, así el número cuatro era el candidato ideal… había entonces que probarlo o refutarlo.

Finalmente en 1976 (124 años después de que se había propuesto el problema!) dos matemáticos de la Universidad de Illinois en Estados Unidos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, usando una computadora Cray de segunda generación, analizaron 1900 posibles arreglos de regiones en el plano, o sea, analizaron 1900 tipos distintos de mapas.

La computadora tardó 1.200 horas en correr un programa que tenía miles de líneas de largo, y para todos los mapas encontró una coloración en la que a lo más se usaban cuatro colores.

¡El problema había sido resuelto!

¿De verdad?

Muchos matemáticos aceptaron esto como una prueba irrefutable, pero muchos otros argumentaron que eso no era una demostración matemática, la máquina había comprobado que una gran cantidad de mapas podían colorearse usando a lo más cuatro colores, ¿pero que tal sí existía un mapa, que la computadora no hubiera contemplado, que no podía colorearse de esa forma?

La discusión continuó por veinte años, hasta que en 1996, los matemáticos Neit Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robín Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una demostración, aparentemente correcta, del teorema de tos cuatro colores.

Y así acaba la historia, pues hasta ahora nadie la ha refutado.

Problema del empaquetamiento de Kepler

En 1998 Thomas Hales resolvió el problema de empaquetamiento de Kepler cuyo origen se remonta también a comienzos del siglo XVII.

Hales ha demostrado que el empaquetamiento más denso posible de esferas iguales es la disposición cúbica centrada, es decir en capas rectangulares donde cada capa se desplaza para colocar tas esferas sobre los intersticios dejados por la capa inferior, del modo, que nuestros tenderos colocan Las pilas de naranjas cada día en el mercado.

Como hemos dicho, ya Kepler se ocupó del problema en 1611, calculando la densidad de este modelo de empaquetamiento (aproximadamente 0,7404) y Gauss demostró que era el mejor modo posible con estructura regular (es decir con los centros de las esferas formando una estructura regular), pero quedaba pendiente demostrar que es también el mejor de todos los posibles, aunque sean triangulares.

La demostración de Hales usa de modo esencial la computadora para la comprobación de un determinado número de casos, al igual que ocurrió unos años antes en 1976 con la demostración del Teorema de los Cuatro Colores por K. Appel y W. Haken.

Esto evidencia también una de las características fundamentales de la Matemática del siglo XX:

La irrupción de las computadoras está abriendo nuevas posibilidades para el desarrollo de la Matemática, modifica cando incluso la misma forma de demostración de tos teoremas.

Problemas Pendientes de la Matemática

El 20 de mayo de 2000 un mecenas ofrece 7 millones de dólares por resolver los siete enigmas matemáticos del siglo.

La lista recoge los problemas cruciales para el desarrollo futuro de las ciencias exactas.

Exactamente cien años después de que el científico alemán David Hilbert definiera los 23 grandes problemas que la Matemática del siglo XIX había sido incapaz de resolver, el empresario norteamericano Landon Clay ha ofrecido un millón de dólares a quienes solventen cada uno de los siete enigmas fundamentales que, según su equipo de asesores, han derrotado a La Matemática del siglo XX.

De los 23 retos de Hilbert, 20 han sido resueltos o abordados satisfactoriamente, y dos ya no se consideran cruciales.

El otro vuelve a aparecer en la nueva lista.

El empresario Clay es el fundador del Instituto de Matemáticas Clay, un centro con sede en Cambridge (Massachusetts) dedicado a los estudios avanzados en ciencias exactas.

Su panel de asesores incluye a Andrew Wiles, el matemático de la Universidad de Princeton que logró en 1995 demostrar el escurridizo teorema de Fermat, un enigma que había atraído durante 350 años a los matemáticos de todo el mundo.

Los otros asesores son Alain Connes, del Collége de France, Edward Witten, del California lnstitute of Technology, y Arthur Jaffe, de Harvard. Clay sabe muy bien dónde mete su dinero.

