Leyes de Kepler del Movimiento de los Planetas y Orbitas Elipticas
Leyes de Kepler del Movimiento de los Planetas
LEY DE KEPLER 1: "La orbita que describe cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos"
LEY DE KEPLER 2: "Cada planeta se mueve de tal manera que el radio vector (recta que une el centro del Sol con el planeta) barre area iguales en tiempos iguales".
LEY DE KEPLER 3: "El cuadrado de los períodos de revolución de dos planetas es proporcional a los cubos de sus distancias medias al Sol."
Resolución del problema de los movimientos planetarios: El tema de los movimientos planetarios es inseparable de un nombre: Johannes Kepler.
La obsesión de Kepler por la geometría y la supuesta armonía del universo le permitió, luego de varios frustrados intentos, enunciar las tres leyes que describen con extraordinaria precisión, el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
Desde una posición cosmológica copernicana, que como hemos visto en esa época era más una creencia filosófica que una teoría científica, Kepler logró esta magnífica empresa de manera totalmente empírica, sin más teoría que su propio convencimiento sobre el carácter fundamental (divino) de la geometría, y utilizando la gran cantidad de datos experimentales obtenidos por Tycho Brahe.
La primera ley establece, a pesar de su autor, que los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de sus focos.
En la escala de valores geométricos de Kepler, el círculo ocupaba un lugar privilegiado y de ahí su decepción, luego de múltiples intentos por compatibilizar las observaciones con órbitas circulares.
Primera Ley:
"La orbita que describe cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos"
Las elipses de las trayectorias sonde muy poca excentricidad, de tal manera que difieren muy poco de la circunferencia.
Asì por ejemplo , la excentricidad de la órbita de la Tierra es e=0,017, y como la distancia Tierra-Sol es aproximadamente 150.000.000 de Km. la distancia del Sol (foco) al centro de la elipse es de ae=2.500.000 Km.
La segunda ley se refiere a las áreas barridas por la línea imaginaria que une cada planeta al Sol, llamada radio vector.
Kepler observó que los planetas se mueven más rápido cuando se hallan más cerca del Sol, pero el radio vector encierra superficies iguales en tiempos iguales. (Si el planeta tarda el mismo tiempo en ir de A a B en la figura , que de c a D, las áreas en blanco son iguales).
Segunda Ley:
"Cada planeta se mueve de tal manera que el radio vector (recta que une el centro del Sol con el planeta) barre area iguales en tiempos iguales".
El radio vector r, o sea la distancia entre el planeta y el foco (Sol) es variable, pues es mínima en el perihelio y máxima en el afelio. Como la velocidad areal (área barrida en la unidad de tiempo) es constante, la velocidad del planeta en su órbita debe ser variable.
En virtud de esta ley, si las áreas PFM y AFN son iguales, el arco PM será menor que el AN, lo que indica que el planeta se desplaza más ligero en el perihelio. Es decir, su velocidad es máxima a la mínima distancia al Sol y mínima a la máxima distancia.
Finalmente, la tercera ley relaciona el semieje mayor de la órbita, llamado a, al período orbital del planeta p, de la siguiente manera: a3/P2 = constante.
De acuerdo a esta ley, la duración de la trayectoria orbital de un planeta aumenta con la distancia al Sol y así sabemos que el “año” (definido como el tiempo empleado por el planeta en volver al mismo punto de su órbita) en Mercurio tiene 88 días (terrestres), en Venus 224, en la Tierra 365 y sigue aumentando a medida que nos alejamos del Sol.
Determinando independientemente alguna de ellas es posible conocer sus valores absolutos.
Tercera Ley:
"El cuadrado de los períodos de revolución de dos planetas es proporcional a los cubos de sus distancias medias al Sol."
Si a1, y a2 son las distancias medias al Sol de dos planetas, por ejemplo Marte y la Tierra, y p1 y p2 son los respectivos tiempos de revolución alrededor del Sol, de acuerdo con esta ley resulta que:
donde el tiempo està dado en años y la distancia en unidades astronómicas (UA=150.000.000 Km.)
