Disputas Matemáticas En el Siglo XVI Tartaglia Cardano Del Ferro






Disputas Matemáticas En el Siglo XVI
Tartaglia ,Cardano y Del Ferro

Introducción: Erase  el siglo XVI, en la Italia renacentista, tres notable matemáticos conocidos como Del Ferro, Tartaglia y Cardano, que trabajaban arduamente en busca de encontrar un método práctico para resolver una ecuación matemática, conocida como de tercer grado. Desde la época de los babilonios, 2500 a.d.C.,cuando estos ya conocían  la solución de  las ecuaciones de segundo grado, (para aplicarlo a sus construcciones) y hasta esa fecha no hubo avances significativos con respecto a este tema.

Unos cuántos años antes los famosos matemáticos medievales Fibonacci y Luca Pacioli, habían tratado someramente estos problemas, pero sólo resolviendo algunos casos particulares, e inclusive sin llegar a una demostración racional de tales soluciones. Sería Scipione del Ferro, hijo de un imprentero de Bolonia, el primero en estudiar con un método ortodoxo, la obtención de las raíces (soluciones) de estas funciones matemáticas. Más tarde otras grandes figuras continuarían con estos trabajos, pero sin antes, atravesar un difícil camino de encuentros violentos, dramáticos y deshonestos, por el afán de lograr la primacía en la concreción de sus búsqueda.

A través de sus biografía se reflejará esta historia de tristes disputas, y que muestra también la pasión que dominaba a  estos genios de los números, que muchas veces viviendo en un ámbito de miserias humanas y materiales , no se dejaban vencer por la adversidad, y siempre se esforzaban para llegar a conocer la verdad de estos dificultosos problemas.

   Si antes desea conocer el concepto de ecuación pique aquí   

Esta es su historia….

del FERRO, Scipione (1465 – 1526)

Scipione del Ferro nació el 6 de Febrero de 1465 en Bolonia ciudad en la que también murió el 5 de Noviembre de 1526. Aunque no es un matemático muy conocido, su rol en la historia de la Matemática tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. Se educó en la Universidad de Bolonia que fue fundada en el siglo XI. Sus padres fueron Floriano y Filippa Ferro. Floriano trabajaba en la industria del papel, debido al invento de la imprenta en los ’50. Fue profesor de Aritmética y Geometría en dicha universidad desde 1496 hasta el final de su vida. En sus últimos tiempos se dedicó a las transacciones comerciales.

No han sobrevivido escritos de del Ferro, ello se debe a la resis­tencia que tenía a divulgar sus trabajos, prefería comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos.

Tenía un anotador donde guardaba sus importantes descubrimientos. Este anotador pasó al yerno, Hannibal Nave, cuando del Ferro murió en 1526.

Nave, que también se dedicó a la Matemática, lo reemplazó, cuando falleció, en la Universidad de Bolonia. Estaba casado con la hija de del Ferro, Filippa.

En 1543, Cardano y Ludovico Ferrari (un alumno de Cardano) viajan a Bolonia en busca de Nave y del anotador de su suegro, para analizar este tema. Según cuenta Ferrari, ambos se encontraron con Nave en Bolonia y éste les muestra el anotador manuscrito de del Ferro donde aparece la resolución de la ecuación de tercer grado.

Los matemáticos en la época de del Ferro sabían que el problema de resolver la ecuación general de tercer grado podía reducirse a x3 + mx = n y x3 = mx + n, con m > 0 y n > 0 (el término en X2 podía siempre removerse con una adecuada sustitución). Por supuesto que si se hubiesen utilizado los coeficientes negativos, que no se usaban en esa época, habría un solo caso.(X3 se lee x al cubo)

Hay conjeturas sobre si del Ferro trabajó sobre el tema como consecuencia de una visita que realizó Pacioli a Bolonia. Pacioli enseño en la Universidad de Bolonia entre 1501 y 1502 y discutió distintos temas matemáticos con del Ferro. No se sabe si trataron este tema, pero Pacioli lo incluyó en su famoso tratado Summa que había publicado 7 años antes. Algún tiempo después de la visita de Pacioli, del Ferro había resuelto seguro uno de los dos casos (quizás había resuelto los dos ca­sos). En 1925, examinando manuscritos del siglo XVI, aparece que del Ferro da un método para resolver el caso: 3X3+ 18x =60.