El empresario lanzó su oferta en París, en los actos organizados por el Collége de France para celebrar el centenario de la lista propuesta por Hilbert en 1900, que ha marcado buena parte de la investigación matemática del siglo XX.

Los siete enigmas, según los expertos que tos han seleccionado, conducirán, una vez resueltos, a enormes avances en los campos del cifrado de datos (encriptado) y las ciencias aeroespaciales.

También abrirán a la Matemática áreas inexploradas.

Los siete enigmas representan los grandes problemas no resueltos de la Matemática del siglo XX, dijo Wiles en París.

Esperamos que ofrecer un premio por ellos inspire y estimule a las futuras generaciones de matemáticos.

En efecto, ganar 1 millón de dólares por resolver un problema puede ser una buena fuente de inspiración.

El Premio Nobel está dotado actualmente con menos dinero. Jaffe añadió: No hay límite de tiempo.

La dificultad es de tal magnitud que ningún asesor de Clay espera que surja un ganador en un plazo breve.

Algunos expertos independientes dudan incluso de que el instituto de CLay tenga que deshacerse de sus millones alguna vez.

Lo que sigue es una exposición informal de los enigmas.

Los especialistas pueden consultar sus formalizaciones en la página web del Instituto de Matemáticas Clay http:\\www.cLaymath.org

1. El problema P contra NP.

El matemático Stephen Cook, que formuló este problema en 1971, lo explica con el siguiente ejemplo. Es sábado por la noche y llega usted a una fiesta abarrotada de gente.

La anfítriona Le dice: Creo que conoces a Rosa, aquella chica de la esquina que lleva un vestido rojo.

A usted Le bastará una fracción de segundo para verificar si la anfitriona está en lo cierto o no. Pero si en vez de eso La anfitriona le hubiera dicho mira por ahí a ver si., conoces a alguien, usted puede tardar tres horas en hallar la respuesta.

Por mentira que parezca, esta cuestión supone un problema, enorme para los lógicos y para Los científicos de la computación.

La explicación de Las siglas P y NP no ayuda mucho: se refieren a los’ tiempos polinómico y polinómico no determinista.

2. La hipótesis de Riemann.

Los números primos (1, 2, 3, 5, 7,11…) no parecen seguir ningún patrón regular, pero el matemático alemán Georg Riemann propuso en el siglo XIX que su frecuencia guarda una estrecha relación con el comportamiento de una función matemática (llamada zeta).

Las predicciones de Riemann se halla confirmado para muchos casos, pero todavía se precisa una demostración general.

Este es el único de los siete problemas de Clay que ya estaba presente en la Lista de Hilbert.

3. La teoría de Yang-Milis.

Hace casi 50 años, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y las ecuaciones de la física de partículas que luego resultaron de gran utilidad para unificar tres de las interacciones fundamentales de La materia en una sola teoría.

A pesar de ello, nadie ha demostrado que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.

4. Las ecuaciones de Navier-Stokes.

Describen ciertos comportamientos de los fluidos, como las turbulencias provocadas por un avión a reacción o las ondas que forma una barca en el agua. Pero, insólitamente, nadie sabe cómo resolver estas ecuaciones.

5. La conjeturo de Birch y Swinnerton-Dyer.

Uno de los problemas de Hilbert planteaba si existe algún método para saber si las ecuaciones deL tipo xn +yn= zn   tienen soluciones que sean números enteros.

Yu Matiyasevich demostró en 1970 que no hay ningún método general.

Sin embargo, los matemáticos que dan nombre a esta conjetura propusieron algunos métodos parciales que están por demostrar.

6. La conjetura de Hodge.

Los matemáticos han aprendido a investigar las formas de los objetos complicados a base de descomponerlos en multitud de bloques geométricos simples.

Estos modelos son muy prácticos, pero hacen trampas al añadir algunos bloques que no tienen ninguna interpretación geométrica.

7. La conjetura de Poincaré.

Las conclusiones que alcanzó Poincaré, el rival francés de Hilbert, sobre tas esferas en el espacio de tres dimensiones han resultado imposibles de trasladar al espacio de cuatro dimensiones.