Dados el periodo P y la distancia a de un planeta al Sol; y el período o la distancia de otro, se puede determinar el dato incógnita. Por ejemplo, para la Tierra P1 1 año; a1 = 1 UA; y para Venus a2 = 0,72 UA, se puede calcular el período P2 de Venus:
Si dado el período de revolución de un planeta se desea conocer la distancia, se aplica la expresión:
que para el caso del planeta más lejano del sistema solar, Plutón, donde P2 = 248 años, resulta:
Posteriormente al enunciado de esta ley hecho por Kepler, Newton probó que en la misma deben aparecer las masas de los cuerpos considerados, y de esta manera obtuvo la siguiente fórmula:
donde M es la masa del Sol (el cuerpo situado en el foco de la Órbita), igual a 330 000 veces la masa de la Tierra, y m1 y m2 son las masas de los de cuerpos considerados que se mueven a su alrededor en orbitas elípticas.
Esta expresión permite calcular la masa de un planeta o satélite, si se conoce su periodo de traslación P y su distancia media a al Sol. (ver Ley de Bode).
En general para los planetas del sistema solar solo las masas de Júpiter y Saturno no son despreciables respecto a la del Sol. De esta manera , en la mayoría de los casos se considera (M+m) igual a: 1 masa solar y se obtiene así la expresión dada originalmente por Kepler.
Por primera vez una única curva geométrica, sin agregados ni componentes, y una única ley de velocidad resultan suficientes para predecir las posiciones planetarias, y por primera vez también, las predicciones son tan precisas como las observaciones.
Estas leyes empíricas recién encontraron su sustento físico y matemático en la teoría de la gravitación universal de Newton, quien estableció el principio físico que explica los movimientos planetarios.
La construcción de este cuerpo de ideas que comienza con Copérnico y culmina en la mecánica de Newton es un ejemplo por excelencia de lo que se considera un procedimiento científico, al que se puede describir muy esquemáticamente de la siguiente forma: se observa un hecho, se mide y se confecciona una tabla de datos; luego se trata de encontrar leyes que relacionen estos datos y, finalmente, se busca un principio que sustente o explique las leyes.
Una vez encontrado, este principio físico permite en general conectar hechos considerados previamente independientes y explicar más fenómenos además de aquellos que motivaron su formulación.
Newton fue así capaz de establecer que el movimiento de los planetas alrededor del Sol y la caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre son dos manifestaciones del mismo fenómeno: la gravedad.
En general es difícil separar estos pasos claramente. El salto del sistema tolemaico al copemicario se realizó en mayor medida debido a la reinterpretación de ciertas observaciones que a la obtención de nuevos datos.
Incluso Kepler formuló sus leyes escudriñando más en detalle esencialmente las mismas observaciones Ptolomeo había mencionado que los movimientos aparentes de los astros podían explicarse suponiendo que la Tierra estaba en movimiento.
Pero tal suposición no proporcionaba más que un mecanismo conveniente para los cálculos, y dado que la cosmología aristotélica requería una Tierra inmóvil en el centro del universo, prefirió adoptar la suposición que resultaba verdadera en el marco de la física aceptada en ese momento.
En realidad la escuela de Pitágoras había establecido mucho tiempo antes, en el siglo VI a.C., que tanto la Tierra como el Sol se movían alrededor del “fuego central”. Aristarco de Samos (siglo nI a.C.) —mejor conocido por sus mediciones de las distancias al Sol y a la Luna, lo que configuró una tarea extraordinaria considerando las herramientas matemáticas de la época— sostenía que la Tierra rotaba sobre su eje y describía una órbita alrededor del Sol.
También algunos filósofos del Renacimiento habían asignado movimiento a la Tierra. Pero ninguno de ellos usó esa suposición como punto de partida para dar una descripción detallada y sistemática de los movimientos aparentes de los cuerpos celestes.
En la labor científica no es sencillo decidir qué elementos o datos deben ser relacionados por las leyes. Kepler nos brinda un ejemplo de selección de “pistas útiles”.
En 1609 el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en dirigir un telescopio al cielo y como resultado, proporcionó a la astronomía el primer conjunto de datos cualitativamente nuevos, desde la antigüedad.