Para Cardano, habría sido del Ferro y no Tortaglia el primero en resolver el tema de la ecuación de tercer grado, por eso publica en su obra Ars Magna. Cardano sostiene que lo que publica es el método de del Ferro y no el de Tartaglia. Cardano había prometido a Tartaglia no divulgar su método, que como veremos más abajo, Cardano había conseguido “sacársela” con una mentira.

Del Ferro, también hizo importantes contribuciones en la racionalización de fracciones extendiendo los métodos conocidos para denominadores con raíces cuadradas a denominadores con suma de 3 raíces cúbicas.

 Niccolo Fontana (Tartaglia) 1499-1557 

Niccolo Fontana conocido como Tartaglia, nació en Brescia República de Venecia , en 1499 y murió el 13 de diciembre de 1557 en la ciudad de Venecia.  Su verdadero nombre era Fontana, pero fue apodado Tartaglia por su tartamudez, causada por una cuchillada propinada por un soldado francés, en la Catedral de Brescia, que te derivó secuelas en el habla, durante la masacre de 1512, cuando fue capturada su ciudad natal.

 Su cara quedó desfigurada, lo cual lo obligó siempre a usar barba para disimular sus cicatrices.


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Hijo de una viuda pobre (su padre murió en la masacre), fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que aprendió a escribir.  Estudió por si solo griego, latín y matemática, disciplina con la cual, debido a su habilidad, pudo ganarse la vida enseñando en Verona hasta que en 1534 se traslada a Venecia donde muere, en la misma pobreza que te acompañó toda su vida.

La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones de plagio.  Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, representan fielmente las miserias y virtudes del hombre renacentista.

La primera persona que se conoce resolvió la ecuación de tercer grado es Scipione del Ferro, pero no informó a nadie sobre el tema, En su lecho de muerte, del Ferro confió el secreto a su alumno Antonio Maria Fiore, quién comenzó a jactarse de poder resolver ecuaciones de tercer grado y en 1535 desafió a Tartaglia que al mismo tiempo estaba estudiando el mismo tipo de ecuaciones, pero descubrió más casos que los que podía resolver Fiore.

El desafío consistía en lo siguiente, cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer treinta problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero, Como no se usaban números negativos, había dos tipos de ecuaciones de tercer grado (x3 + mx = n y x 3 = mx + n, con m > 0 y n > O). del Ferro habría enseñado aFlore a resolver sólo uno de los casos.  En este duelo Tortaglia demostró el 13 de febrero de 1535 saber como resolver ambos casos, sin explicar como lo hacía.  En menos de dos horas resolvió los problemas presentados por Flore, quien no pudo responder satisfactoriamente a los problemas planteados por Tartagila.  Este triunfo hizo famoso a Tartaglia.

 En este momento entra en la historia Cardano.  Como profesor en Milán 138 estaba al tanto del tema, pero hasta este desafío, creía lo que había planteado Pacioli en su libro Summa en 1494, que el problema no tenía solución.  Trató de resolver el problema pero no pudo.

Tartaglia mantuvo en secreto sus métodos.  Cardano, que estaba en Milán, trataba de conseguir que Tartagliate confiara la fórmula, pero éste se niega en varias oportunidades.  Cardano se contacta con Tartaglia y te promete recomendarlo al gobernador de Milán, Alfonso d’Avalos.