Los matemáticos llevan cien años intentándolo y no se rinden.

La conjetura de Poincaré

Jules Henri Poincaré (Nacio, Francia, 29 de abril de 1854 – † París, 17 de julio de 1912), generalmente conocido como Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia.

Poincaré es descrito a menudo como el último «universalista» (luego de Gauss) capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática.

En 1894 descubrió el grupo fundamental de un espacio topológico.

En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a Albert Einstein y H. Lorentz, la Teoría de la Relatividad Restringida (también conocida como Relatividad especial).

La conjetura de Poincaré es uno de los problemas recientemente resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias.

Este trabajo tuvo poco interés hasta que comenzó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963.

En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos.

Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos de la mecánica celeste (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste), publicados entre 1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste, (Léçons de mécanique céleste, 1905).

También escribió numerosas obras de epistemología, propedéutica, metodología y divulgación científica que alcanzaron una gran popularidad, como Ciencia e hipótesis (1901), Ciencia y método (1908) y El valor de la ciencia (1904). (Wikipedia)

Fuente Consultada: Los Matemáticos Que hicieron Historia – Alejandro Venturini

Marilyn vos Savant

Conjeturas Poincare

Grigory Perelman

Disputas Matemáticas En el Siglo XVI Tartaglia, Cardano y Del Ferro

Disputas Matemáticas En el Siglo XVI: Tartaglia ,Cardano y Del Ferro

Introducción: Erase  el siglo XVI, en la Italia renacentista, tres notable matemáticos conocidos como Del Ferro, Tartaglia y Cardano, que trabajaban arduamente en busca de encontrar un método práctico para resolver una ecuación matemática, conocida como de tercer grado.

Desde la época de los babilonios, 2500 a.d.C.,cuando estos ya conocían  la solución de  las ecuaciones de segundo grado, (para aplicarlo a sus construcciones) y hasta esa fecha no hubo avances significativos con respecto a este tema.

Unos cuántos años antes los famosos matemáticos medievales Fibonacci y Luca Pacioli, habían tratado someramente estos problemas, pero sólo resolviendo algunos casos particulares, e inclusive sin llegar a una demostración racional de tales soluciones.

Sería Scipione del Ferro, hijo de un imprentero de Bolonia, el primero en estudiar con un método ortodoxo, la obtención de las raíces (soluciones) de estas funciones matemáticas.

Más tarde otras grandes figuras continuarían con estos trabajos, pero sin antes, atravesar un difícil camino de encuentros violentos, dramáticos y deshonestos, por el afán de lograr la primacía en la concreción de sus búsqueda.

A través de sus biografía se reflejará esta historia de tristes disputas, y que muestra también la pasión que dominaba a  estos genios de los números, que muchas veces viviendo en un ámbito de miserias humanas y materiales , no se dejaban vencer por la adversidad, y siempre se esforzaban para llegar a conocer la verdad de estos dificultosos problemas.

Esta es su historia….

del FERRO, Scipione (1465 – 1526):

Scipione del Ferro nació el 6 de Febrero de 1465 en Bolonia ciudad en la que también murió el 5 de Noviembre de 1526.

Aunque no es un matemático muy conocido, su rol en la historia de la Matemática tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. Se educó en la Universidad de Bolonia que fue fundada en el siglo XI.

Sus padres fueron Floriano y Filippa Ferro.

Floriano trabajaba en la industria del papel, debido al invento de la imprenta en los ’50.

Fue profesor de Aritmética y Geometría en dicha universidad desde 1496 hasta el final de su vida. En sus últimos tiempos se dedicó a las transacciones comerciales.

No han sobrevivido escritos de del Ferro, ello se debe a la resis­tencia que tenía a divulgar sus trabajos, prefería comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos.

Tenía un anotador donde guardaba sus importantes descubrimientos. Este anotador pasó al yerno, Hannibal Nave, cuando del Ferro murió en 1526.

Nave, que también se dedicó a la Matemática, lo reemplazó, cuando falleció, en la Universidad de Bolonia.