El telescopio permitió descubrir nuevas pruebas en favor del modelo heliocéntrico.
La Vía Láctea, hasta entonces un objeto nebuloso considerado más cercano a la esfera de la Tierra que a la de las estrellas, pudo resolverse por primera vez en una enorme cantidad de estrellas, demasiado débiles y pequeñas para ser separadas individualmente por el ojo desnudo.
El telescopio permite efectivamente separar dos estrellas que a simple vista parecen como una sola.
Esta propiedad se llama poder de resolución y se define con la mínima separación angular de dos estrellas que puede observarse.
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El astrónomo italiano Galileo Galilei (1564-1642). Cuando Galileo defendió la hipótesis heliocéntrica -la afirmación de que la Tierra gira alrededor del Sol-, se enfrentó con la opinión dominante de la Iglesia católica. Sin embargo, su hipótesis era coherente con los conocimientos disponibles en la época.
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Cuanto mayor es la apertura (o el diámetro del objetivo) mayor es el poder de resolución.
Esta innumerable cantidad de nuevos objetos volvió a dar credibilidad a la idea de un universo mucho más grande de lo supuesto por los antiguos astrónomos, tal como había sugerido Copérnico.
El telescopio también permitió resolver una paradoja usada por Tycho contra el modelo copenicano: si el universo es tan grande como requiere la ausencia de paralaje, entonces las estrellas deben ser extremadamente grandes.
Hasta entonces los tamaños estimados de las estrellas no eran superiores al del Sol y estas estimaciones se hacían suponiendo un valor para la distancia a las estrellas .
En base al mismo, el tamaño angular observado podía transformarse en una estimación de sus dimensiones lineales.
Pero si esta distancia aumentaba tanto, también aumentaba el tamaño de las estrellas. Las estrellas más brillantes tendrían diámetros más grandes que la órbita de la Tierra y esto parecía imposible.
El telescopio permitió descubrir que tal argumento era falso. Aunque aumentó notablemente el número de estrellas visibles no hizo lo mismo con su tamaño.
A diferencia del Sol, la Luna y los planetas que se agrandan sustancialmente cuando se observan a través del telescopio, las estrellas mantienen su tamaño.
El diámetro angular de las estrellas se había sobrestimado y actualmente sabemos que esto es una consecuencia de la turbulencia atmosférica, el mismo fenómeno que hace parecer que las estrellas titilan.
El nuevo instrumento permitió también descubrir “imperfecciones” en las superficies lunar (cráteres, montañas, zonas claras y oscuras) y solar, lo que sembró dudas sobre la “naturalidad” de la distinción tradicional (aristotélica) entre las regiones terrestre (repleta de imperfecciones) y celeste (perfecta).
El movimiento de las manchas observadas en la superficie solar sugirió que el Sol rota y así la rotación de la Tierra dejó de ser una idea descabellada. El descubrimiento de las “lunas” de Júpiter y su movimiento alrededor del planeta terminaron por destruir la idea de que todos los objetos celestes deberían moverse alrededor del centro del universo.
Pero la pregunta obligada es ahora: ¿Qué es lo que hace mover los planetas?
La explicación física del movimiento planetario en la antigüedad era que los planetas y las esferas que los contenían estaban hechos de un elemento celeste perfecto que rotaba eternamente alrededor del centro del universo.
El movimiento circular uniforme se consideraba natural.
Pero un planeta moviéndose de acuerdo a las leyes de Kepler, cambiando su velocidad, dirección y curvatura en cada punto de su órbita, parecía requerir algún tipo de fuerza responsable de estos cambios.
Kepler introdujo la noción de fuerzas originadas en el Sol y los planetas que proporcionaban la causa del movimiento planetario y de sus satélites.
Las mismas estaban relacionadas con el magnetismo, cuyas propiedades habían sido recientemente descubiertas: la Tierra y los planetas eran para Kepler grandes imanes y las atracciones y repulsiones de los polos determinaban las trayectorias planetarias.