Tartagila, que piensa que este puede ser un buen contacto que te permitiría obtener un cargo en la corte de Milán, y así dejar su modesto trabajo en Venecia, reptantea su actitud.  Así se lo hace sa­ber a Cardano, quien lo invita a su casa y te promete una reunión con d’Avalos.  En marzo de 1539 deja Venecia rumbo a Milán.  Lamentablemente para Tartaglia, el gobernador no se encontraba en Milán.

Tartaglia, después de mucha persuasión y con el compromiso de mantener en secreto estos métodos, se lo confía a Cardano.  Lo hace en forma de poema, por si llegara a caer en manos extrañas.

Tartaglia parte de regreso a Venecia con una carta de recomen­dación para el gobernador y con la duda de si había hecho bien en confiar a Cardano su fórmula.  Considera que fue presionado a entre­garla a cambio de favores políticos.

Cardano finalmente la publicó en su libro Ars Magna en 1545. (ver biografía de Cardano).  Esto enfureció aTartaglla.

En 1546 Tartaglia publicó el libro Nuevos problemas e inventos en el cual cuenta su versión de la historia y denuncia que Cardano actuó de mata fe.

Este quería debatir con a no y no con un ignoto matemático. Cardano no aceptó el debate con Tartaglia.  Durante algún tiempo siguieron los intercambios de correspondencia con varios insultos entre Ferrari yTartaglia.

La posición de Cardano, un prestigioso matemático y médico de Milán, era muy fuerte frente a la débil posición de un modesto profesor de Venecia.

Repentinamente, en 1548, Tartaglia recibe una oferta para dar clases en su ciudad natal, Brescia.  Pero para demostrar su aptitud para el cargo debe ir a Milán a debatir con Ferrari sobre la ecuación de tercer grado.

El 10 de agosto de 1548 se produce el debate.  Tartaglia pensaba ganar pero al cabo del primer día Ferrari demostró tener un mayor conocimiento del tema.  Tartaglia resuelve abandonar Milán dejando el debate inconcluso.  Ante esta actitud de Tartaglia, Ferrari fue el ganador.

Tartagila accede igualmente a su cargo en Brescia, pero aparentemente debido a su fracaso en el debate, no te pagaron.  Esto lo obligó a volver a su trabajo en Venecia.

En 1537 publicó un libro sobre balística en el cual postulaba correctamente que todo proyectil tiene alcance máximo cuando se dispara con un ángulo de 45′, pero no dio la demostración de este hecho.  También escribió un libro sobre Teoría de números en el que pueden encontrarse entretenidos rompecabezas como por ejemplo:

Tres matrimonios (en los cuales los maridos son extremadamente celosos) quieren cruzar un río en unabarca en la que caben como máximo dos personas. Determinar cómo debe planificarse el cruce si no puede dejarse a ninguna mujer en compañía de un hombre a menos que su marido esté presente.

Tres personas quieren repartiese el aceite que hay en una garrafa de 24 litros.  Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.

En 1556 publica su obra Trattato, donde se refiere al descubrimiento del triángulo aritmético y al desarrollo del binomio, aunque estos temas ya eran conocidos en años anteriores.  Hoy el triángulo aritmético lleva su nombre (Tartaglia) o e( de Pascal, que escribió sobre el tema en 1654.  En la obra de Pascal aparece el tema del binomio, pero como de Newton.

  CARDANO Jerónimo (1501-1576) 

 Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavia’40, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de septiembre de 1576.  Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria.  Su padre era abogado en Milán, pero su experiencia en Matemática hizo que Leonardo da Vinci lo consultara en temas de Geometría.  Fazio dio clases de Geometría en la Universidad de Pavia.  Siendo cincuentán conoció a Chiara Micheria, una viuda treintañera, que luchaba por criar 3 hijos.  Así Chaira quedó embarazada de Fazio, con quien se casó muchos años después. Cardano comenzó como asistente de su padre,  que te enseñó Matemática.  Pero él aspiraba a más y empezó a pensar en hacer una carrera.  Aunque su padre quería que estudiara derecho,Cardano ingresé a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra.