Estaba casado con la hija de del Ferro, Filippa.

En 1543, Cardano y Ludovico Ferrari (un alumno de Cardano) viajan a Bolonia en busca de Nave y del anotador de su suegro, para analizar este tema.

Según cuenta Ferrari, ambos se encontraron con Nave en Bolonia y éste les muestra el anotador manuscrito de del Ferro donde aparece la resolución de la ecuación de tercer grado.

Los matemáticos en la época de del Ferro sabían que el problema de resolver la ecuación general de tercer grado podía reducirse a x³ + mx = n y x3 = mx + n, con m > 0 y n > 0 (el término en X² podía siempre removerse con una adecuada sustitución).

Por supuesto que si se hubiesen utilizado los coeficientes negativos, que no se usaban en esa época, habría un solo caso.(X³ se lee x al cubo)

Hay conjeturas sobre si del Ferro trabajó sobre el tema como consecuencia de una visita que realizó Pacioli a Bolonia.

Pacioli enseño en la Universidad de Bolonia entre 1501 y 1502 y discutió distintos temas matemáticos con del Ferro.

No se sabe si trataron este tema, pero Pacioli lo incluyó en su famoso tratado Summa que había publicado 7 años antes.

Algún tiempo después de la visita de Pacioli, del Ferro había resuelto seguro uno de los dos casos (quizás había resuelto los dos ca­sos).

En 1925, examinando manuscritos del siglo XVI, aparece que del Ferro da un método para resolver el caso: 3X³+ 18x =60.

Para Cardano, habría sido del Ferro y no Tartaglia el primero en resolver el tema de la ecuación de tercer grado, por eso publica en su obra Ars Magna.

Cardano sostiene que lo que publica es el método de del Ferro y no el de Tartaglia.

Cardano había prometido a Tartaglia no divulgar su método, que como veremos más abajo, Cardano había conseguido «sacársela» con una mentira.

Del Ferro, también hizo importantes contribuciones en la racionalización de fracciones extendiendo los métodos conocidos para denominadores con raíces cuadradas a denominadores con suma de 3 raíces cúbicas.

Niccolo Fontana (Tartaglia) 1499-1557,

conocido como Tartaglia, nació en Brescia República de Venecia , en 1499 y murió el 13 de diciembre de 1557 en la ciudad de Venecia.

Su verdadero nombre era Fontana, pero fue apodado Tartaglia por su tartamudez, causada por una cuchillada propinada por un soldado francés, en la Catedral de Brescia, que te derivó secuelas en el habla, durante la masacre de 1512, cuando fue capturada su ciudad natal.

 Su cara quedó desfigurada, lo cual lo obligó siempre a usar barba para disimular sus cicatrices.

Hijo de una viuda pobre (su padre murió en la masacre), fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que aprendió a escribir.

Estudió por si solo griego, latín y matemática, disciplina con la cual, debido a su habilidad, pudo ganarse la vida enseñando en Verona hasta que en 1534 se traslada a Venecia donde muere, en la misma pobreza que te acompañó toda su vida.

La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones de plagio.

Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, representan fielmente las miserias y virtudes del hombre renacentista.

La primera persona que se conoce resolvió la ecuación de tercer grado es Scipione del Ferro, pero no informó a nadie sobre el tema.

En su lecho de muerte, del Ferro confió el secreto a su alumno Antonio Maria Fiore, quién comenzó a jactarse de poder resolver ecuaciones de tercer grado y en 1535 desafió a Tartaglia que al mismo tiempo estaba estudiando el mismo tipo de ecuaciones, pero descubrió más casos que los que podía resolver Fiore.

El desafío consistía en lo siguiente, cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer treinta problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero.

Como no se usaban números negativos, había dos tipos de ecuaciones de tercer grado (x³ + mx = n y x 3 = mx + n, con m > 0 y n > 0). del Ferro habría enseñado aFlore a resolver sólo uno de los casos.

En este duelo Tortaglia demostró el 13 de febrero de 1535 saber como resolver ambos casos, sin explicar como lo hacía.

