Biografia de Diofanto de Alejandria,Matematico Estudioso de las Ecuaciones
Las Ecuaciones Diofánticas
Aunque los detalles de su vida sean casi un misterio envuelto en un enigma algebraico, Diofanto de Alejandría (200-284 d.C.) fue el matemático que liberó a los números de la geometría y enseñó al mundo a pensar en ecuaciones.
Fue el gran maestro de la escuela alejandrina, famoso por su obra Aritmética, el libro que revolucionó el álgebra al introducir un sistema simbólico para resolver problemas numéricos con varias incógnitas. Hoy en día llamamos "ecuaciones diofánticas" a aquellas que buscan soluciones enteras o racionales. La edición de 1621 de su Aritmética fue la chispa que encendió la mente de Pierre de Fermat y llevó al célebre Último Teorema de Fermat.
Matemático griego que floreció en Alejandría¡ alrededor del año 275. Pertenece a las últimas épocas griegas. Es sin duda el más grande algebrista griego. Nada se conoce de su vida, pero si que han llegado a nuestras manos gran cantidad de trabajos.
Resolvió problemas con ecuaciones algebraicas e inventó un formulismo particular.
Su principal obra es la Arithmetica, dedicada casi exclusivamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, de forma que este tipo de sistemas de ecuaciones se conoce hoy en día como sistemas de ecuaciones diofánticas.
Diofanto daba alguna de las soluciones de los sistemas, no las infinitas.
Uno de los problemas que plantea es:
comprar 100 animales de tres clases diferentes con $100.
Gato -> a$ , Perro -> b$ , Loro -> c$
El problema conduce a un sistema de ecuaciones indeterminado:
g + p + l = 100 (1: la suma de g gatos, mas p perros , mas l loros debe ser 100)
a.g + b.p + c.l = 100 (2: g gatos por el precio del gato, mas p perros por su precio mas l loros por su precio es igual a 100 pesos)
Si a, b y c son pequeños, hay muchas soluciones.
Si a, b y c son grandes, hay menos soluciones.
Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica donde tanto los coeficientes como las soluciones buscadas pertenecen exclusivamente al conjunto de los números enteros Z. La más común es la ecuación lineal de dos variables: ax+by=c ,donde a,b,c son números enteros dados y se deben encontrar los pares de valores enteros (x,y) que satisfagan las ecuación.
Existen técnicas matemáticas para hallar las soluciones, por ejemplo para esta ecuación, tiene solución si y solo si el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes a y b divide exactamente al término independiente a c. Si esta condición no se cumple, la ecuación carece de soluciones enteras
También se ocupa de la Teoría de Números.
La Arithmetica consta de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes.
En él Diofanto propone más de ciento treinta problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos. Utilizaba el signo / para indicar la sustracción.
Diofanto analizó tres tipos de ecuaciones de 2º grado:
ax2 + bx = c,
ax2 = bx + c
ax2 + c = bx.
La razón por la cual había tres casos para Diofanto y no uno solo como en la actualidad es que desconocía el 0 y evitaba los coeficientes negativos, ya que consideraba a los coeficientes a, b y c como positivos en los tres casos.
También resolvió sistemas de ecuaciones.
Por ejemplo consideró:
y + z = 10,
yz = 9
Resolvió este problema creando una sola ecuación de 2º grado en x.
Hizo 2x = y - z, sumando y + z = 10 y y- z = 2x, tenemos y = 5 + x, restándolas queda z = 5-x.
Entonces 9 = yz = = (5+ x) (5 - x) = 25 - x2, así x2 = 16, x = 4. y por lo tanto y = 9, z = 1.
En el Libro III, Diofanto muestra como encontrar valores que transformen 2 ecuaciones lineales simultáneamente en cuadrados. Por ejemplo muestra como encontrar x para que 10x+9 y 5x+4 se transformen en cuadrados (encuentra x=28).
En el libro VI plantea como encontrar x para que un polinomio x3 - 3x2 + 3x + 1 se transforme en cuadrado. También en este libro plantea el valor de x para que simultáneamente 4x+2 sea un cubo y 2x+1 un cuadrado (encuentra la solución x=3/2).
En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet.
Dice una leyenda que en la sepultura de Diofanto se encontró el siguiente epitafio:
Caminante, aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar ¡Oh milagro! cuan larga fue su vida.
Una sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida en la adolescencia. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un estéril matrimonio.
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, al a tierra que duró tan sólo la mitad de la de su padre.
Y con profunda peno descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.
Del análisis de este epitafio surge que vivió 84 años.
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Fuente Consultada:Los Matemáticos que hicieron historia-Alejandro E. García Venturini
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