Cardano se graduó de médico en 1525 y demostró conocer al menos intuitivamente el fenómeno de la alergia.  Además era un matemático de primera línea.  Malgastó lo que recibió de su padre y se dedicó al juego para mejorar sus finanzas (dados, cartas, ajedrez), del cual hizo un medio de vida ya que habitualmente era más (o que ganaba que (o que perdía.  En este ambiente estuvo rodeado de gen­te de dudosa reputación.

El juego se convirtió en una adicción que te duró muchos años y te hizo perder mucho tiempo valioso, dinero y reputación.

Tuvo fama de persona complicada y poco querida, esto te valió que el Colegio de Médicos de Mitán no lo admitiera en numerosas ocasiones, la primera en 1532.  Usaron como excusa el hecho de que era hijo ilegítimo.  Finalmente en 1539 fue admitido al reconsiderarlo como hijo legítimo.

Mientras estuvo inhabilitado para ejercer la medicina, Cardano, en 1533, volvió al juego para poder subsistir, pero te fue tan mal que tuvo que empeñar las joyas de su esposa Lucía, con quien se había casado en 1531.

Buscando desesperadamente un cambio en su suerte, se mudó a Milán, pero te fue peor y entró en la pobreza.

En 1539 Cardano publicó sus dos primeros libros.  Uno de ellos fue La práctica de Aritmética y las mediciones simples.  Este fue el comienzo de una prolífica carrera literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, además de Matemática.

Ese mismo año Cardano se acercó a Tartaglia, que se había he­cho famoso por ganar un concurso sobre ecuaciones de tercer grado (ver más detalles en la biografía de Tartaglia), y trató de que te explicara el método.

Tartaglia aceptó con la promesa bajo juramento de Cardano de que no iba a publicarlo hasta que el mismoTartaglia lo publicara.

Durante los siguientes 6 años Cardano trabajó en las ecuaciones de tercer y cuarto grado.  Entre 1540 y 1542Cardano se dedicó al juego todo el día.

En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna.  En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado.  En 1543 había descubierto que Tortaglia no había sido el primero en resolver estas ecuaciones y por eso considera que no falta a la promesa que hizo publicándolas.

En esta obra además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x, es raíz de( polinomio.  Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde ei álgebra literal al álgebra simbólica.

Cardano introduce tos números complejos en Ars Magna a partir de un sencillo problema geomé­trico que dicho en el lenguaje habitual sería el siguiente: dado un segmento de longitud 10 unidades, dividirlo en dos partes de forma que forme un rectángulo de área igual a 40 unidades cuadradas -es fácil ver que el problema se reduce a la ecuación x2-10x+40=0, cuyas soluciones son complejas- En la ilustra­ción vemos la página de Ars Magnadonde aparece este problema.

Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha.  Todavía utilizaba la Geometría para demostrar la identidad aigebraica (a-b)3 = = a3 -b3 -3ab(a-b) y todavía rehuía de la utilización de números nega­tivos, lo cual puede apreciarse a (a hora de dar por separado las siguientes ecuaciones: x3 + px = q, x3 = px + q. Sin embargo, el Ars Magna presenta una explicación completa de (a ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios.

 En este libro también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida al alumno deCardano, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.  Enfer­mo, en 1565 Ferrari regresa a Bolonia para enseñar Matemática.  Allí es envenenado con arsénico por su propia hermana.

En 1546 murió Lucía y se transformó en rector del Colegio de Médicos de Milán, al cual tanto te costó ingresar.  Recibió muchas ofertas de jefes de Estado de Europa para recibir sus atenciones médicas mientras su reputación como médico iba en ascenso.