En menos de dos horas resolvió los problemas presentados por Flore, quien no pudo responder satisfactoriamente a los problemas planteados por Tartagila.  Este triunfo hizo famoso a Tartaglia.

 En este momento entra en la historia Cardano.  Como profesor en Milán 138 estaba al tanto del tema, pero hasta este desafío, creía lo que había planteado Pacioli en su libro Summa en 1494, que el problema no tenía solución.  Trató de resolver el problema pero no pudo.

Tartaglia mantuvo en secreto sus métodos.

Cardano, que estaba en Milán, trataba de conseguir que Tartagliate confiara la fórmula, pero éste se niega en varias oportunidades.  Cardano se contacta con Tartaglia y te promete recomendarlo al gobernador de Milán, Alfonso d’Avalos.

Tartagila, que piensa que este puede ser un buen contacto que te permitiría obtener un cargo en la corte de Milán, y así dejar su modesto trabajo en Venecia, reptantea su actitud.

Así se lo hace sa­ber a Cardano, quien lo invita a su casa y te promete una reunión con d’Avalos.

En marzo de 1539 deja Venecia rumbo a Milán.  Lamentablemente para Tartaglia, el gobernador no se encontraba en Milán.

Tartaglia, después de mucha persuasión y con el compromiso de mantener en secreto estos métodos, se lo confía a Cardano.

 Lo hace en forma de poema, por si llegara a caer en manos extrañas.

Tartaglia parte de regreso a Venecia con una carta de recomen­dación para el gobernador y con la duda de si había hecho bien en confiar a Cardano su fórmula.

Considera que fue presionado a entre­garla a cambio de favores políticos.

Cardano finalmente la publicó en su libro Ars Magna en 1545.   Esto enfureció a Tartaglia.

En 1546 Tartaglia publicó el libro Nuevos problemas e inventos en el cual cuenta su versión de la historia y denuncia que Cardano actuó de mata fe.

Este quería debatir con a no y no con un ignoto matemático. Cardano no aceptó el debate con Tartaglia.

Durante algún tiempo siguieron los intercambios de correspondencia con varios insultos entre Ferrari yTartaglia.

La posición de Cardano, un prestigioso matemático y médico de Milán, era muy fuerte frente a la débil posición de un modesto profesor de Venecia.

Repentinamente, en 1548, Tartaglia recibe una oferta para dar clases en su ciudad natal, Brescia.

Pero para demostrar su aptitud para el cargo debe ir a Milán a debatir con Ferrari sobre la ecuación de tercer grado.

El 10 de agosto de 1548 se produce el debate.  Tartaglia pensaba ganar pero al cabo del primer día Ferrari demostró tener un mayor conocimiento del tema.

  Tartaglia resuelve abandonar Milán dejando el debate inconcluso.

Ante esta actitud de Tartaglia, Ferrari fue el ganador.

Tartagila accede igualmente a su cargo en Brescia, pero aparentemente debido a su fracaso en el debate, no te pagaron.

Esto lo obligó a volver a su trabajo en Venecia.

En 1537 publicó un libro sobre balística en el cual postulaba correctamente que todo proyectil tiene alcance máximo cuando se dispara con un ángulo de 45′, pero no dio la demostración de este hecho.

También escribió un libro sobre Teoría de números en el que pueden encontrarse entretenidos rompecabezas como por ejemplo:

Tres matrimonios (en los cuales los maridos son extremadamente celosos) quieren cruzar un río en unabarca en la que caben como máximo dos personas.

Determinar cómo debe planificarse el cruce si no puede dejarse a ninguna mujer en compañía de un hombre a menos que su marido esté presente.

Tres personas quieren repartiese el aceite que hay en una garrafa de 24 litros.  Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.

En 1556 publica su obra Trattato, donde se refiere al descubrimiento del triángulo aritmético y al desarrollo del binomio, aunque estos temas ya eran conocidos en años anteriores.

Hoy el triángulo aritmético lleva su nombre (Tartaglia) o e( de Pascal, que escribió sobre el tema en 1654.