Si bien estas ideas no prosperaron, la concepción kepleriana del sistema solar como un sistema autocontenido, tanto de sus componentes como de las causas de los movimientos de las mismas, resultó muy importante en los desarrollos sucesivos de las ideas cosmológicas.
PARA SABER MAS...
MAS ALLÁ DE LAS LEYES DE KEPLER
No obstante , la gravitación universal va mas allá de las leyes de Kepler, pues permite establecer la forma más general que puede tener la órbita de un objeto sometido a la fuerza gravitatoria de otro cuerpo.
Puede ocurrir, en efecto, que el primero no esté ligado establemente al segundo, sino que el encuentro entre los dos sea sólo temporal, como sucede, por ejemplo, con algunos cometas destinados a pasar una sola vez por las cercanías del Sol y luego a perderse por el espacio interestelar.
La forma de las órbitas celestes puede ser cerrada, si el objeto que órbita está destinado a moverse por las proximidades del cuerpo atractor, o abierta, si el primero viene de remotas regiones siderales y está destinado a regresar a ellas.
En el primer caso, la órbita será elíptica o circular; en el segundo será hiperbólica o parabólica, según que la trayectoria sea una hipérbola o una parábola.
En realidad, las órbitas de los cuerpos celestes se ven continuamente modificadas por una serie de fenómenos secundarios, entre los cuales figuran la presencia de otros objetos masivos, que en el caso del sistema solar son los demás planetas, así como efectos de marea o también la presencia, como en los cometas, de chorros que actúan como cohetes propulsores.
El ulterior desarrollo de las leyes de la gravitación por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general ha puesto de manifiesto que los movimientos keplerianos son sólo aproximaciones a los movimientos reales de los objetos celestes, incluso en ausencia de fenómenos más complicados.
Sin embargo, las leyes de Kepler permiten describir con suficiente precisión las órbitas de los planetas del sistema solar. Además, tienen una importancia histórica notable, pues fueron el elemento de ruptura con la descripción del universo debida a Tolomeo que estuvo en vigor durante siglos.
• UN POCO DE HISTORIA
Kepler vió cumplido el sueño de su vida. Consideró que había descubierto las leyes con las que Dios había creado el universo y regían su funciona miento. Se consideró el afortunado mortal que había desentrañado el secreto de un cosmos que reflejaba la trinidad divina.
Un cosmos limitado por la esfera de las estrellas fijas y centrado en el Sol, en cuyo interior los planetas cantaban la gloria de Dios. Pero, efectivamente, su obra apenas tuvo impacto alguno entre sus contemporáneos.
Nadie dudaba de su autoridad en el campo de la astronomía, que se vio ratificada con la publicación de las Tablas rudolfinas (1627), pero nadie aceptó sus especulaciones cosmológicas. Sus ideas sobre los sólidos regulares y las armonías celestes, apenas tuvieron un solo seguidor.
La Astronomía nova, su gran obra astronómica, fue un fracaso editorial absoluto, que reflejaba claramente el rechazo que su «física celeste» recibió desde un principio. La comunidad científica, incluso más allá del conservador mundo académico, no aceptó su tratamiento y explicación física de los fenómenos astronómicos.
El copernicanismo seguía siendo aceptado mayoritariamente como mero instrumento de cálculo. E incluso Galileo, que defendía el heliocentrismo y el movimiento terrestre como verdaderos, siguió apegado al dogma de la circularidad e ignoró totalmente, como Descartes, la obra cosmológica de Kepler, que consideraba totalmente fantasiosa.
La física galileana, que coronó en Newton, rompía radicalmente con la física celeste de Kepler, que aún compartía elementos esenciales de la física aristotélica.
No obstante, las leyes de movimiento planetario descubiertas por Kepler y cubiertas por la fronda de su desaforada especulación, debidamente cribadas, fueron el punto de partida de la gran síntesis que Newton si fue capaz de llevara cabo entre la física celeste y terrestre. Pero, aun siendo generosos, es difícil considerar a Newton el lector que Kepler esperaba.
Fuente Consultada: Astronomía Elemental de Alejandro Feinstein y Notas Celestes de Carmen Nuñez.