En una sola ocasión aceptó la propuesta para salvar (a vida del Ar­zobispo de St. Andrews en Escocia, John Hamitton.  Estaba al tope de su fama y su exitoso viaje a Escocia lo transformó en una celebridad.

Al regresar de Escocia era un importante profesor de Medicina en la Universidad de Pavia y con muchos pacientes adinerados, se transformó en un hombre rico y afortunado.

Pero mientras gozaba de esta fama tuvo que hacerse cargo de su hijo mayor, Giambatista, que envenenó a su mujer.  Giambatista fue encarcelado, torturado y finalmente ejecutado el 13 de abril de 1560, ya que Cardanono pudo pagar la suma de dinero que te exigí­an para salvar a su hijo.  Cordano nunca se repuso de este golpe.  Nunca se perdonó no haber podido prevenir a su hijo predilecto de haber hecho lo que hizo y no haber podido salvarlo.

Cardano volvió a tener problemas luego con su hijo Aldo, que era jugador y estaba asociado a individuos de dudosos antecedentes.

 En 1569 Aldo había perdido todas sus pertenencias y una consi­derable suma de dinero de su padre en el juego.  En un intento por conseguir dinero Aldo ingresó a la casa de su padre y robó una considerable suma de dinero y joyas.  Cardano denunció a su hijo a las autoridades y éste fue desterrado de Bolonia.

En 1570 Cardano fue encarcelado bajo el cargo de herejía al haber publicado un horóscopo de Jesucristo (se consideraba herejía por deducirse que Dios dependía de tas estrellas), pero se te liberó tras retractarse; pero se te prohibió ejercer cargos universitarios.

También publicó Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en tos que aprovechó su experiencia como jugador y una autobiografía extremadamente fran­ca, De propria vita,que adquirió cierta fama.

Hay una leyenda que mantiene que mediante la astrología predijo el día de su muerte y que se sintió obligado a suicidarse para que su predicción fuera cierta.

Fuente Consultada: Matemáticos Que Hicieron La Historia de Alejandro García Venturini

Si desea conocer como se resuelve en la actualidad una ecuación
de tercer y cuarto grado pique aquí

              ECUACIÓN MATEMATICA:           

Una ecuación matemática es una expresión que combina signos aritméticos como la suma, multiplicación, radicación, logaritmo,etc. con valores numéricos y que sirve para calcular otro valor, que nos representará, por ejemplo: una superficie, un volumen, un tiempo, una distancia, un peso, etc.

Los ejemplo más sencillos son por ejemplo, los que aprendimos en la primaria, cuando calculábamos la superficie de un cuadrado o de un circulo, usando en este último caso, la constante Pi. Otros un poquito “más dificil” eran los volumenes de cuerpo, como el cubo, la esfera o una pirámide, donde había que elevar al cuadrado o al cubo un dato determiando.

Para cada uno de esos cálculos hay una fórmula, que cuando la necesitamos, vamos a buscarlas a tablas adecuadas para tal fin.

Normalmente nos daban los datos básicos, por ejemplo para obtener el area de un rectángulo, nos daban la medida del lado menor y mayor , y nosotros sólo nos concentrábamos en aplicar la fórmula tal cual nos enseñaban. (se acuerdan, que es igual a base  x altura).

Escrito en matemática es:  S=B x H

Donde S=área , B=Lado Mayor o base y H=lado menor o altura

Pero ATENCION, el problema puede estar planteado a revés, nos pueden dan la superficie del rectángulo  y nos piden la medida de los lados correspondiente.

Por ejemplo si: S=100, habrá que buscar dos lados (B y H), que multiplicados nos dé 100. Algunos podrían ser: B=20 y H=5 ó B=200 y H=0.5 ó B=25 y H=4, etc.

Como se ve hay muchisssssssssimas soluciones, pero si queremos una en particular nos tienen que dar otro dato, por ejemplo: el valor de uno de sus lados,asi: B=50.