En la obra de Pascal aparece el tema del binomio, pero como de Newton.

 CARDANO Jerónimo (1501-1576) :

Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavia’40, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de septiembre de 1576.

Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria.

Su padre era abogado en Milán, pero su experiencia en Matemática hizo que Leonardo da Vinci lo consultara en temas de Geometría.

Fazio dio clases de Geometría en la Universidad de Pavia.  Siendo cincuentán conoció a Chiara Micheria, una viuda treintañera, que luchaba por criar 3 hijos.

Así Chaira quedó embarazada de Fazio, con quien se casó muchos años después. Cardano comenzó como asistente de su padre,  que te enseñó Matemática.

Pero él aspiraba a más y empezó a pensar en hacer una carrera.

Aunque su padre quería que estudiara derecho,Cardano ingresó a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra.

Cardano se graduó de médico en 1525 y demostró conocer al menos intuitivamente el fenómeno de la alergia.

  Además era un matemático de primera línea.  Malgastó lo que recibió de su padre y se dedicó al juego para mejorar sus finanzas (dados, cartas, ajedrez), del cual hizo un medio de vida ya que habitualmente era más (o que ganaba que (o que perdía.

En este ambiente estuvo rodeado de gen­te de dudosa reputación.

El juego se convirtió en una adicción que te duró muchos años y te hizo perder mucho tiempo valioso, dinero y reputación.

Tuvo fama de persona complicada y poco querida, esto te valió que el Colegio de Médicos de Mitán no lo admitiera en numerosas ocasiones, la primera en 1532.

Usaron como excusa el hecho de que era hijo ilegítimo.  Finalmente en 1539 fue admitido al reconsiderarlo como hijo legítimo.

Mientras estuvo inhabilitado para ejercer la medicina, Cardano, en 1533, volvió al juego para poder subsistir, pero te fue tan mal que tuvo que empeñar las joyas de su esposa Lucía, con quien se había casado en 1531.

Buscando desesperadamente un cambio en su suerte, se mudó a Milán, pero te fue peor y entró en la pobreza.

En 1539 Cardano publicó sus dos primeros libros.  Uno de ellos fue La práctica de Aritmética y las mediciones simples. 

Este fue el comienzo de una prolífica carrera literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, además de Matemática.

Ese mismo año Cardano se acercó a Tartaglia, que se había he­cho famoso por ganar un concurso sobre ecuaciones de tercer grado (ver más detalles en la biografía de Tartaglia), y trató de que te explicara el método.

Tartaglia aceptó con la promesa bajo juramento de Cardano de que no iba a publicarlo hasta que el mismoTartaglia lo publicara.

Durante los siguientes 6 años Cardano trabajó en las ecuaciones de tercer y cuarto grado.  Entre 1540 y 1542Cardano se dedicó al juego todo el día.

En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna.  En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

En 1543 había descubierto que Tortaglia no había sido el primero en resolver estas ecuaciones y por eso considera que no falta a la promesa que hizo publicándolas.

En esta obra además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x, es raíz de( polinomio.

Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.

Cardano introduce tos números complejos en Ars Magna a partir de un sencillo problema geomé­trico que dicho en el lenguaje habitual sería el siguiente: dado un segmento de longitud 10 unidades, dividirlo en dos partes de forma que forme un rectángulo de área igual a 40 unidades cuadradas -es fácil ver que el problema se reduce a la ecuación x2-10x+40=0, cuyas soluciones son complejas-

En la ilustra­ción vemos la página de Ars Magnadonde aparece este problema.

Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha.

Todavía utilizaba la Geometría para demostrar la identidad aigebraica (a-b)3 = = a3 -b3 -3ab(a-b) y todavía rehuía de la utilización de números nega­tivos, lo cual puede apreciarse a (a hora de dar por separado las siguientes ecuaciones: x3 + px = q, x3 = px + q. Sin embargo, el Ars Magna presenta una explicación completa de (a ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios.

 En este libro también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida al alumno deCardano, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.

Enfer­mo, en 1565 Ferrari regresa a Bolonia para enseñar Matemática.  Allí es envenenado con arsénico por su propia hermana.

En 1546 murió Lucía y se transformó en rector del Colegio de Médicos de Milán, al cual tanto te costó ingresar.

Recibió muchas ofertas de jefes de Estado de Europa para recibir sus atenciones médicas mientras su reputación como médico iba en ascenso.

En una sola ocasión aceptó la propuesta para salvar (a vida del Ar­zobispo de St. Andrews en Escocia, John Hamitton.

Estaba al tope de su fama y su exitoso viaje a Escocia lo transformó en una celebridad.

Al regresar de Escocia era un importante profesor de Medicina en la Universidad de Pavia y con muchos pacientes adinerados, se transformó en un hombre rico y afortunado.

Pero mientras gozaba de esta fama tuvo que hacerse cargo de su hijo mayor, Giambatista, que envenenó a su mujer.  Giambatista fue encarcelado, torturado y finalmente ejecutado el 13 de abril de 1560, ya que Cardanono pudo pagar la suma de dinero que te exigí­an para salvar a su hijo.  Cordano nunca se repuso de este golpe.

Nunca se perdonó no haber podido prevenir a su hijo predilecto de haber hecho lo que hizo y no haber podido salvarlo.

Cardano volvió a tener problemas luego con su hijo Aldo, que era jugador y estaba asociado a individuos de dudosos antecedentes.

 En 1569 Aldo había perdido todas sus pertenencias y una consi­derable suma de dinero de su padre en el juego.

En un intento por conseguir dinero Aldo ingresó a la casa de su padre y robó una considerable suma de dinero y joyas.  Cardano denunció a su hijo a las autoridades y éste fue desterrado de Bolonia.

En 1570 Cardano fue encarcelado bajo el cargo de herejía al haber publicado un horóscopo de Jesucristo (se consideraba herejía por deducirse que Dios dependía de tas estrellas), pero se te liberó tras retractarse; pero se te prohibió ejercer cargos universitarios.

También publicó Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en tos que aprovechó su experiencia como jugador y una autobiografía extremadamente fran­ca, De propria vita,que adquirió cierta fama.

Hay una leyenda que mantiene que mediante la astrología predijo el día de su muerte y que se sintió obligado a suicidarse para que su predicción fuera cierta.

Fuente Consultada: Matemáticos Que Hicieron La Historia de Alejandro García Venturin

CONCEPTO DE ECUACIÓN MATEMATICA:           

Una ecuación matemática es una expresión que combina signos aritméticos como la suma, multiplicación, radicación, logaritmo,etc. con valores numéricos y que sirve para calcular otro valor, que nos representará, por ejemplo: una superficie, un volumen, un tiempo, una distancia, un peso, etc.

Los ejemplo más sencillos son por ejemplo, los que aprendimos en la primaria, cuando calculábamos la superficie de un cuadrado o de un circulo, usando en este último caso, la constante Pi. Otros un poquito «más dificil» eran los volumenes de cuerpo, como el cubo, la esfera o una pirámide, donde había que elevar al cuadrado o al cubo un dato determiando.

Para cada uno de esos cálculos hay una fórmula, que cuando la necesitamos, vamos a buscarlas a tablas adecuadas para tal fin.

Normalmente nos daban los datos básicos, por ejemplo para obtener el area de un rectángulo, nos daban la medida del lado menor y mayor , y nosotros sólo nos concentrábamos en aplicar la fórmula tal cual nos enseñaban. (se acuerdan, que es igual a base  x altura).

Escrito en matemática es:  S=B x H

Donde S=área , B=Lado Mayor o base y H=lado menor o altura

Pero ATENCION, el problema puede estar planteado a revés, nos pueden dan la superficie del rectángulo  y nos piden la medida de los lados correspondiente.

Por ejemplo si: S=100, habrá que buscar dos lados (B y H), que multiplicados nos dé 100. Algunos podrían ser: B=20 y H=5 ó B=200 y H=0.5 ó B=25 y H=4, etc.