Para este caso: S=B x H

Reemplazando es:

    100=B x H

Entonces, despejando las letras se tiene que:

H=100/B= 100/50=2

(El 50 pasa dividiendo porque está multiplicando, se entiende?)

Entonces si la base  mide 50, la altura debe ser igual a 2 para que la superficie valga 100.

Bien, observen que la fórmula H=100/B es otra ecuación que resultó de despejar H de la fórmula del área.

En este caso a la letra H se la llama incógnita, y nos representa la altura del rectángulo en estudio. El valor 100 es una constante numérica y B es un valor o dato.

En matemática se usan las últimas letras del abcedario para indicar las incognitas, por ejemplo la famosa: X

Podríamos escribir así: X=100/B

Bien ahora daremos un pasito más. Cuando la X no está elevada a nada, como en este caso,(y en la mayoria de los casos de la vida diaria), se dice que la ecuación es de PRIMER GRADO y su resolución es muy sencilla. Despejando la X se llega a la fórmula final.

Pero a medida que vamos a fórmulas más complejas, por ejemplo el area de un círculo, se observa que el radio está elevado a un valor igual a dos. Matemáticamente es asi:

S=3.14 x R²

Podemos usar la letra X en lugar de R, y es: S=3.14 x X²

Nota que ahora la variable X tiene un exponente 2 y su resolución es ahora un poco más compleja. Si nos dan ahora, como anterioremente, S=100, cuando valerá X?. El cálculo para esta situación es el siguiente:

Hay que despejar X, pero para dejarla sola debemos sacar el 2 que está como exponente, y pasará al otro miembro como radical. Por lo tanto es:

X=raiz cuadrada(S)/3.14

Si S=100 es: X=raizcuadrada(100)/3.14

La raiz cuadrada de 100 vale:10 (porque 10 x 10=100)

S=10/3.14=3.184

El radio vale: 3.184

Cuando X está elevado al cuadrado se dice que la ecuación es de SEGUNDO GRADO.

Bien, haciendo otro paso más, puede ocurrir que tengamos una ecuacion de segundo grado como la siguiente:

3X²+5x=100

Ahora observen que hay dos términos, uno de segundo grado idual a 3X² y otro de primer grado igual a:5X

Como se resuelve ahora?.Para conocer cuanto debe valer  X para que dé 100.

Ya no se puede despejar tan directamente y se debe aplicar una fórmula, que se llama resolvente de segundo grado, que permite obtener directamente el valor de la incógnita X.

Esa fórmula no la explicaremos, pero en cualquier libro del secundario de puede enccontrar.

Las ecuaciones de segundo ya eran resuletas por los babilonios hace unos 3000 años.

Pero bien que pasa ahora si seguimos agregando grados a las ecuaciones, por ejemplo la siguiente es de tercer grado: (X3 se lee x al cubo)

X3 + 2X² – 10 = 100

Como se obtiene ahora X. Bueno ya no hay fórmulas tan sencillas, y obtenerlas costó muchos años de estudio de los más importantes matemáticos de la edad media.

Notarán que a medida que se aumenta un grado se complica notablemente el cálculo de la incognita X. Hay un teorema que dice que hay tantos valores de inconitas como grado tenga la ecuación. Es decir la tercer grado tendrá 3 valores distintos como solución.

Ferraris, como vimos anteriormente, estudió la ecuación completa de cuarto grado, como  por ejemplo,la siguiente:

2×4+x3-6×2+7x-55=12

Se dice que es completa por que tiene todas la X con sus exponentes, si faltase un término, se dice que la ecuación es incompleta, y su resolución es mucho más fácil. El grado de dificultad aumenta enormemente cuando la ecuación está completa.

Bueno hasta aquí llegamos, esto no busca ser un tratamiento matemático de ecuaciones, sólo se hace  a los efectos de dar una somera idea del concepto del grado de una ecuación, que tanto se usó más arriba  para explicar la historia de esos genios medievales.





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