Como se ve hay muchisssssssssimas soluciones, pero si queremos una en particular nos tienen que dar otro dato, por ejemplo: el valor de uno de sus lados,asi: B=50.

Para este caso: S=B x H

Reemplazando es:

    100=B x H

Entonces, despejando las letras se tiene que:

H=100/B= 100/50=2

(El 50 pasa dividiendo porque está multiplicando, se entiende?)

Entonces si la base  mide 50, la altura debe ser igual a 2 para que la superficie valga 100.

Bien, observen que la fórmula H=100/B es otra ecuación que resultó de despejar H de la fórmula del área.

En este caso a la letra H se la llama incógnita, y nos representa la altura del rectángulo en estudio. El valor 100 es una constante numérica y B es un valor o dato.

En matemática se usan las últimas letras del abcedario para indicar las incognitas, por ejemplo la famosa: X

Podríamos escribir así: X=100/B

Bien ahora daremos un pasito más. Cuando la X no está elevada a nada, como en este caso,(y en la mayoria de los casos de la vida diaria), se dice que la ecuación es de PRIMER GRADO y su resolución es muy sencilla. Despejando la X se llega a la fórmula final.

Pero a medida que vamos a fórmulas más complejas, por ejemplo el area de un círculo, se observa que el radio está elevado a un valor igual a dos. Matemáticamente es asi:

S=3.14 x R²

Podemos usar la letra X en lugar de R, y es: S=3.14 x X²

Nota que ahora la variable X tiene un exponente 2 y su resolución es ahora un poco más compleja. Si nos dan ahora, como anterioremente, S=100, cuando valerá X?. El cálculo para esta situación es el siguiente:

Hay que despejar X, pero para dejarla sola debemos sacar el 2 que está como exponente, y pasará al otro miembro como radical. Por lo tanto es:

X=raiz cuadrada(S)/3.14

Si S=100 es: X=raizcuadrada(100)/3.14

La raiz cuadrada de 100 vale:10 (porque 10 x 10=100)

S=10/3.14=3.184

El radio vale: 3.184

Cuando X está elevado al cuadrado se dice que la ecuación es de SEGUNDO GRADO.

Bien, haciendo otro paso más, puede ocurrir que tengamos una ecuacion de segundo grado como la siguiente:

3X²+5x=100

Ahora observen que hay dos términos, uno de segundo grado idual a 3X² y otro de primer grado igual a:5X

Como se resuelve ahora?.Para conocer cuanto debe valer  X para que dé 100.

Ya no se puede despejar tan directamente y se debe aplicar una fórmula, que se llama resolvente de segundo grado, que permite obtener directamente el valor de la incógnita X.

Esa fórmula no la explicaremos, pero en cualquier libro del secundario de puede enccontrar.

Las ecuaciones de segundo ya eran resuletas por los babilonios hace unos 3000 años.

Pero bien que pasa ahora si seguimos agregando grados a las ecuaciones, por ejemplo la siguiente es de tercer grado: (X3 se lee x al cubo)

X3 + 2X² – 10 = 100

Como se obtiene ahora X. Bueno ya no hay fórmulas tan sencillas, y obtenerlas costó muchos años de estudio de los más importantes matemáticos de la edad media.

Notarán que a medida que se aumenta un grado se complica notablemente el cálculo de la incognita X. Hay un teorema que dice que hay tantos valores de inconitas como grado tenga la ecuación. Es decir la tercer grado tendrá 3 valores distintos como solución.

Ferraris, como vimos anteriormente, estudió la ecuación completa de cuarto grado, como  por ejemplo,la siguiente:

2×4+x3-6×2+7x-55=12

Se dice que es completa por que tiene todas la X con sus exponentes, si faltase un término, se dice que la ecuación es incompleta, y su resolución es mucho más fácil. El grado de dificultad aumenta enormemente cuando la ecuación está completa.

Bueno hasta aquí llegamos, esto no busca ser un tratamiento matemático de ecuaciones, sólo se hace  a los efectos de dar una somera idea del concepto del grado de una ecuación, que tanto se usó más arriba  para explicar la historia de esos genios medievales.